专题三：不定方程的整数解问题(含答案)

1、初中奥林匹克竞赛培优：不定方程的整数解问题所谓不定方程,是指未知数的个数多于方程个数,且未知数受到某些条件限制(如要求是有理数、整 数或正整数等等)的方程或方程组.数学竞赛中的不定方程问题,不仅要求学生对初等数论的一般理论、 方法有一定的了解,而且更需要讲究思想、方法与技巧,创造性地解决问题.在本专题中我们一起来学习 不定方程整数解的一些解法技巧.【根底知识】1 .不定方程整数解的常见类型：(1)求不定方程的整数解；(2)判定不定方程是否有整数解；(3)判定不定方程整数解的个数(有限个还是无限个).2 .解不定方程整数解问题常用的解法：(1)代数恒等变形：如因式分解法、配方法、别离整数法、换元

2、法(参数法)等；(2)奇偶分析法：缩小变量的范围或性质,得出不定方程的整数解或判定其无解；(3)构造法：如构造一元二次方程,利用根的判别式和韦达定理等性质；(4)枚举法：列举出所有可能的情况；(5)不等式分析法：通过不等式估算法,确定出方程中某些变量的范围,进而求解；(6)无穷递推法.【典型例题分析】一、代数恒等变形1、因式分解法【例1】x, y都是整数,且满足 xy +2 = 2(x + y),求x2 + y2的最大值.分析：由 xy+2=2(x + y),得(x2)(y2)=2x _ 2 2f x_ 2 1 f x _ 2 _2f x _ 2 1由于(x2),( y2)都是整数,所以x,或

3、?,或?,或?y-'2=1y-'2=2y-'2=-1y-'2=-2_Cx=4_Cx=3Xx=0Xx=1解得i ,或w ,或w ,或wy =3 y = 4 y = 1 y = 0故x2 + y2的最大值为25注：一般地,整系数 a,b,c,d的二次方程axy+bx+ cy+d = 0 ,可变形为：a2xy abx acy ad = 0分解,得 (ax c)(ay b) =bc-ad .求整数解时,只需把整数(bc -ad)分解成两个整数的积, axc =：转化为解几个方程组 a,(这&< #=bc-ad )来解,通过取舍求出符合题意的整数解.ay b

4、 = #【例2】求方程x2y2+3x7y2 = 0的整数解(x, y).分析：原方程可化为 4x2-4y2+12x-28y-8=0,配方得(2x + 3)2 (2y+ 7)2+32 = 0所以(x y 5)(x -y -2) = -8lx y 5 - -8J x - y - 2 =1由于(x +y +5)和(x y 2)的奇偶性不同_Lxy 5 - -1Ixy 5=8Ixy 5 = 1,或4,或4,或4J x - y - 2 8 J x - y - 2 1Jx - y-2 8解得：(x, y) =(-5, -8),(2, -8),(2,1),( -5,1)2、配方法【例3】求3x2+xy+y2

5、3x+2y =0的非负整数解(x, y)的组数为()A、0 B、1 C、2 D、3分析：由 3x2+xy+y23x+2y =0,配方得 4x2 十(x 3)2+(x +y)2+(y +2)2 =13当x圭2时,左边>4x2216 >13当 x <0 时,左边 >(x-3)2 >16>13所以x =0或1当x=0时,代入原方程得 y = 0当x =1时,代入原方程得 y = 0或3因此共有3组非负整数解.3、别离整数法例4x, y是整数,满足x - y+3 = 0, ax - ya = 0 ,那么整数a的所有可能值有( 分析：由 x_y+3=0,ax_y_a=

6、0,得 x =亘±3 =+4 为整数A. 4B. 5C. 6D. 81 -a 1 - a根据整除性质,可知：1a=±1,±2,±4,即a = -3,1,0,2,3,5共6个彳1.【例5】求x(x_1)+xy + y =51的正整数解.2x x 51(-x 2)(x 1) 49 , c、 49解：原万程可化为 y = = = (-x - 2)x 1x 1x 1一, ,一,一 49 一由于x为正整数,且 二9-是整数,所以x+1=7或49,即x =6或48x 1当 x=6 时,y =3；当 x =48时,y = 45<0 舍去故所求正整数解(x, y)

