向量数乘运算及其几何意义学案

1、 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义基础梳理1. 一般地，实数与向量的积是一个_，记作_，这种运算叫_，它的长度与方向规定如下：（1）=_；（2）当>0时，与的方向_；当=0时，=_；）当<0时，与的方向_。2. 、R，实数与向量的积有如下运算律：（1） （）=_；（2） （+）=_；（3） （+）=_。3. 向量的加、减、乘、除统称为向量的_，对于任意向量、，以及任意实数、，恒有（）=_。疑难剖析关于数乘运算（1） 任意实数与任意向量的积仍是向量，对于模的规定=，的方向由决定，当>0时，与的方向相同；当=0时，=，方向是任意的；当<0时，与的方向相反。（2） 实数与

2、向量进行数乘运算，但不能进行加、减运算。典例精析题型1 向量的数乘运算的概念例1 已知、是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由。（1) 2与方向相同，且2的模是的模的2倍；（2） -2与5方向相反，且-2的模是5的模的；（3） -2与2是一对相反向量；（4） -与-（-）是一对相反向量。变式1 设是非零向量，是非零实数，判断下列结论的真假。（1) 与-的方向相反；（2) ；（3) 与方向相同；（4) =2；题型2 向量数乘的基本运算例2 计算：（1）6（3+2）+9（-2+）；（2） （3+2）-+（+）（3） 6（-+）-4(-2+)-2(-2+).变式2 计算：（1）2（2+8）

3、-4（4-2）；（2） （-）（+）-（-）（-）；（3） 已知=3-4，=5+4，求（-)-3(+)+(2-).题型3 向量共线问题例3 已知两个非零向量、不共线，如果=2+3，=6+23，=4-8.求证：A、B、D三点共线。变式3 设、是两个不共线的非零向量，若向量k+与2+k共线，求实数k的值。题型4 向量数乘与平面几何知识的综合应用例4 已知四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC到中点，求证:=(+).变式4 如图，ABCD为一个四边形，E、F、G、H分别为BD、AB、AC、和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形。提升训练1. 下列命题中正确的有： （ ）（-5）（6）=-3

4、0； 7（+）+6=7+13; 若=-，=3（-），则与共线；（-5）+（+5）=2，则。A.1个 B 2个 C.3个 D.4个2. 点C在线段AB上，且=，则等于 （ ）A. B. C.- D.-3. 向量、共线，则下列说法正确的有 （ ）=2,=-2; =-,=-2+2; =4-,=-; =+,=2-2.A. B. C. D. 4. 已知实m、n和向量、，给出下列命题： m(-)=m-m; (m-n)=m -n ;若m=m,则=； 若m=n(),则m=n.其中正确的命题是 （ ）A. B. C. D.5. 已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P,满足+=，则点P与ABC的关系为 （

5、）A. P在ABC内部 B.P在ABC外部 C.P在BA边所在直线上D.P在AC边的三等分点6. 已知向量、不共线，实数x、y满足（3x-4y)+(2x-3y)=6+3,则x-y的值为 （ )A. 3 B.-3 C.0 D.27. 在矩形ABCD中，O为AC、BD的交点，若=3，=2,则=_.8. 设两非零向量、不共线，且（k+)(+k),则实数k的值为_。9. 若=-+3，=4+2，=-3+12，则向量写成+的形式是_。10. O是平面上一点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+(+),0,+),则P的轨迹一定通过ABC的_。11. 已知、是不共线的两个向量，设=+,且+=1，、

6、R。求证：M、A、B三点共线。12. 设、是不共线的向量，已知向量=2+k，=+3，=2-，若A、B、D三点共线，求k的值。13. 如图所示，四边形OADB是以向量=，=为邻边的平行四边形，又BM=BC,CN=CD,试问向量、表示、.14. 如图所示，在ABO中，=,=,AD与BC相交于点M,设=，=。（1） 试用与表示向量；（2） 在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F，使EF过点M,设=,=,求证：=12.3.1 -2.平面向量基本定理 平面向量的正交分解及坐标表示基础梳理1. 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个_的向 量，那么对于这一平面内的_向量 ，有且只有一对实数、，使=

