数学建模实验-钢管下料和保姆招聘问题

1、重庆交通大学学生实验报告实验课程名称：数学建模开课实验室：数学实验室学 院： 学院级 专业班1 班学生姓名：学号开课时间： 2013 至 2014 学年第1学期综合评分依据优良中差实验到课情况论义表述的清晰度和结构的完整性所构建数学模型及其求解方法的正确性数学建模的创新性实验成绩实验指导教师实验一：钢管下料问题摘要本文是针对如何对钢管进行下料问题，根据题目要求以及下料时有关问题进行建立切割费用最少以及切割总根数最少两个目标函数通过结果分析需要使用何种切割模式。生产方式所花费的成本价格或多或少有所不同，如何选取合理的生产方式以节约成本成为了很多厂家的急需解决的问题。 这不仅仅关系到厂家的利益，

2、也影响到一个国家甚至整个人类星球的可利用资源， 人们的生活水平不断提高对物资的需求量也不断上升， 制定有效合理的生产方式不仅可以为生产者节约成本也可以为社会节约资源， 以达到资源利用最大化。 本文以用于切割钢管花费最省及切割总根数最少为优化目标， 通过构建多元函数和建立线性整数规划模型， 利用数学及相关方面的知识对钢管的切割方式进行优化求解最佳方案。本文最大的特色在于通过求解出切割钢管花费最省及切割总根数最少时分别得出两种目标函数取最小值时的切割模式。 通过结果发现两种目标函数取最小值时所需切割根数都一样。 于是选择切割钢管花费最省为目标函数， 此时的切割模式达到最少，这样既满足了总根数最小有

3、满足了切割费用最小。一、 问题重述某钢管零售商从钢管厂进货， 将钢管按照顾客的要求切割后出售。 从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm现有一客户需要15根290mm 28根315mm 21根350mmffi 30根455mm勺钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4 种， 使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的 1/10 增加费用， 使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的 2/10增加费用， 依次类推， 且每种切割模式下的切割次数不能太多 （一根钢管最多生产 5 根产品） 。 此外， 为了减少余料浪费， 每种切割模式下的余料不能超过100mm。为

4、了使总费用最小，应如何下料？二、基本假设与符号说明基本假设：假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化 . 不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行.1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm勺钢管。2、假设每次切割都准确无误。3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。5、假设钢管余料价值为0.6、假设一切运作基本正常不会产生意外事件。7、每一根钢管的费用都一样，为一常值。问题分析符号说明:符号意义X表示按照第i种切割模式(i-1,2,3,4)切割的原料钢管的根数1i第i种切割模式下每根原料钢管生产 290mms管的数量r2i第i种切割模式下每根原料钢管生产315mms管的数量3i第i种切割模

5、式下每根原料钢管生产350mms管的数量4i第i种切割模式下每根原料钢管生产455mms管的数量P生产钢管过程所需要增加的总费用N所需钢管的总根数结合题意，首先我们要确定应该选取哪些切割模式，生产 15根290mm 28 根315mm 21根350mms 30根455mm勺钢管，每一种切割模式都要符合客户的 需求在原料钢管上安排切割的一种组合，而且必须满足一根原料刚管只能生产 5 根钢管。例如，我们可以将1850mm勺钢管切割成5根长350mm勺钢管，余料为 100mm或者将长1850mm勺钢管切割成长315mm 355mnmF口 455mm勺钢管2根、2 根、1根，余料为65mm显然，可行的

6、切割模式是很多的。于是问题化为在满足 客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式进行切割，每种模式切割多少根原料 钢管最为节省。而由于需求的钢管规格为4种，所以枚举法的工作量较大。可以 用xi表示按照第i种模式(i=1,2,3 , 4)切割的原料钢管的根数。又设使用第 i种切割模式下每根原料钢管生产长 290mm 315mm 355mn#口 455mm勺钢管数量 分别为 r1i ,，r3i , r4i。而所谓节省，这里有两种标准，一种切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。三、模型的建立根据情况，我们忽略每根钢管的成本价，直接计算增加的总费用，即:min P=0.1x1+0.2x2

7、+0.3x3+0.4x4总根数最少：min N= x1 + x2 + x3 + x4假设条件 x1>=x2>=x3>=x4(3-1)满足客户需求的约束条件为：门1x1+门2x2+门3x3+门4x4 > 15(3-2)2仅1 +/22乂2+/23乂3+/24乂4 > 28(3-3)31x1 + r32x2+r33x3+r34x4 > 21(3-4)4仅1 +42乂2+43乂3+44乂4 > 30(3-5)每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过1850mm,也不能少于1750mm (余料不能大于100mm),于是1750< 1