7、 = (6,3)4、换元法例6：x, y为整数,且y =4020.x-2021 -、x二2021,求y的最大值为分析：原方程可化为 y = Jx+2021+Jx-2021,令 a = Jx+2021,b = Jx-2021 ,那么 y = a +ba2 -b2 =(x 2021)-(x-2021) = 4020, .一 .、_2_.(a b)(a -b) =2 3 5 67由于(a+b),(a-b)具有相同的奇偶性,且都是正整数故y=a+b的最大值为2父3父5父67 =2021.二、奇偶分析法【例7】证实方程x2 +y2 8z=6无整数解.分析：不妨设原方程有整数解,由于x2+y2 =6+8z

8、为偶数,所以x, y具有相同的奇偶性.假设x, y都是偶数,令x =2a, y =2b ,代入原方程,化简,得 2a2+2b2 4z = 3 ,左右奇偶数不同, 矛盾.假设x, y都是奇数,令x=2a+1,y =2b+1,代入原方程,化简,得 a(a+1) + b(b+1) 2z = 1由于a(a +1),b(b +1)都是偶数,所以上式左边为偶数,右边奇数,矛盾.综上,原方程无整数解.【例8】求x2 +y2 =328的正整数解.分析：显然x¥y,不妨设x > y >0 ,由于328是偶数,故x, y的奇偶性相同,而 328能被4整除,偶数 的平方被4除余0,奇数的平方被

9、4余1,所以x, y都是偶数.设 x =2a, y =2b ,那么 a2 +b2 =82,由 a>b>0 ,得 b2 <41 ,取 b2 =1,4,9,16,25,36对应 a2 =81,78,73,66,57,46 ,故只能取 a2 =81,b2 =1 ,即 a = 9,b =1由x, y的对称性,因此所求正整数解(x, y) =(18,2),(2,18).三、构造法如构造一元二次方程,利用根的判别式和韦达定理等性质进行讨论,且当方程有整数解时,判别式为 完全平方式.【例9】a,b都是质数,且a2 13a+m = 0,b2 13b + m = 0,求m的值.分析：假设 a

10、=b =2,那么 426 + m = 0 ,即 m = 22 ；假设a#b,那么a,b可看作关于x的一元二次方程x2 13x +m = 0的两个根.由韦达定理,得a b =13,ab = m而a,b都是质数,由a+b=13 ,故a,b的值只能是2或11,所以m = 22因此,所求 m的值为2或22.【例10】a,b,c是整数,且满足a+b = 3,c2 2c + ab = 2,求a,b,c的值.分析：由a+b=3,ab = c2+2c2,可构造以a,b为根的一元二次程t2 3t c2+2c 2 = 0根据题意4=94(c2+2c 2) =4c2 8c+17 = (2c 2)2十13是一个完全平

11、方式,因此存在非负整数k,使得(2c 2)2 +13 = k2 ,即k2 (2c 2)2 = 13所以"2:13 k -2c 2=1-k 2c-2 =1k -2c 2 =13,或 k = 7c= -23-k 3-7所以 t =,即 a = 5,b = 2 ,或 a = -2,b = 522故所求正整数(a,b,c) =(5,-2,4),( -2,5,4),(5, -2, -2),( -2,5, -2)四、枚举法【例11】方程x + y+z=2021共有多少个正整数解?分析：当 x=k(k =1,2,3,2021)时,y +z=2021 -k ,此时 y可取 1 至U(2021 k),

12、一共(2021 k)个解.又x可取1到2021,2021故原方程一共有 £ (2021 -k) =2021x2021-= 2021036个正整数解.k 12注：方程x+ y+z = n(n w N且n23)的正整数解个数为：心(n -2)(n -1) (n -2)(n -1)(n -1 -k) =(n -1)(n -2)-k422思考：方程x + y+z= 2021的非负整数解共有多少个？五、不等式分析法利用整数性或不等关系,确定出方程解的范围.【例12】 求方程3x2+7xy 2x5y35 = 0的正整数解.C 2 c CL分析：对于正整数 x, y ,由原方程得到 y = 7x