7、_。2. _的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组_。3. 已知两个_向量与，作=，=，则_=（）叫做向量与的夹角。当=时，与_；当=时，与_。4. 如果与的夹角为，与_，记作_。5. 把一个向量分解为两个_的向量，叫做把向量_。6. 对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y使得=x+y.平面内任一向量都可由x、y唯一确定，我们把有序实数对（x,y)叫做_，记作=_。疑难剖析向量的坐标表示(1) 几个特殊向量的坐标=（1，0），=（0，1），=(0,0).(2) 由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即由=，且=，其中=（，），=（，）。(3)

8、 点的坐标与向量坐标不同，相等的向量的坐标是相同的。但始点、终点的坐标可以不同。(4) （x,y)在坐标系下有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为加以区分，常说（x,y)或向量（x,y).典例题解题型1 运用基底表示向量例1 在ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=，=，试用、表示、.变式1 如图，在OAB中，=，=，M、N分别是边、上的点，且=，=，设与相交于点P,用向量、表示.题型2 平面向量定理的应用例2 如图所示，在ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求证：AP:PM=4:1.变式2 如图，已知OACB中，=

9、,OD与BA相交于点E.求证：BA:BE=4:1.题型3 平面向量的坐标表示例3 如图，分别用基底，表示向量、，并求它们的坐标。变式3 如图，在平面内以点O的正方向为x轴正向，正北方向为y轴的正向建立直角坐标系。质点在平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标。（1) 向量表示沿东北方向移动了2个单位长度；（2) 向量表示沿西偏北方向移动了3个单位长度；（3) 向量表示沿东偏南方向移动了4个单位长度.提升训练1. 若、是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能看作基底的是 （ ）A. +和- B.3-2和4-6 C.+3和+3 D.和+2. 已知向量，R，=+，=2，若与共线，则下

10、列关系中一定成立的是 （ ）A. =0 B.=0 C. D. 或=0 3. 已知=+2，=3+2，则3-等于 （ ）A.4 B.4 C.3+6 D.84. 设、是平面内的一组基底，如果=3-2，=4+,=8-9,则共线三点是 （ ）A.A、B、C B. B、C、D C. A、B、D D. A、C、D5.下面给出了三个命题：非零向量与共线，则与所在的直线平行；向量与共线的条件是当且仅当存在实数数、，使得=；平面内的任一向量可用其他两个向量的线性组合表示；其中正确命题的个数为 （ ）A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个6. 如图所示，矩形ABCD中，=5，=3,则等于 （ ）A. (5+3)

11、B.(5-3) C.(3-5) D.(5-3)7. 如图所示，已知O为坐标原点，点A在第一象限，=4,XOA=，则向量的坐标表示为_。8. 如图，设P是线段AB的一个三等分点，若=，=，试用、表示向量=_9. 已知、不共线，=+2，=2+，要使、能作为平面内的一组基底，则实数的取值范围为_。10. ，是两个不共线的向量，已知=3+2，=+,=-2+,若A、B、D三点共线，试求的值。2.3.3-4 平面向量的坐标运算 平面向量共线的坐标表示基础梳理1. 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量_，即=_。2. 实数与向量的积的坐标等于_，即=_。3. 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_。

12、4. 设=（，），=（，），当且仅当_时，、（）共线。疑难剖析1. 平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，我们把有序实数对（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作=（x,y),x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，把=（x,y)叫做向量的坐标表示。给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对有序实数唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础,沟通

13、了数与形的联系。2. 平面向量共线的坐标表示设=（，），=（，），其中，当且仅当-=0时，向量、共线。典例题解题型1 平面向量的坐标运算例1 已知=（2，1），=（-3，4），求：（1）3+4；（2）-。变式1 已知平面上三个点A(4，6)、B(7,5)、C(1,8),求，,+,-及2+。题型2 应用向量共线的条件解决问题例2 已知A、B、C三点坐标分别为（-1，0），（3，-1）（1，2），且=,=.求证：.变式2 已知=（1，2），=（-3，2），当实数k为何值时，向量k+与-3共线？并确定此时它们是同向还是反向？例3 已知O为坐标原点，=（k,12)，=(4,5)，=(10,k).当k为

