概率论与数理统计复旦大学出版社习题答案

1、习题二X345P2设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样, 以 X 表示取出的次品个数，求：（1）X 的分布律；（2）X 的分布函数并作图；（3）【解】X 0,1,2.故 X 的分布律为X012P22121X3,4,5P(X13)-r0.1c；P(X34)-r0.3c；2P(X5)C30.6c；故所求分布律为1一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，球中的最大号码，写出随机变量【解】2, 3, 4, 5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3 只 X 的分布律.1PX-,P1X3, P1 X2P1 X 2.P(X0)P(X1)P(X2)C

2、322C：535.C2C：312C：535丄35Cl35353535(2) 当 x0 时，F (x) =P (XWx) =0当 0Wx1 时，F (x) =P (X x) =P(X=0)=22354.（ 1）设随机变量 X 的分布律为当 1wx2 时，F (x) =P ( Xwx) =1故 X 的分布函数F(x)0,223534351,x 00 x 11 x 2x 222353、L/3、L/八3434-)FF(1)0223535|)P(X1)P(1 X弓）1222353412)F(2) F(1) P(X2) 1 035353射手向目标独立地进行了律及分布函数，并求 3 次射击中至少击中 2 次

3、的概率.【解】设 X 表示击中目标的次数P(X0) (0.2)30.008P(X1) C；0.8(0.2)20.096P(X2) C3(0.8)20.2 0.384P(X3)3(0.8)0.512X0123P分布函数0,x 00.008,0 x 1F(x) 0.104,1 x 20.488,2x31,x 3P(X 2)P(X 2) P(X 3)0.896P(XF(2)P(1 XP(1 XP(1 X3 次射击，每次击中率为,求 3 次射击中击中目标的次数的分布则 X=0，1，2，3.故 X 的分布律为PX=k=a -,k!其中 k=0, 1, 2,，入0 为常数，试确定常数 a.（2）设随机变量

4、 X 的分布律为PX=k=a/N,k=1, 2,，N,试确定常数 a.【解】（1）由分布律的性质知kk) ak ok!（2）由分布律的性质知P(X 3,Y3)331212(0.4) (0.3)C30.6(0.4) C30.7(0.3)+C3(0.6)20.4C3(0.7)20.3 (0.6)3(0.7)30.32076P(X Y) P(X 1,Y0) P(X 2,Y0) P(XP(X 2,Y1) P(X 3,Y1) P(XC；0.6(0.4)2(0.3)3Cf(0.6)20.4(0.3)3332212(0.6) (0.3) C3(0.6) 0.4C30.7(0.3)(0.6)3C；0.7(0.

5、3)2(0.6)3C3(0.7)20.36设某机场每天有 200 架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为,P(Xk 0ageN1 P(Xk 1Nk)k1Na5甲、乙两人投篮，投中的概率分别为，今各投 3 次，求:（1） 两人投中次数相等的概率；（2） 甲比乙投中次数多的概率【解】分别令 X、Y 表示甲、乙投中次数，则Xb（3,） ,Yb（3,(1)P(X Y) P(X 0,Y0) P(X1Y 1) P(X2,Y2)3,Y0)3,Y2)且设各飞机降落是相互独立的试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落)【解】设 X

6、 为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(200,，设机场需配备 N 条跑道，则有P(X N) 0.01200即ckoo(O.O2)k(O.98)200 k0.01k N 1利用泊松近似np 200 0.024.4 kre 4P(X N) B0.0k N 1k!查表得 N 9故机场至少应配备 9 条跑道.7有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为，在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于2 的概率是多少(利用泊松定理)【解】设 X 表示出事故的次数，则 Xb (1000,)P(X 2)1 P(X 0) P(X 1)8已知在五重贝努里试验中成

7、功的次数X 满足 PX=1=PX=2,求概率 PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为p,则c5P(1P)4C5P2(1p)35 kk5 kP(X 3)c5(0.3)k(0.7)5 k0.16308k 3令 Y 表示 7 次独立试验中 A 发生的次数，则 Yb ( 7,)7kk7 kP(Y 3)C7(0.3) (0.7)0.3529330.1e0.10.1e所以P(X 4)13C5(2)4-3 39设事件 A 在每一次试验中发生的概率为，当A 发生不少于 3 次时,(1)(2)【解】10243.指示灯发出信号进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； 进行了 7 次独立试验，试求指示

8、灯发出信号的概率.(1) 设 X 表示 5 次独立试验中 A 发生的次数，则 X6 ( 5,)10.某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(1/2) t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计)5np 2000 0.00123113.进行某种试验，成功的概率为一，失败的概率为一.以 X 表示试验首次成功所需试验的次44数，试写出 X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率.【解】X 1,2,L ,k,LP(Xk)(1)k4134(1)(2)【解】(1)求某一天中午 12求某一天中午 123e2P(X 0)k k11.设 PX=k=C2p (1p)2m m一 、

