线性规划练习题菁优网

1、线性规划练习题一选择题（共22小题）1（2015春玉溪校级期末）方程（x+y1）=0所表示的曲线是（）ABCD2（2015安徽二模）点集（x，y）|（|x|1）2+y2=4表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（）ABCD3（2015山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A3B2C2D34（2015福建）若变量x，y满足约束条件则z=2xy的最小值等于（）AB2CD25（2015福建）变量x，y满足约束条件，若z=2xy的最大值为2，则实数m等于（）A2B1C1D26（2015四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）ABC12D167（20

2、15青羊区校级模拟）如果实数x，y满足等式（x2）2+y2=3，那么的最大值是（）ABCD8（2015鄂州三模）设变量x，y满足约束条件，则s=的取值范围是（）A1，B，1C1，2D，29（2015商丘一模）设变量x，y满足约束条件：的最大值为（）A10B8C6D410（2015会宁县校级模拟）已知变量x，y满足，则u=的值范围是（）A，B，C，D，11（2015南昌校级模拟）若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是（）A10B11C13D1412（2015鹰潭一模）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a，b0）的最大值是12，则a2+b2的最小值是（）ABCD13（2

3、015德阳模拟）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为6，则log3（+）的最小值为（）A1B2C3D414（2015和平区校级三模）已知不等式组表示的平面区域恰好被圆C：（x3）2+（y3）2=r2所覆盖，则实数k的值是（）A3B4C5D615（2015安徽二模）已知实数x，y满足，若z=yax取得最大值时的唯一最优解是（3，2），则实数a的取值范围为（）Aa1Ba2Ca1D0a116（2015湘西州校级模拟）设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为12，则+的最小值为（）ABC6D517（2015万州区模拟）x，y满足约束条件，

4、若z=y2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A或1B1或C2或1D2或118（2014安徽）x、y满足约束条件，若z=yax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A或1B2或C2或1D2或119（2014山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a0，b0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A5B4CD220（2014福建）已知圆C：（xa）2+（yb）2=1，设平面区域=，若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）A5B29C37D4921（2011浙江）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A1

5、4B16C17D1922（2011安徽）设变量x，y满足|x|+|y|1，则x+2y的最大值和最小值分别为（）A1，1B2，2C1，2D2，1二填空题（共3小题）23（2013陕西）若点（x，y）位于曲线y=|x1|与y=2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为24（2011河北）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为25（2004贵州）设x、y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值是2015年11月20日nxyxy的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共22小题）1（2015春玉溪校级期末）方程（x+y1）=0所表示的曲线是（）ABCD【考点】曲线与方程菁优网版权所有【专题】计算

6、题【分析】原方程等价于：，或x2+y2=4；两组方程分别表示出圆和不在圆内部分的直线，进而可推断出方程表示的曲线为圆和与圆相交且去掉圆内的部分【解答】解：原方程等价于：，或x2+y2=4；其中当x+y1=0需有意义，等式才成立，即x2+y24，此时它表示直线xy1=0上不在圆x2+y2=4内的部分，这是极易出错的一个环节故选D【点评】本题主要考查了曲线与方程的问题考查了考生对曲线方程的理解和对图象分析的能力2（2015安徽二模）点集（x，y）|（|x|1）2+y2=4表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（）ABCD【考点】曲线与方程菁优网版权所有【专题】综合题；推理和证明

7、【分析】由曲线的方程可得，曲线关于两个坐标轴及原点都是对称的，故画出图象，结合图象求得围成的曲线的面积【解答】解：点集（x，y）|（|x|1）2+y2=4表示的图形是一条封闭的曲线，关于x，y轴对称，如图所示由图可得面积S=+=+2故选：B【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想3（2015山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A3B2C2D3【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平

8、面区域如图：（阴影部分）则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=2x+z，平移直线y=2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=3x+z，平移直线y=3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关

9、键4（2015福建）若变量x，y满足约束条件则z=2xy的最小值等于（）AB2CD2【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（1，）z=2xy的最小值为2（1）=故选：A【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题5（2015福建）变量x，y满足约束条件，若z=2xy的最大值为2，则实数m等于（）A2B1C1D2【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域

10、，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2xy为y=2xz，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：m=1故选：C【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题6（2015四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）ABC12D16【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；由图象知y102