14、何值时，A、B、C三点共线？ 变式3 平面内三个向量=（3，2），=(-1,2), =(4,1).(1) 若（+k)(2-),求实数k;(2) 设=（x,y），满足（-）（+）且=1，求。题型3 定比分点坐标公式及应用例4 如图 已知A(1,3)、B(-2,0)、C(2,1)为三角形的三个顶点。L、M、N分别为BC、CA、AB上的点，满足BL:BC=CM:CA=AN:AB=1:3.试求L、M、N三点的坐标。变式4 已知三点A（0，8）、B(-4,0)、C（5，-3），D点内分的比为1：3，E在BC上，且使BDE的面积是ABC面积的一半，求DE中点的坐标。题型4 向量的坐标运算的综合应用例5 已

15、知平面直角坐标系上四点A(1,0) ,B(4,3),C(2,4),D(0,2),试判断四边形ABCD的形状，并说明你的理由。变式5 已知四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D的坐标依次是（3，-1），（1，2），（-1，1），（3，-50,求证：四边形ABCD为梯形。提升训练1. 若O（0，0），A(1,2），且=2,则A点的坐标为（ ）A. (1,4) B.(2,2) C.(2,4） D.(4,2)2. 若原点O为正六边形ABCDEF的中心，且=(-1,-),=(1,-),则为 （ ）A. （2，0） B.（-2，0） C.(0,-2) D.（0，）3. 已知=（3，-1），=（-1，2），

16、若m+n=(10,0)(m,nR),则 （ ）A. m=2,n=4 B.m=3,n=-2 C.m=4,n=2 D.m=-4,n=-24. 已知M(3,-2),N(-5,-1),=,则P点坐标为 （ ）A. (-8,1) B.(-1,-） C.(1,) D.(8,-1)5. 若A(3,-6),B(-5,2）,C(6,y)三点共线，则y等于（ ）A.13 B.-13 C.9 D.-96. 已知=（3，4），则与同向的单位向量的坐标是（ ）A. (3,4) B.(-,) C.(-,-) D.(,)7. 已知向量=（n,1），与=（4，n)共线且方向相同，则n=_.8. 已知=（5，-2），=（-4，

17、-3），=（x,y),若-2+3=，则=_。9. 已知=(1,2),=(-2,3），=（-1，2），试以、为基底，将分解为+的形式为_。10. 给定两个向量=（1，2），=（x,1)，若(+2)与（2-）平行，则x=_.11. 平面内有三个向量,其中与的夹角为，与的夹角为，且=1,=2.若=+（、R)，求+的值。12. 已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC、OB交点P的坐标。13. 如图，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，四边形PECF是矩形，用向量方法证明：PA=EF.14. 已知向量=（-3，2），=（2，1），=（3，-1），tR.(1) 求的最小值与相应的t的

18、值；(2) 若-t与共线，求实数t的值。 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义基础梳理1. 已知两个_的向量与，我们把_叫做与的数量积（或内积），记作_，即_。其中是_，_（_）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，并且规定，零向量与任一向量的数量积为_。2. （1）_。 （2）当与同向时，.=_；当与反向时，.=_.特别地，.=_或=_. （3） _。3. .的几何意义：数量积.等于_。4. 运算律：.=_；（）.=_=_； （+）.=_。5. =_.（+）（-）=_。疑难剖析平面向量的数量积及其几何意义（1） 两个向量的数量积的定义已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量叫做与的数量

19、积（或内积），记作.，即.=。规定，零向量与任一向量的数量积为0，即.=0.（2） 定义的理解两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定。两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆。在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围是。（3) 向量数量积的几何意义对于.=，其中cos叫做向量在方向上的投影（为向量与的夹角）。当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是负值；当=时，它是0；当=时，它是；当=时，它是-。.的几何意义：数量.等于的长度与在方向上的