9、4PY=m=C4p (1 p)时至下午时至下午k=0,1,2m=0,1,2,3,43 时没收到呼救的概率；5 时至少收到 1 次呼救的概率.P(X 1)1 P(X0)1 e2分别为随机变量 X, Y 的概率分布，如果已知5PX 1=，试求9PY 1.【解】因为P(X1)5，故P(X 1)-99P(X1)P(X0) (1p)2故得(1从而4g,13.465p)2(1 p)40.80247812000 册，因装订等原因造成错误的概率为，试求在这2000 册书中恰有P(Y 1) 1 P(Y 0)12.某教科书出版了5 册错误的概率【解】令 X 为 2000 册书中错误的册数，则Xb(2000,.利用

10、泊松近似计算，P(X255)00185P(X2)P(X4)LP(X 2 k)1 3,133L12k13,(1)4L414.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡1即保险公司获利不少于15.已知随机变量 X 的密度函数为f(x)=Ae| x,(3)20000 元的概率约为 62%求：(1 ) A 值；(2) P0X1;【解】(1)f(x)dx 1得Ae|xdxmx+8,0Ae xdx2Ap(0当 x0 时，F(x)12.i(111 :e dx e22xdxe1)1|xe dx21xe2exdx2x1-exdx02的概率为，每个参加保险的人在1 月 1

11、 日须交 12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金求：(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于10000 元、20000 元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.(1) 在 1 月 1 日，保险公司总收入为 2500X12=30000 元.设 1 年中死亡人数为 X,则 Xb(2500,则所求概率为P(2000 X 30000) P(X 15)1 P(X 14)由于 n 很大，p 很小，=np=5,故用泊松近似，有14e55kP(X 15)10.000069k 0k!P(保险公司获利不少于 10000)P(30000 2000 X 10000) P(X

12、10)55 ke 50.615961k 0k!10e55k0.986305即保险公司获利不少于10000 元的概率在 98%以上P (保险公司获利不少于20000)P(300002000X20000)P(X 5)1x2e，1xx 0F(x)x 01e216.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命0, X 100.求：（1）在开始 150 小时内没有电子管损坏的概率;（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率;(3) F( X).【解】1501001(1)P(X 150)孕dx -.100 x23P P(X 150)3(|)3287p2C33(I)29(3)当 x 100 时F(x) f

13、 (t)dt100 xf（t）dt肿灿x100亠1002dt 1100t2x,1001 ,x 100F(x)x0,x 0中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求【解】由题意知 XU0,a，密度函数为X 的分布函数10 xaf(x)a0,其他故当 x0 时 F (x) =0 xxx1x当 0a 时，F (x) =117.在区间0, a上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在即分布函数X 的密度函数为f(x)=1002，Xx 100,故所求概率为f(x)1e 1.【解】(1)若走第一条路，XN (40, 102),则x 4060 40P(X 60) P(2)0.977271

14、0 10若走第二条路，XN ( 50, 42),则0.9996c=3P(X 60) PX 50460 50(2.5)0.9938+故走第二条路乘上火车的把握大些(2)若 XN( 40，102)，P(X 45) PX 401045 4010(0.5)0.6915若 XN (50 , 42),则P(X 45)X 5045 501.25)(1.25)0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些21.设 XN( 3，22),(1)求 P2X5,P4 2,PX 3;PXc=RXWc.【解】(1)P(2(1)(1) 10.84130.69150.5328P( 4 X 10)10 32P(|X | 2)P(X

15、2)P(X2)0.69150.99380.6977X 3P(X 3) P(0)0.5若走第二条路，XN ( 50, 42),则22.由某机器生产的螺栓长度(cm) XN (,),规定长度在土内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率.【解】P(|X 10.051 0.12) PX 10.050.060.120060.04562) 21 (2)23. 一工厂生产的电子管寿命 X (小时)服从正态分布 N ，允许厅最大不超过多少(160, /),若要求 P120vX3;(3)求分布密度 f (x).lim F(x) 1A 1U (由x得lim F(x) limF(x)B 1x 0 x 0(2)P(X 2

16、)F(2)1 e2P(X 3)1 F (3) 1(1 e3)24.设随机变量 X 分布函数为Ax0 xe3xeBext0,0.(0),f(x) F (x)0,25.设随机变量 X 的概率密度为f (x)=x,2 x,0,x其他.1,2,求 X 的分布函数 F【解】当 x0 时 F (x) =0(x),并画出 f (x)(x).当 0wx1 时F(x)x0f(t)dt f (t)dtx0f(t)dtxtdt0当 1wx2 时F(x)xf(t)dtF(x)0,2x2,x22x21,1,26.设随机变量 X 的密度函数为(1)f(x)=ae| x,入 0;bx,1(2)f(x)=,x0,其他.1,2

17、,试确定常数 a,b，并求其分布函数【解】(1)由f(x)dxae|x|dx2a0exdx2af(x)当 xw0 时F (x)xf (x)dxexdx当 x0 时F (x)f (x)dx1xe2xe02xdx故其分布函数F(x)(2)由1f(x)dx1bxdx0得即 X 的密度函数为f (x)当 x 0 时 F ( x) =0当 0 x1 时F(x)f (x)dxxxdx0当 1Wx 2 时 F (x)故其分布函数为32=1F(x)27.求标准正态分布的上分位点,(1)=，求Z;(2)=，求z，Z/2.【解】(1)P(X z )0.0121 .2dx1x2b=1x,1，x0,其他xf(x)dx