11、x，则xyx（102x）=2x（5x）2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，故选：A【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键7（2015青羊区校级模拟）如果实数x，y满足等式（x2）2+y2=3，那么的最大值是（）ABCD【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】转化思想【分析】表示圆上动点与原点O连线的斜率，画出满足等式（x2）2+y2=3的图形，由数形结合，我们易求出的最大值【解答】解：满足等式（x2）2+y2=3的图形如图所示：表示圆上动点与原点O连线的斜率，由图可得动点与B重合时，此时OB与圆相切，

12、取最大值，连接BC，在RtOBC中，BC=，OC=2易得BOC=60此时=故选D【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，分析出表示圆上动点与原点O连线的斜率，是解答本题的关键8（2015鄂州三模）设变量x，y满足约束条件，则s=的取值范围是（）A1，B，1C1，2D，2【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先根据已知中，变量x，y满足约束条件，画出满足约束条件的可行域，进而分析s=的几何意义，我们结合图象，利用角点法，即可求出答案【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：根据题意，s=可以看作是可行域中的一点与点（1，1）连线的斜率，由图分析易得：当x=1，y=O时，其斜率

13、最小，即s=取最小值当x=0，y=1时，其斜率最大，即s=取最大值2故s=的取值范围是，2故选D【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中解答的关键是画出满足约束条件的可行域，“角点法”是解答此类问题的常用方法9（2015商丘一模）设变量x，y满足约束条件：的最大值为（）A10B8C6D4【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】数形结合【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=|x3y|，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x3y过可行域内的点A时，从而得到z=|x3y|的最大值即可【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数z=x3y，当直线经过A（2，2）时，z=|x3

14、y|，取到最大值，Zmax=8故选B【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解10（2015会宁县校级模拟）已知变量x，y满足，则u=的值范围是（）A，B，C，D，【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】计算题；不等式的解法及应用；直线与圆【分析】化简得u=3+，其中k=表示P（x，y）、Q（1，3）两点连线的斜率画出如图可行域，得到如图所示的ABC及其内部的区域，运动点P得到PQ斜率的最大、最小值，即可得到u=的值范围【解答】解：u=3+，u=

15、3+k，而k=表示直线P、Q连线的斜率，其中P（x，y），Q（1，3）作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的ABC及其内部的区域其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）设P（x，y）为区域内的动点，运动点P，可得当P与A点重合时，kPQ=达到最小值；当P与B点重合时，kPQ=达到最大值u=3+k的最大值为+3=；最小值为+3=因此，u=的值范围是，故选：A【点评】本题给出二元一次不等式组，求u=的取值范围着重考查了直线的斜率公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题11（2015南昌校级模拟）若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是（）A10B1

16、1C13D14【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x0时，z=|x|+2y化为y=x+z，表示的是斜率为，截距为的平行直线系，当过点（1，5）时，直线在y轴上的截距最大，z最大，zmax=1+25=11；当x0时，z=|x|+2y化为，表示斜率为，截距为，的平行直线系，当直线过点（4，5）时直线在y轴上的截距最大，z最大，zmax=4+25=14z=|x|+2y的最大值是14故选：D【点评】本题考查了简单的线性规

17、划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题12（2015鹰潭一模）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a，b0）的最大值是12，则a2+b2的最小值是（）ABCD【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值是12，确定a，b之间的关系，利用两点间的距离公式进行求解即可【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：由z=ax+by（a0，b0），得y，平移直线y，由图象可知当直线y经过点A时，直线y的截距最大，此时确定最大值12，由，解得，即A（4，6），代入目标函数得4a+6b=12，即2

18、a+3b=6，对应曲线为直线，设m=a2+b2，则m的几何意义是直线2a+3b=6上的点到原点的距离的平方，原点到直线2a+3b=6的距离d=，a2+b2的最小值m=d2=，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，确定a，b的关系是解决本题的关键13（2015德阳模拟）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为6，则log3（+）的最小值为（）A1B2C3D4【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即

19、可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax+by（a0，b0）得y=，则直线的斜率k=0，截距最大时，z也最大平移直y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（2，4），此时z=2a+4b=6，即a+2b=3，=（）（）=+2=+=3，当且仅当，即a=b=1时取等号，此时log3（+）log33=1，故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，利用基本不等式的解法和结合数形结合是解决本题的突破点14（2015和平区校级三模）已知不等式组表示的平面区域恰好被圆C：（x3）2+（y3）2=

