耦合Klein_Gordon_Schr_dinger方程的新精确解

1、32西北师范大学学报(自然科学版)第45卷2009年第6期JournalofNorthwestNormalUniversity(NaturalScience)Vol1452009No16耦合Klein2Gordon2Schr󰂪dinger方程的新精确解傅海明,戴正德3(云南大学数学与统计学院,云南昆明650091)摘要:用F2展开法,结合Maple环境中的Epsilon软件包,求解耦合Klein2Gordon2Schr󰂪dinger方程,获得了若干其它方法不曾给出的形式更为丰富的新的显式行波解,其中包括Jacobi函数解、三角函数解和双曲函数解.关键词:耦合Kl

2、ein2Gordon2Schr󰂪dinger方程;F2展开法;三角函数解;双曲函数解中图分类号:O175129文献标识码:A文章编号:10012988(2009)0620032203NewexactsolutionsforKlein2Gordon2Schr󰂪dingerequationsFUHai2ming,DAIZheng2de(CollegeofMathematicsandStatistics,YunnanUniversity,650091)Abstract:ThisarticlegetstheJacobiellipse,andtriangularperio

3、dicof2F2expansionmethod.Thealgebraic,hasbeenappliedtostudynewtravelingwavesolutionsforEquationsbymeansofEpsilonpackageinMaple.Morenewexplicittravellingwavesolutionsareobtained,whichcontainJacobifunctionsolutions,hyperbolafunctionsolutionsandtriangularperiodicsolutions.Keywords:Klein2Gordon2Schroding

4、erequation;F2expansionmethod;triangularperiodicsolutions;hyperbolafunctionsolutions非线性波方程被广泛应用于物理、工程技术和数学的众多分支当中,如非线性光学、量子论、流体力学、弹性理论和凝聚态物理等.传统的求解非线性波方程的方法主要有逆散射法1,Backlund法2,Darboux变换法3,Hirota双线性法4,Painlevé展开法5等.近年来,结合计算机代数和符号计算,人们提出了许多求解非线性波方程的新方法,如双曲函数法6,齐次平衡法7,Jacobi椭圆函数展开法8,包络变换法9,ADM方法10和

5、利用分支理论直接积分的方法11等.最近,范恩贵12提出了一种基于符号计算的代数方法,该方法可用于构造各种行波解,包括孤波解、三角函数周期解、有理函数解、Jacobi和Weierstrass椭圆函数周期解.本文先给出辅助函数方程的一些解,再利用该辅助方程解得耦合Klein2Gordon2Schr󰂪dinger方程的Jacobi椭圆函数解、三角函数解和双曲函数解.1辅助函数方程的解容易得到辅助函数方程(F()2=h6F6()+h4F4()+2)+h0h2F(的解如下1)(1)当h0=±2222,h2=2,4h4=󰂚,h6=时,方程(1)的解为a4a2F1=

6、±a+asn2(a为任意常数).收稿日期:2009203220;修改稿收到日期:2009206208基金项目:国家自然科学基金资助项目(10361007,10661002);云南省自然科学基金资助项目(2006A0082M),男,广东从化人,硕士研究生.主要研究方向为应用偏微分方程与非线性物理.作者简介:傅海明(19813通讯联系人,教授,硕士研究生导师.E2mail:zhddai2004yahoo1com1cn© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserve

7、d. 2009年第6期2009No16傅海明等:耦合Klein2Gordon2Schr󰂪dinger方程的新精确解NewexactsolutionsforKlein2Gordon2Schrodingerequations,2m332)当h0=±h2=,4h4=󰂚,ah6=时,方程(1)的解为4a2(a为任意常数).26󰂚a+acoth(±)+bcsch(±222F13=2,2F2=+asnm22226󰂚(a+b)-3)当h0=,h2=4,h4=󰂚,a2(a-b2)coth(±