18、of (x)dx00dx1xdx0dx0,2x2321,(Z )0.01(z )0.09故其分布函数故z 2.33(2)由P(X z )0.003得1(z ) 0.003即(z )0.997查表得z 2.75由P(X Z/2)0.0015得1 (z/2)0.0015(z/2)0.9985z/22.96求 Y=X2的分布律.【解】Y 可取的值为 0, 1，4，91P(Y 0) P(X 0)5117P(Y 1) P(X1) P(X 1)615301 P(Y 4) P(X2)511P(Y 9) P(X 3)30故Y的分布律为Y0149Pk1/57301/511/30129.设 PX=( )k, k=

19、1,2,，令21,当 X 取偶数时1,当 X 取奇数时.求随机变量 X 的函数 Y 的分布律.【解】P(Y 1) P(X 2) P(X 4) L P(X 2k) L即X21013Pk1/51/61/51/1511/30查表得28.设随机变量 X 的分布律为1 1(2)4 LP(Y 1) 1 P(Y 1)2330.设 XN (0, 1).(1)求 Y=eX的概率密度；(2)求 Y=2X2+1 的概率密度；(3)求 Y= | X |的概率密度.【解】(1)当 y0 时，FYW) P(Y y) P(exy)In yfx(x)dxP(Y 2X211) 1P(Y 0)1当 y0 时FY(y) P(|X

20、| y) P( y X y)fY(y)dFy(y)dy1-fx(ln y) y11Iny 一2冗62y/ 2,yP(X In y)当 yw1 时FY(y)P(Yy) 0当 y1 时FY(y)P(Yy) P(2X2P X2当 yw0 时FY( y)P(Y y) 0y)山P2X占故fY(y)即分布函数xx.yfx(x)dx故fY(y)辭(y) fX(y)fX( y)2y2 3/22ne031.设随机变量 XU (0,1),试求：1) Y=eX的分布函数及密度函数；(2) Z=2InX 的分布函数及密度函数.2ez/2dxln ydx0即分布函数0,In y,1,故 Y 的密度函数为【解】(1)P(

21、0 X 1)1P(1 Y eXe)1时FY(y)P(Yy) 01ye 时FY(y)P(eXy)(2)由 P (0X0 时，Fz(z)fY(y)P(ZP(Zz)P(Zz)P(ln Xy,0,P(2)其他0) 12ln XP(Xz)z/2InFY(y)即分布函数xx.故 Z 的密度函数为32.设随机变量 X 的密度函数为试求 Y=sinX 的密度函数.【解】P(0 Y 1)1当 yw0 时,FY(Y)P(Y当 0y0,且 sin xdxn在0,n上o sin xdx 21.故 f(x)不是密度函数。亠n在,0上sinx 0，故 f(x)不是密度函数。sinx0) =1,故 01e2X1,!卩 P

22、(0Y1) =1 当 yW0 时，FY(y) =0 当 y1 时，FY(y) =1当 0y k=23, 求 k 的取值范围(2000 研考)2【解】由 P (X k)=知1P (Xk)=-33若 k0,P(Xk)=0若 0wkw1,P(Xk)=k1k1dx0333当 k=1 时 P (Xk):13若 1wkw3 时 P (X11k1*) =dx0dx03132故只有当 1 1)=亠知 P (X=0) = (1p)3=-2727若 3kw6,贝 U P (X11k2211:6 则 P (X 2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)求(1)全部能出厂的概率a;(2)其中恰好有两台不能出厂的概率

23、(3;(3)其中至少有两台不能出厂的概率0.【解】设 A=需进一步调试, B=仪器能出厂，贝UA=能直接出厂, AB=调试后能出厂由题意知 B=A UAB,且P(A) 0.3,P(B| A) 0.8P(AB) P(A)P(B| A) 0.3 0.8 0.24P(B) P(A) P(AB) 0.7 0.24 0.94令 X 为新生产的 n 台仪器中能出厂的台数，贝 yX6 ( n,)(0.94)n2) C；(0.94)n 2(0.06)2P(X n 2)1 P(X n 1) P(X n)1 n(0.94)n10.06 (0.94)n47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态

24、分布，平均成绩为72分，96 分以上的占考生总数的，试求考生的外语成绩在60 分至 84 分之间的概率.f(x)5, 1 x 60,其他P(X24 0) P(X 2) P(X45.若随机变量 XN (2,62),且 P2x4=，则PX10,fy(y)丄2,y0,y11,1 x 2I解】fX(x)0,其他因为 P( 1X2) =1,故 P(e2Ye4) 当ye2时 FY(y)=P(Ywy)=0.=1当 e2y 1) =1(1995 研考)当 yw1 时，FY(Y)P(Yy)当 y1 时，FY(y)P(Yy)P(eXy)P(X In y)ln ye0 xdx52假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 兀的泊松分布.求相继