13、-5由于 x >1,y >1,所以一3x2 +2x+35 >7x-5,解得 1 Ex E2分别取x = 1和x = 2彳导到y =17和y = 3即所求的解为(x,y) =(1,17),(2,3)注：此题也可以通过别离整数法进行讨论【例13】求方程5(xy +yz +zx) =4xyz的正整数解(x, y, z)为多少组？,1114 _分析：原方程化为一十4=x y z 5111143.设 xEyEz,由一 <一十+=一<一,得 1cx<4,所以 x = 2,3.x x y z 5 x_ 11311132当x =2时,代入式,得 '+1=±

14、,由'<'+1=£_ <4, y z 10y y z 10y得 3<y <7,所以 y =4,5,6将x = 2及y =4,5,6分别代入式,得到所求的解(x,y,z) =(2,4,20),(2,5,10)当x=3时,代入式,同样的方法可以推出 ,方程无整数解.综上,及x,y,z的对称性,得到原方程有12组正整数解.六、无穷递推法【例14】试证实方程：x2 +y2 +z2 =2xyz无非零整数解.分析：我们只需考虑 x,y,z都是正整数.显然x, y,z不能都是奇数,或一奇二偶,否那么左边为奇数,而右边是偶数,矛盾.假设 x,y,z是二奇一偶,

15、不妨设 x = 2a+1, y =2b+1, z =2c ,那么方程左边=x2+y2+z2 =4(a2+a+b2+b + c2) + 2不是4的倍数,而右边是 4的倍数,矛盾.因此x, y, z只能都是偶数,不妨设 x = 2x1, y = 2y1, z = 2zi,代入原方程,得 x12 - y12 , z2 = 4x1ylz.类似于前面的讨论,可以证实x1, %,4都是偶数.如此继续下去,我们可得到：x =2kxk,y =2kyk,z = 2kzk由于上述过程可以无限地进行下去,因而k将无限地增大,即正整数xk,yk,zk将无限地小下去,这是不可能的.故原命题得证.【针对性练习题】A组1、

16、x, y满足xy 一 x - y = 10 ,求整数x, y的值.xy yz = 63 2、方程组i y y的正整数解的组数是()xz yz =23,A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组3、关于x的一元二次方程 x2 +2(a +2b + 3)x+(a2 +4b2 +64) = 0无实数根,求满足条件的正整数a,b的值.4、 a,b,c都是整数,且 a2b = 4,ab + c21 = 0,求 a+b+c的值.5、方程xy|十|x+ y| =1的有序整数解(x,y)共有 组.6、设自然数x, y满足方程x3+19y = y3 +19x ,其中x < y ,那么x+y =.7、试

17、确定一切有理数 r ,使得关于x的方程rx2 +(r +2)x + r -1 = 0有根且只有整数根.B组8、a,b,c都是正整数,且满足 29a+30b+31c =366 ,那么a+b+c的值为()A. 10 B. 12 C. 14 D. 16一一 -a,一, a b = m 2 一、人一有 一 ,9、一直角三角形两直角边 a,b均是整数,且满足i,试求这个直角三角形的三边长ab = 4m10、：a为自然数,且关于 x的方程2xaj1 x a+4 = 0至少有一个整数根,那么a可能的值为.x 3y - 2z = 011、三个正整数 x, y,z的最大公约数为 3,且满足2222 ,那么x + y + z=.2x -3y - z =013、a,b, c均为整数,且恒有 (xa)(x-10)+1 = (x + b)(x+ c),那么整数a =.“2i2- 八 一- -./rrI、r 击心J E、升 E H 'b - 5a _ 6b 一 3c + 15 = 0 4 1 3 /土12、a,b为整数,且满足 «,求abc的值.a 3