第九章 定积分

1、第九章 定积分§9-1定积分的概念一 几个典型问题1、曲边梯形的面积（四大问题之一）步骤（图示）：1） 任意分割；2） 以直代曲；3） 作和式（得近似值）；4） 取极限（得精确值）。2、变速直线运动的路程二 定积分的定义1、定义 设上有界，1） 任意分割：2） 作乘积：任取，作乘积3） 作和式：4） 取极限：若不管如何分割，如何选取，当时，上述极限如果存在，则称在上是可积的，并称此极限值为上的定积分，记为 介绍名称。引例中：注：2、可积条件充分条件：若满足下列条件之一，则上可积：上连续；只有有限个间断点的有界函数单调函数必要条件：若上可积，则在上一定有界。3 几何意义：设上连续（1）

2、 若，则（2） 若，则（3） 若有正有负，则（图示）例1 利用几何意义求积分例2 用定义计算积分;例3 利用定积分表示下列和式的极限：（1） （2）§9-2定积分的性质和积分中值定理一、定积分的性质：设在所讨论的区间上都是可积的，则有性质1 线性性质2 区间可加性性质3 保号性若性质4 不等式若 性质5 绝对值不等式 性质6 估值不等式 二、积分中值定理 若 (x)在a,b上连续，则至少存在一点a,b，使图示说明几何意义例1 证明: (用性质3或中值定理都可) 例2 比较大小：作业 P168/1，2，3，4§9-3微积分基本定理变上限积分 为引出牛顿-莱布尼兹公式：，先做些

3、准备工作 设 (x)在a，b上可积，则对于每一个a，b， 都有唯一确定的值与之对应，因此是一个定义在a，b上的函数，称为积分变上限函数。 注:中x是积分上限变量,在a，b上变化;t是积分变量,在a，x上变化。图示 从图中讨论 Th1（积分上限函数的求导定理）若 (x)在a,b上连续，则F(x)在a,b上一定可导，且有 注 1. F(x)也一定连续. 2. F(x)是 (x)在上的一个原函数. 3. 此定理也证明了连续的原函数一定存在.例1. 求 F(x)，其中:(1) F(x)= , (2) F(x)= ,(3) F(x)= , (4) F(x)= 例2求二牛顿-莱不尼兹公式Th2：若 (x)

4、在a,b上连续，（x）是 (x)的任意一个原函数，则有说明： 等于 (x)的任一个原函数在a，b上的增量问题：若是 (x)的两个原函数，？答：相等。不妨设证：由定理知 也是 (x)的一个原函数，于是有说明：定理1，2统称为微积分基本定理，Th1揭示了微分与积分在概念上的联系，连续函数的积分上限函数的导数就是被积函数，Th2是Th1的直接推论，它把定积分的计算化为求原函数的问题，称为牛顿莱布尼兹公式，是定积分的基本公式。例3 计算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）作业P169/6，7§9-4定积分换元法和分部积分法复习：定积分的基本公式（N-L公式）：（F(x)是(x)的任一个原函

5、数）是求定积分的最基本原理，定积分的线性性质及对积分区间的可加性是求定积分的基本工具。下面讨论求定积分的基本方法：一、定积分的换元法例1 典型错误：注：1.用凑微分法尽量不要引入新的变量,否则积分上下限要改变.2.用凑微分时不变积分基本公式一定要熟条件：x=(t)具有连续的导数(t)条件：（1）()=a，()=b，（2）x=(x)具有连续的导数(t)且a(t)b(t)注：1.用变量替代法计算定积分时积分上下限一定要改变。2.若被积函数含有例2例3例4例5 二、定积分的分部积分法 定积分的分部积分公式条件：u=u（x），v=v（x）在a，b上具有连续导数注：u（x）v（x）上不要忘记写上例6 例

6、7 三利用简化定积分计算的公式奇偶函数在关于原点对称区间上的积分设（）在，上可积，则有例8 wallis公式注wallis公式在计算，上正弦或余弦函数高次方的积分非常方便。例9（）（）（）说明：使用wallis公式应注意（）积分区间，（）被积函数周期函数的积分设（）是一个以为周期的可积函数，则有 例10 求解：原式=作业P170/9,12§9-5.广义积分 函数引言:定积分要求(1)a,b为有限区间； (2)(x)是有界函数。但在科技中有时会遇到区间是无穷或被积函数是无界的情形。为此需将定积分的概念加以扩展,得到所谓广义积分的概念。一、无穷区间上的广义积分引例：求由曲线(x)= ，轴

7、及直线x=1右边所围成的“开口曲边梯形”的面积A，（图示）解：A=1定义1：设(x)在a,+)上连续,则t(a,+),定积分存在,称表达式 为(x)在无穷区间a,+上的广义积分,记作 ,即= 若此极限存在,则称广义积分 是收敛的，此极限值就是广义积分的值，否则称广义积分是发散的。类似地，注：与t是两个独立的变量，只有当解：（1）原式= (2)原式= （3）原式=例3讨论的收敛性解：当 p1时，=当p=1时，=当p>1时收敛，当p1时发散二、无界函数的广义积分定义2 ：（1）设f(x)在a,b上连续，在b点附近无界，则(0,b-a),定积分存在，称表达式为f(x)在a,b上的无界函数广义积

8、分，记作即=若此极限存在，则称广义积分是收敛的，此极限就是广义积分的值，否则称广义积分是发散的。注： （1）区别上的广义积分与定积分，记号相同;（2）若 f(x)在(a,b)上连续，在a点附近无界，则=(3)若在内一点处附近无界，则=+=+其中与是两个相互独立的变量，只有当与都敛时，广义积分才收敛，否则是发散的例4讨论下列广义积分的收敛性，若收敛，求其值：（1） （2） （3）解： （1）原试=1（2）原试=-1（3） 不存在原广义积分发散例5讨论的收敛性解：当0<p<1时收敛，当p1时发散。三、函数概率论与数理统计中分布的密度函数中有函数。广义积分，当>0时是收敛的（证明不要求），它的值随的值而定，即，有唯一确定的值与之对应，构成了一个以为变量的函数。记为， 即=当0<<1时，的函数值可查表；当=1时，我们有=但是当>1时，我们应该