20、投影cos的乘积。（4） 几何意义的再认识向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值。这个射影值可正可负也可以为零，向量的数量积的结果是一个实数。当时，由.=0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有.=0.这由向量的几何意义都可以理解。典型题解题型1 数量积的基本运算例1 求满足下列条件的数量积（1） 已知=4，=5.当；与的夹角为时，求.；（2） 已知=2，=4，且与的夹角为=，求，。变式1 （1）已知向量与的夹角为，=2，=3.当=；时，求.； （2）已知向量与满足=13，=19，=24，求。题型2 两个非零向量的夹角例2 已知、都是非零向量，且+3

21、与7-5垂直，-4与7-2垂直。求与的夹角。变式2 已知向量与是夹角为的单位向量，且=2+，=-3+2，求.及其与的夹角。题型3 向量的数量积与模例3 已知向量，满足+=，且=3，=1，=4,求.+.+.。变式3 已知向量，满足+=，且=3,求.+.+.的值。题型4 向量背景下的函数问题例4 已知，且=2，=1，若对两个不同时为零的实数k,t，使得+（t-3）与-k+t垂直。试求k的最小值。15. 变式4 已知非零向量，tR，证明：当取最小值时，（+t）。题型5 数量积的综合应用例5 已知=，=3，向量与的夹角为，是否存在实数，使向量+与+所成角为锐角？若存在，请求出所满足的条件，若不满足，说

22、明理由。变式5 设两向量、满足=2，=1，、的夹角为，若向量2t+7与向量+t的夹角为钝角，求实数t的取值范围。提升训练1. 已知，是非零向量，下列说法正确的是 （ ）A. 若=.，则B. 若.=.，则=C. 若=，则=D. （.）.=.（.）2. 下列说法错误的是 （ ）A. .=.B. （）.=（.）（R）C. （+）.=.+.D. (.)=()3. 已知、满足=1，=2，=2，等于 （ ）A.1 B. C. D.4. 已知向量、满足=1，=4，且.=2，与的夹角为 （ ）A. B. C. D.5. 点O是ABC所在平面上一点，且满足.=.=.，则点O是ABC的 （ ）A. 重心 B. 垂

23、心 C.内心 D.外心6.已知向量与的夹角为，且=2，=5，则（2-）.=_。7. 已知平面上三点A、B、C满足=3,=4,=5,则.+.+.的值等于 （ ）A. -25 B.-20 C.-15 D.-108. 若=4，.=6，则在方向上的投影等于_。9. 设向量、满足+=，且，=1，=2，则=_。10. 已知=1，与的夹角为，=2+3，=k-4,与垂直，则k=_。11. 已知=1，.=，（+）.（-）=。（1） 求与的夹角；（2） 求。12. 已知、是两个非零向量，且=，求与+的夹角。13. 已知平面上三个向量、的模均为1，它们之间的夹角均为。（1） 求证：（-）；（2） 若>1（kR

24、）,求k的取值范围。14. 在四边形ABCD中，=，=，=,=，且.=.=.=.，试问：四边形ABCD是什么图形？并说明理由。15. 设向量=m+n（m,nR）,已知=2，=4，.=-4，且与的夹角为，求m,n的值。2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角基础梳理1. 已知两个非零向量=（，），=（，），则.=_，即两个向量的数量积等于_。2. 若=（x,y),则=_或=_，如果表示向量的有向线段的起点和终点坐标分别为（，），（，），则=_,=_.3. 设=（，），=（，），则_，_。4. 设、都是非零向量，=（，），=（，），是与的夹角，则cos=_.疑难剖析1. 平面向量数量积的坐标

25、表示（1)设、分别为x轴、y轴的单位向量，即=（1，0），=（0，1），且、为两个非零向量，=（，），=（，），即.=1，.=1，.=.=0，则有.=（+)(+)=+.+.=+(2) 引入坐标后，实现了向量的数量积的运算与两向量的坐标的运算之间的转化，从而将它们联系到一起。2. 平面向量的模、夹角的坐标表示（1） 由数量积的坐标表示，易得向量的长度（模）向量的长度(模）若=（x,y),则有=，=。两点间距离公式设A、B两点坐标分别为（，），（，），则=（2） 两向量垂直的充要条件的坐标表示若=（，），=（，），则有+=0（3） 两向量夹角的坐标表示若=（，），=（，），、的夹角为，则有cos=