20、r2所覆盖，则实数k的值是（）A3B4C5D6【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用【分析】由题意作出其平面区域，则可知，（0，6）关于（3，3）的对称点（6，12）在xy+k=0上，从而解出k【解答】解：由题意作出其平面区域，由平面区域恰好被圆C：（x3）2+（y3）2=r2所覆盖可知，平面区域所构成的三角形的三个顶点都在圆上，又三角形为直角三角形，（0，6）关于（3，3）的对称点（6，12）在xy+k=0上，解得k=6，故选D【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题15（2015安徽二模）已知实数x，y满足，若z=yax取得最大值时的

21、唯一最优解是（3，2），则实数a的取值范围为（）Aa1Ba2Ca1D0a1【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用目标函数z=yax（aR）当且仅当x=3，y=2时取最大值，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值范围【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）则A（3，2），B（1，0），C（2，0）由z=yax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大平移直线y=ax+z，则直线的截距最大时，z也最大，当a0时，直线y=ax+z，在A（3，2）处的截距最大，此时满足条件，当a=0时

22、，y=z在A（3，2）处的截距最大，此时满足条件，当a0时，要使直线y=ax+z，在A（3，2）处的截距最大则目标函数的斜率a小于直线AB的斜率1，即0a1，综上a1，故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法16（2015湘西州校级模拟）设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为12，则+的最小值为（）ABC6D5【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】画出不等式组表示的平面区域，求出直线xy+2=0与直线3xy6=0的交点（4，6）时，观察当目标函数过（4

23、，6）时，取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，要求+的最小值，先用乘“1”法进而用基本不等式即可求得最小值【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a0，b0）过直线xy+2=0与直线3xy6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=（）=+（）=，当且仅当a=b=，取最小值故选B【点评】本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值17（2015万州区模拟）x，y满足约束条件，若z=y2ax取得最

24、大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A或1B1或C2或1D2或1【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=2ax+z斜率的变化，从而求出a的取值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=y2ax得y=2ax+z，即直线的截距最大，z也最大若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a0，目标函数y=2ax+z的斜率k=2a0，要使z=y2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线2xy+2=0平行，此时2a=2，即a=1若a0，目标函数y

25、=ax+z的斜率k=a0，要使z=y2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线x+y2=0，平行，此时2a=1，解得a=综上a=1或a=，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法注意要对a进行分类讨论18（2014安徽）x、y满足约束条件，若z=yax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A或1B2或C2或1D2或1【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值【解答】解：作出不

26、等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=yax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2xy+2=0平行，此时a=2，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y2=0，平行，此时a=1，综上a=1或a=2，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法注意要对a进行分类讨

27、论，同时需要弄清楚最优解的定义19（2014山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a0，b0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A5B4CD2【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b2=0a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）化目标函数为直线方程得：（b0）由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小2a+b=2即2a

28、+b2=0则a2+b2的最小值为故选：B【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题20（2014福建）已知圆C：（xa）2+（yb）2=1，设平面区域=，若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）A5B29C37D49【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a，b），半径为1圆心C，且圆C与x轴相切，b=1，则a2+b2

29、=a2+1，要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，由，解得，即B（6，1），当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法21（2011浙江）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A14B16C17D19【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 的平面区域，然后分析平面区域里各个整点，然后将其代入3x+4y中，求出3x+4y的

30、最小值【解答】解：依题意作出可行性区域 如图，目标函数z=3x+4y在点（4，1）处取到最小值z=16故选B【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解22（2011安徽）设变量x，y满足|x|+|y|1，则x+2y的最大值和最小值分别为（）A1，1B2，2C1，2D2，1【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据零点分段法，我们易得满足|x|+|y|1表示的平面区域是以（1，0），（0，1），（1，0），（0，1）为顶点的正方形，利用角点法，将各顶点的坐标代入x+2y然后进行比较，易求出其最值【解答】解：约束条件|x|+|y|1可化为：其表示的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1时x+2y取最大值2当x=0，y=1时x+2y取最小值2故选B【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，画出满足条件的可行域及各角点的坐标是解答线性规划类小题的关键二填空题（共3小题）23（2013陕西