8、5门1+2821+2131+3041 < 1850(3-6)17500 15r12+2822+2132+3042 <1850(3-7)1750< 15门3+2823+2133+3043 < 1850(3-8)17500 15r14+2824+2134+3044 <1850(3-9)最后，加上非负整数约束：xi , rji e Z+ ,i=1,2,3,4 j=1,2,3,4(3-10)于是，问题归结为在在约束条件（3-2）（3-10）下，求为和 小 自，自，4i （i=1,2,3）使目标（3-1）达到最小。显然这是线性整数规划模型。四、模型的求解非线性整数规划模型（

9、4-1）（4-9）虽然用LINGO次件可以直接求解，但 为了减少运行时间，可以增加一些显然的约束条件，从而缩小可行解的搜索范围。 例如，由于4种切割模式的排列顺序是无关要紧的，所以不妨增加以下约束：> > >, 、Xi x2 x3 x4（3-11）首先，原料钢管的根又如，注意到所需原料钢管的总根数有明显的上界和下界 数不可能少于=19(3-12)15 290 28 315 21 350 30 4551850（根）。其次，考虑一种非常特殊的生产计划：第一种切割模式下只生产290mm钢管，一根原料钢管切割成6根290mm钢管，为满足15根290mm钢管的需求， 需要3根原料钢管；

10、第二种切割模式下只生产 315mm钢管，一根原料钢管切割 成5根315mm钢管为满足28根315mm的需求，需要6根原料钢管；第三种切 割模式下只生产350mm钢管，一根原料钢管切割成 5根350mm钢管，为满足 21根350mm钢管的需求，需要5根原料钢管；第四种切割模式下只生产455mm 钢管，一根原料钢管切割成4根455mm钢管，为满足30根455mm钢管的需求， 需要8根原料钢管。于是满足要求的这种生产计划共需要 3+6+5+8=22根原料钢 管，这就得到了最优解的一个上界，所以可增加以下约束：(3-13)19 M X1 + X2 + X3 + X4 - 22将式(4-1)(4-13)

11、构成的卞K型输入LINGO如下: model:min=x1+x2+x3+x4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=30;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=185

12、0;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;x1+x2+x3+x4>=19;x1+x2+x3+x4<=22;x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;gin(x1)； gin(x2)； gin(x3)

13、; gin(x4);gin(r11);gin(r21)； gin(r31); gin(r41)； Endgin(U2);gin(r22)；gin(r32)；gin(r42)；gin(r13);gin(r23);gin(r33);gin(r43);gin(r14);gin(r24);gin(r34);gin(r44);16当花费P最少时，得到结果为：总共需要19根原料钢管。分别为：模式一：一根原料可以切割成 315mrffl管2根,350miffl管2根，455mrffl管1根，总共8根。模式二：一根原料可以切割成 290mmB管1根，315miffl管2根，455miffl管2 根 总共 6根

14、。模式三：一根原料可以切割成 290mlB管2根，350mlB管1根，455miffl管2 根，总共5根。当总根数最少时，得到结果为 : 总共需要19根原料钢管。分别为：模式一：一根原料可以切割成290m1H管1根，315mrffl管2根，455mms管2 根，总共7根。模式二：一根原料可以切割成 315mmB管1根，350mmfi管3®, 455m1fi管1 根 总共 5根。模式三：一根原料可以切割成 290mmB管2根，315mrffl管1根，455mrffl管2 根，总共4根。模式四：一根原料可以切割成 315mrffl管2根，350mrffl管2根，455mrffl管1根，总

15、共3根。当总根数最少时，得到结果为 : 总共需要19根原料钢管。分别为：模式一：一根原料可以切割成290mrfi管1根，315mrffl管2根，455mms管2 根，总共7根。模式二：一根原料可以切割成 315mmB管1根，350mrfi管3®, 455m1fi管1 根 总共 5根。模式三：一根原料可以切割成 290mmB管2根，315mrffl管1根，455mrffl管2 根，总共4根。模式四：一根原料可以切割成315m1fi管2根，350m1B管2根，455mrffl管1根，总共3根。综合两种情况，当两个目标函数取最小值时，所需的总根数都为19 。如果选择总根数最小为目标函数，

16、则切割模式增加一种， 那么切割费用有所增加。 为此选择切割费用最小为目标函数， 这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最 小。五、模型评价在本文中，对于如何下料是根据客户的需要建立了两个目标函数，通过求解模型发现，总根数最小为目标函数及切割费用最小为目标函数都取最小值时，所需原料都一样。 那么本文的优点就是通过结果比较， 再结合客户需求选取切割费用最少为目标函数。 此时的切割模式达最少， 这样既满足了总根数最小有满了切割费用最小。六、参考文献1.数学模型（第四版），高等教育出版社 姜启源等附录附录一：Lingo 求解代码：min =x1+x2+x3+x4;r11*x1+r12*x2+r13*x