8、22),h6=-时,方程(1)的解为4a2其中a,b为任意常数.6)当h2>0时,方程(1)的解为F14=h42F3=±a+asn4)当h0=2(a为任意常数).)2,h2=-1-4,h4=󰂚a,F15=-h2h6(1±tanh(,h6=-时,方程(1)的解为4a2h4)2-h2h6(1±coth(2,F4=±a+adn=0时,方程(1)的解为F5=F6=-(h4h4-(2a+2(a为任意常数).F16=45)当h2>0,h6>0,h0=0,h4-4h2h6(±2)2-64h2h6.720,h>(1)的解

9、为)2,17h4±2)h2h2h6tan(.2)+8)当h2<0,h6<0时,方程(1)的解为F18=h4±2)2h6cot(2F7=F8=b2tanh()2.,-coth(h4h4)2,2耦合Klein2Gordon2Schr󰂪dinger方程的新精确解为了求耦合Klein2Gordon2Schr󰂪dinger方程it+=0,6a-atanh(±22)+F9=bsech(±2)2,(2)=0(3)+-tt-6±2ab-)2(a+b2)sech(±222的解,设(x,t)=eiu(x,t),

10、其中=k1x+w1t+0.将(3)式代入(2)式得ut+k1ux=0,F10=+6-4tanh(2/2)u-(2w1+k12)u+2u=0,2+-u2=0.tt-(4)2-4tanh(2/2)F11=,),(x,t)=()(其中=k2x+令u(x,t)=u(w2t+0),(4)式变为w2+k1k2=0,22u=0,k2u-(2w1+k1)u+22(w22-k22)-u2=0.+6-2a-)22btanh(,(5)F12=),()为F()的函数设u(© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All r

11、ights reserved. 34n西北师范大学学报(自然科学版)JournalofNorthwestNormalUniversity(NaturalScience)第45卷Vol145)=u()=i=1mi)+a0,aiF(6)iii=1)bF(+b0,利用MAPLE解方程(8)(25),得如下解242a0=-Bh62232222B-)满足(1)式.由平衡法得m=4,n=4,则而F()=a0+a1F+a2F2+a3F3+a4F4,u(7)()=b0+b1F+b2F2+b3F3+b4F4.16h2h62+3h42h6,a1=0,a2=a3=0,a4=-12h4h62式中a4b40.将(7)式

12、代入(5)式,并利用辅助)的函数,设其各次方的系函数方程(1)得关于F(数为零,得a4b4=0,24k22a4h6+22a3b4+2a4b3=0,k215a3h6+2k2(8a2h6+20a4h4)+2A22-24h6,.-(26)(8)(9)(10)(11)b0=222B-h6.,h6(k12-1)422B2(a2b4+a3b3+a4b2)=0,22k2(3a1h6+12a3h4)+(a1b4+a2b3+a3b2+a4b1)=0,22k2(6a2h4+16a4h2)+=0,2=3b4-6h4(a0b4+a1b3+a2b22a3b1ab0)-k12,2k2(2a1h42)+22-)(a0b3+

13、a1b2+a2b1+a3b0)-2(2w1+k12)a3=0,2(a0b2+k2(4a2h2+12a4h0)+22a1b1+a2b0)-(2w1+k1)a2=0,2(a0b1+k2(a1h2+6a3h0)+224211w1=,2(k12-1)k1w2=±.B(13)(14)222A=(288h2h4h6-512h2h6-42h44)(k12-1),222B=(256h2h6-144h2h4h6+(15)a1b0)-(2w1+k12)a1=0,a0b0-(2w1+k12)a0=0,(16)2k22a2h0+2(17)24(w22-k22)b4h6-a42=0,a3a4=0,(18)15