26、题型1 数量积的运算例1 已知向量与同向，=（1，2），.=10（1） 求向量的坐标；（2） 若=（2，-1），求(.).变式1 求与向量=（，-1）和=（1，）夹角相等且模为的向量的坐标。题型2 垂直问题例2 设=（m+1,-3),=（1，m-1), 若（+）（-）求实数m的值。变式2 已知=（1，2），=（-3，2），若k+与-3垂直。求k的值。题型3 向量夹角问题例3 已知=1，=，+=（，1）。求：（1） ；（2） （+）与（-）的夹角。变式3 设=（4，-3），=（2，1），若+k与的夹角为，求实数t的值。题型4 向量垂直的综合应用例4 在ABC中，已知=（2，3），=(1,k),且

27、ABC的一个内角为直角，求k的值。变式4 设=(2,5),=(3,1），=(6,3),在上是否存在点M，使,若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。题型5 数量积坐标运算及应用例5 已知三个点A（2，1），B(3,2),D(-1,4）。（1） 求证：;（2） 要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值。变式5 已知ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3），BC边上的高为AD.(1） 求证：ABAC;(2） 求点D和向量的坐标；(3） 设ABC=，求cos;(4） 求证：=BD.CD.提升训练1. 已知A(1,2），B(2,3),C(-2,

28、5),则ABC的形状是 （ ）A. 直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形2. =（-4，3），=（5，6），则3-4.等于 （ ）A.23 B.57 C.63 D.833. 若=，=，当.<0时，则BAC为 （ ）A. 锐角 B.直角 C.钝角 D.以上答案都不对4. 已知=(1,0),=(1,1),且+k恰好与垂直，则实数k的值为 （ ）A.1 B.-1 C.1或-1 D.以上答案都不对5. 若=（x,2),=(-3,5) 且与的夹角是钝角，则实数x的取值范围是 （ ）A. (-,) B.(-, C.(,+) D.,+)6. 已知点A(1,0),B（5，-2），C

29、(8,4),D(4,6),则四边形ABCD为 （ ）A. 正方形 B.菱形 C.体形 D.矩形7. 若=（1，1），.=2，=3，则=_。8. 若=（4，-3），=1，.=5，则的坐标为_。9. 若平面向量与向量=（1，-2）的夹角为，且=3，则=_。10. 设、分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，+=2-8，-=-8+16，则.=_.11. 已知向量=（-2，2），=（5，k).(1) 若，求k的值；(2) 若的值不超过5，求k的取值范围。12. 已知ABC三顶点的坐标为A(2,-1)、B(3,2),C(-3,-1),ADBC于点D.(1) 求点D的坐标；(2) 求ABC的面积S.13. 已

30、知=(2,1),=(1,7),=(5,1),设C是直线OP上的一点。(1) 求使.取到最小值时的;(2) 对（1）中求出的点C,求cosACB.14. 已知=（，1），=（，），且存在实数k和t，使=+(-3），=-k+t,且，试求的最小值。2.5 平面向量应用举例基础梳理1. 物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是_。2. 物理中的力、速度、加速度、位移的合成和分解就是向量的_法。3. 用向量方法解决问题的“三步曲”（1） 建立平面几何与向量的联系，用_表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为_。（2） 通过_，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题。（3） 把_“翻译”成

31、几何关系。疑难剖析1. 向量在几何中的应用向量的方法运用于证明有关直线平行、垂直、线段的相等及点共线问题，其基本方法有：（1） 要证明线段AB=CD,可转化为证明=或=.（2） 要证明线段，只要证明存在唯一实数0，使=成立，且四点不共线即可。（3） 要证明线段ABCD，只要证明.=0即可。（4） 要证明A、B、C三点共线，只要证明存在唯一实数0，使=成立或设=，=，=，只要证明存在一个实数t,使=t+(1-t)即可。2. 向量在物理中的应用（1） 向量与力 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力既有大小，又有方向且作用于同一作用点的，用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上。（2） 向量与速度、加速度以及位移速度、加速度与位移的合成和分解，实质上是向量的加减法运算。（3） 物理上力做的功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积