17、3+r14*x4>=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=30;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;290*r11+315*r21

18、+350*r31+455*r41>=1750;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;x1+x2+x3+x4>=19;x1+x2+x3+x4<=22;x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;gin (x1);gin (r11);gin (r21);gin (r31);gin (r41); Endgin (x2);gin (r12);gin (r22);g

19、in (r32);gin (r42);gin (x3); gin (x4);gin (r13);gin (r23);gin (r33);gin (r43);gin (r14);gin (r24);gin (r34);gin (r44);附录二：Local optimal solution found at iteration:4372119.00000Objective value:VariableValueReduced CostX18.0000000.000000X26.0000000.000000X35.0000000.000000X40.0000000.000000R110.00000

20、00.000000R121.0000000.000000R132.0000000.000000R140.0000000.000000R212.0000000.000000R222.0000000.000000R230.0000000.000000R240.0000000.000000R312.0000000.000000R320.0000000.000000R331.0000000.000000R340.0000000.000000R411.0000000.000000R422.0000000.000000R432.0000000.000000R444.0000000.000000RowSla

21、ck or Surplus Dual Price119.00000-1.00000021.0000000.00000030.0000000.00000040.00000050.0000000.000000665.000000.000000720.000000.000000810.000000.000000930.000000.0000001035.000000.0000001180.000000.0000001290.000000.0000001370.000000.000000140.000000-1.000000153.0000000.000000162.0000000.000000171

22、.0000000.000000185.0000000.000000附录三：Local optimal solution found at iteration:12509Objective value:19.00000VariableValueReduced CostX17.0000000.000000X25.0000000.000000X34.0000000.000000X43.0000000.000000R111.0000000.0000000.000000R120.0000000.000000R132.0000000.000000R140.0000000.000000R212.000000

23、0.000000R221.0000000.000000R231.0000000.000000R242.0000000.000000R310.0000000.000000R323.0000000.000000R330.0000000.000000R342.0000000.000000R412.0000000.000000R421.0000000.000000R432.0000000.000000R441.0000000.000000RowSlack or Surplus Dual Price119.00000-1.00000020.0000000.00000031.0000000.0000004

24、-0.4975089E-070.00000050.0000000.000000620.000000.000000730.000000.000000845.000000.000000965.000000.0000001080.000000.0000001170.000000.0000001255.000000.0000001335.000000.000000140.000000-1.000000153.0000000.000000162.0000000.000000171.0000000.000000181.0000000.000000实验二：保姆招聘问题摘要本题主要讨论一家保姆公司招聘保姆计划

25、制定的问题。 根据该公司下年各季度保姆需求的调查，针对题目的问题建立线形规划数学模型。应用LINDO软件，编写相应的程序，对建立的模型进行求解。取整得出了实际的结果。已知保姆公司春夏秋冬四个季节对保姆的需求量和每个保姆每个季度的上岗时间以及每个保姆每个月应得的报酬， 在保证保姆公司每年获利最大的情况下建立模型求解问题。本模型的基本设计思想是以该保姆公司本年度付出的总报酬最少为目标， 从四个季节中找出约束条件，再加上对变量的非负约束，然后对求解问题用 LINDO软件求解，用LINGO检验。题重述服务公司专门向顾主提供保姆服务。根据统计，下年的需求是：春季6000人日，夏季7500 人日，秋季55

26、00 人日，冬季9000 人日。公司新招聘的保姆必须经过 5 天的培训才能上岗。每个保姆每季度工作（新保姆包括培训） 65 天。保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬， 每人每月工资800元。 春季开始时公司拥有 120 名保姆，在每个季度结束时，将有15%的保姆自动离职1：如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；哪些季度的增加不影响招聘计划？可以增加多少？2：如果公司允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划。、基本假设与符号说明基本假设：对于问题一：首先因为公司不允许解雇保姆，所以不需要考虑在此期间保姆流失的问题。根据市场春夏秋冬的需求量，存在一个保姆的人数和需求量达到吻合