14、(w22-k22)b3h6-2(w22-k22)(20b4h4+8b2h6)-21h44)(k12-1)2.k1为任意常数,k2=.约束条件为B(27)68h0h62=h4(4h2h6-h42).结合辅助函数方程(1)的解,得到方程(2)的解为(19)i2)+a4Fi4(),i=e(a0+a2Fi(a32+2a2a4)=0,(w22-k22)(12b3h4+3b1h6)-(2a2a3+2a1a4)=0,(w22-k22)(6b2h4+16b4h2)-(20)2)+b4Fi4().i=b0+b2Fi(i=1,2,18)(28)2(a22+2a1a3+2a0a4)+b4=0,(21)其中=k1x+

15、k12(w22-k22)(2b1h4+9b3h2)-2(2a1a2+2a0a3)+b3=0,-k142-(22)(23)(24)2(k12-1)t+0,(w22-k22)(4b2h2+12b4h0)-(a1+2a0a2)+b2=0,22=x±k1Bt+0,(w22-k22)(b1h2+6b3h0)-2a0a1+2b1=0,22(w22-k22)b2h0-a02+b0=0.a0,a2,a4,b0,b2,b4由方程组(26)给出,h0,h2,h4,h6由(27)式约束.(25)(下转第42页)© 1994-2010 China Academic Journal Electron

16、ic Publishing House. All rights reserved. 42西北师范大学学报(自然科学版)JournalofNorthwestNormalUniversity(NaturalScience)第45卷Vol145参考文献:1WUDa2cheng,LIAOQi.RandomwalkterminallyattachedtowallondifferentlatticesJ.ChineseScienceBulletin,1997,42:4332437.6MEIROVITCHH.Scanningmethodasanunbiasedsimulationtechniqueandit

17、sapplicationtothestudyofself2attractingrandomwalksJ.1985,32(6):369923708.7ZIVICI,MILJKOVICV,MILOSEVICS.Statisticsofthetwoself2avoidingrandomwalksonthethree2dimensionalfractallatticesJChaos,SolitonsandFractals,2007,33:115721167.PhysRevA,2RICHMONDP,LALM.Theoreticaltreatmentofentropicrepulsionsbypolyme

18、rsJ,ChemPhysLett,1974,24:5942596.3deGENNESPG.ConformationsofpolymerattachedtoaninterfaceJ.106921075.4deQUEIROZLA,CHAVESCMZ.CellPhys,Macromolecules,1980,13:8ROBERTJ.Randomwalksinarandomenvironmentonastrip:arenormalizationgroupapproachJ.JPhysA:MathTheor,2008,41:3150012315007.9ROBERTJ.Superdiffusionina

19、classofnetworkswithmarginallong2rangeconnectionsJ.PhyRevE2008,78:066106120661069.10杨展如.分形物理学M.上海:上海科技教育出renormalizationofgrowthprocesses:Trueself2avoidingwalksandgrowinganimalsJ.1980,B40:992104.5丁恩勇,黄畇,赵得禄.二维正方格点上自踪迹规避链的临界指数J.物理化学学报,1999,15(9):7692774.,:20224.(孙晓玲)(上接第34页)参考文献:1ABLOWITZMJ,CLARKSONPA

20、.NonlinearEvolutionEquationsandSoliton,InversephysicsJ.PhysLettA,1996,213:67275.8刘式适,傅遵涛,刘式达,等.Jacobi椭圆函数展开法及其在求解非线性波动方程中的应用J.物理学报,2001,50(11):206822073.9傅海明,戴正德.一个(2+1)2维激光方程的孤波解J.西北师范大学学报:自然科学版,2009,45(1):44247.10SALANM,KAYAD.AnapplicationoftheADMtoseven2orderSawada2KotaraequationsJ.AppLiedMathematicsandComputation,2004,157:ScatteringM.CambridgeUnivPress,1991.2谷超豪.孤立子理论及其应用M.杭州:浙江科技出版社,1990.3MATVEEVVB,SALLEMA.1991.4HIROTAR.ExactsolutionoftheKorteweg2deVriesequationformultiplecollisionsofsolitonsJ.PhysRevlett,1971,27:119221194.Dar