27、。满足市场需求且保姆人数最少时，公司的利润最大。对于问题二：首先因为公司允许解雇保姆，所以需要考虑在此期间保姆流失的问题。根据市场春夏秋冬的需求量，存在一个保姆的人数和需求量达到吻合。满足市场需求且保姆人数最少时，公司的利润最大。符号说明：对于问题一：设：四个季度开始时，公司新招聘的保姆数为： x1,x2,x3,x4四个季度开始时保姆的数量为： s1,s2,s3,s4以本年度付出的报酬最少为目标函数： Min= s1+s2+s3+s4对于问题二：设: 四个季度开始时，公司新招聘的保姆数为 :x1,x2,x3,x4四个季度开始时，保姆的数量为:s1,s2,s3,s4四个季度结束时解雇的保姆数量为

28、 :y1,y2,y3,y4以本年度付出的报酬最少为目标函数： Min= s1+s2+s3+s4三、模型的建立对于问题一建立模型：由于季度初保姆的人数= 原有保姆的人数+ 季度初招聘保姆的人数，每个季度结束后会有%15的保姆自动离职，在新保姆培训的前提下，每个季度保姆的工作量要满足需求。因此，建立的线性规划求最优解模型如下：（ 1） 65*s1>=6000+5*x1（ 2） 65*s2>=7500+5*x2（ 3） 65*s3>=5500+5*x3（ 4） 65*s4>=9000+5*x4（ 5） s1=120+x1（ 6） s2=0.85*s1+x2（ 7） s3=0.

29、85*s2+x3（ 8） s4=0.85*s3+x4（ 9） x1,x2,x3,x4>=0（ 10） s1,s2,s3,s4>=0对于问题二建立模型：若公司允许解雇保姆， 季度初保姆的人数= 原有保姆的人数+ 季度初招聘保姆的人数-上一季度末解聘的保姆的人数，则可建立的模型如下：（ 1） 65*s1>=6000+5*x1（ 2） 65*s2>=7500+5*x2（ 3） 65*s3>=5500+5*x3（ 4） 65*s4>=9000+5*x4（ 5） s1=120+x1（ 6） s2=0.85*s1+x2-y1（ 7） s3=0.85*s2+x3-y2（

30、8） s4=0.85*s3+x4-y3（ 9） x1,x2,x3,x4>=0（ 10） s1,s2,s3,s4>=0四、模型的求解对于问题一：春季初招聘的保姆人数x1=0 人，夏季处招聘的保姆人数x2=15 人，秋季处招聘的保姆人数x3=0 人：冬季处招聘的保姆人数x4=59 人时，公司可以得到最大收益， 且此时的最大的收益即最少人数是z=479 ， 由模型的建立结果可以看出，秋季初招聘的保姆人数x3 的变化不影响招聘计划。春季初招聘的保姆人数x1=0,夏季初招聘的保姆人数x2=15;秋季初招聘的 保姆人数x3=0;冬季初招聘的保姆人数x4=73时，春季末解雇的保姆人数y1=0,

31、夏季末解雇的保姆人数y2=15,秋季末解雇的保姆人数y3=0；冬季末解雇的保姆 人数 y4=0; 公司可以得到最大收益，且此时的最大的收益即最少人数是z=465。五、 模型评价1. 模型的优点：（ 1） 采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。（ 2） 建立的数学模型都有相应的专用软件支持，容易推广。（ 3） 利用数学工具，严格地对模型求解，具有科学性。2. 模型的缺点：利用数学工具，严格地对模型求解，具有科学性。上面建立的两个优化模型基本能够解决本题所涉及的问题， 但是在对于更多的实际问题存在一定的差距， 比如由于地区的不同， 地理环境和气候的不同会影响实验结果， 所以需要采集更多的数据

32、还有更多的方案才有利于模型的推广和使用等。六、参考文献1.数学模型 （第四版），高等教育出版社姜启源等附录问题一，代码如下：Min= s1+s2+s3+s4;65*s1>=6000+5*x1;65*s2>=7500+5*x2 ;65*s3>=5500+5*x3;65*s4>=9000+5*x4;s1=120+x1 ;s2=0.85*s1+x2 ;s3=0.85*s2+x3;s4=0.85*s3+x4;x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;s1>=0;s2>=0;s3>=0;s4>=0;问题二，代码如下：Min=

33、s1+s2+s3+s4; 65*s1>=6000+5*x1; 65*s2>=7500+5*x2 ; 65*s3>=5500+5*x3; 65*s4>=9000+5*x4; s1=120+x1 ;s2=0.85*s1+x2-y1 ;s3=0.85*s2+x3-y2 ; s4=0.85*s3+x4-y3; x1>=0;x2>=0 ;x3>=0;x4>=0;s1>=0;s2>=0;s3>=0 ;s4>=0;对于问题一：Global optimal solution found.478.51071Objective value:Total solver iterations:VariableValueReduced CostS1120.00000.000000S2116.50000.000000S399.025000.000000S4142.98570.0