导数在处理不等式的恒成立问题一轮复习教案

1、导数中的不等式恒成立问题适用学科数学适用年级高二年级适用区域全国课时时长（分钟）120知识点1导数公式2函数的单调性3函数中的不等式包成立问题教学目标1理解和掌握导数在处理不等式包成立问题是高考的一个难点。2能应用导数的方法来研究函数中的不等式问题，,来培养学生应 用数学分析、解决实际函数的能力.3培养学生学习的积极性和主动性，发现问题，善于解决问题，探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质教学重点导数的公式，函数的单调性，不等式问题教学难点导数研究函数中的不等式问题学习过程一、复习预习考纲要求：1 .理解导数和切线方程的概念。2 .能在具体

2、的数学环境中，会求导，会求切线方程。3 .特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。4 .灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。5 .灵活应用导数研究函数的单调性问题二、知识讲解1 .导数的计算公式和运算法则几种常见函数的导数：C' 0(C为常数)；(xn) nxn1(n Q)；(sin x)' cosx; (cosx)' sin x ; (ln x) 一； (log a x) - loga e , (ex)ex ; (ax)ax In a求导法则：法则 1u(x) v(x) u (x) v(x).Cu'(x)法则 2u(

3、x)v(x) u (x)v(x) u(x)v(x), Cu(x) 法则 3 ： u uuv复合函数的导数：设函数u (x)在点x处有导数u x (x),函数y f (u)在点x的对应点u处有导数y u f u ,则复合函数y f( (x)在点x处也有导数，且 y'x y'u u'x或 f x( (x) f (u)(x)2 .求直线斜率的方法(高中范围内三种)k tan (为倾斜角)； k f(X)f(x2) ,两点(xj(xi),(x2,f(x2); x1 x2k f (xo)(在x x。处的切线的斜率)；3 .求切线的方程的步骤：(三步走)(1)求函数f(x)的导函数

4、f (x)；(2) k f (xo)(在x x。处的切线的斜率)；(3)点斜式求切线方程y f (xo) k(x xo)；4 .用导数求函数的单调性：(1)求函数f(x)的导函数f (x)；(2) f (x) 0,求单调递增区问；(3) f (x) 0 ,求单调递减区问；(4) f (x) 0 ,是极值点。考点一 函数的在区间上的最值【例题1】：求曲线y x3 6x2 9x 2在(2,5)上的最值。【答案】：最大值为18,最小值为-2.【解析】：二.根据题意y' 3x2 12x 9 0,.-. xi 1,x2 3,由函数的单调性，当x1 1,y 2, 取得极大值；当x2 3, y 2,

5、取得极小值；当x 5, y 18。所以最大值为18,最小 值为-2.【例题2】：求曲线y x3 3x2 1在(2,5)上的最值范围 。【答案】:(19,51)【解析】：由f (x) 3x2 6x 0, x1 0,x2 2 ,该函数在(，0) (2,)上单增，在(0,2)上 单减，当 x 0, y 1 ； x 2,y3；x 2, y 19 ； x 5, y 51。曲线 y x3 3x2 1 在(2,5)上的最值范围为(19,51)。考点二用导数研究函数的单调性【例题3：已知函数f(x) ax3 x2 x 5在R上是单调递增函数，求a的取值范围。【答案】：a 1 3【解析】：f (x) 3ax2

6、2x 1 ,因为f(x)在R上单调递增，所以，f (x) 0 ,即：a 0 .一a 0.一13ax 2x 1 0在R上恒成立，即：，所以，所以，a -。04 12a 03【例题4】：设函数f(x) xekx(k 0).求函数f(x)的单调区间;【答案】：若k 0,则当x , 1时，f' x 0,函数f x单调递增，当x - kk时，f x 0,函数f x单调递减。【解析】：由f' x 1 kx ekx 0,得x 1k 0 , k若k 0,则当x ,1时，f' x 0,函数f x单调递减， k时，f x0 ,函数f x单调递增，若k 0 ,则当x时,f x 0,函数f x

7、单调递增，当x,时,0,函数f x单调递减。考点三用导数证明不等式【例题51:设函数f x 1【答案】：如下【证明】：当x 1时，f (x)g (x) 0 , g (x)在 0.£ex,证明：当x>-1时，f当且仅当，令g(x) ex x 1享函数：当x 0时g (x)(x 1 ,则 g(x) ex 1.当 x 0 时,g(x)在 .0是减函数，于是g(x)在x 0处达到最小值，因而当x R时，g(x) g(0),即ex 1 x,所以当x 1时, f(x)2x【例题6】：设函数f(x) ln(1 x)上乙,证明：当x>0时，f(x)>0； x 2【答案】：如下12(

8、x 2) 2x证明:Q f (x) Jx 1 (x 2)2故函数f (刈在(1,)单调递增，当x 0 时，f(x) 0 ,故当 x 0, f(x) 0。2x2 0,(x1),仅当 x 0 时 f(x) 0(x 1)(x 2)2考点四函数中含参数的问题x e 【例题7】：设f(x) 2,其中a为正实数，若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范1 ax【答案】：0 a 1.2【解析】：对f(x)求导得f (x) e1 ax 2 ax.若f(x)为r上的单调函数，则f(x)在 (1 ax )R上不变号，结合与条件知 ax2 2ax1 0,在R上恒成立，因此4a2 4a 4a(a 1) 0,由此并结合

9、a0,知 0 a1.【例题8：已知点P在曲线士上,e 1为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 的取值范围是【解析】：因为y'4ex/ x . .2(e 1)考点五导数的综合问题【例题9】：设a 0 ,讨论函数f (x) ln x a(1 a)x2 2(1 a)x的单调性.【答案】：如下【解析 】函 数 f(x) 的 定 义 域 为 (0,),1f (x) 2a(1 a)x 2(1 a) x2a(1 a)x2 2(1 a)x 1x令 g(x) 2a(1 a)x2 2(1 a)x 1 ,2_24-4(1 a)8a(1a) 12a16a4 4(3a1)(a 1)11 a .(3a 1)(a 1)

10、当0 a 时，0 ,令f (x) 0 ,解得x S则当0 x1 a 2a3ao 或 x1 a ，(3a 1)(a 1)时,f (x) 02a(1 a)32a(1 a)当 1 a J(3a 1)(a 1) x 1 a J(3a 1)(a 1)时 f (x)2a(1 a)2a(1 a)'则 “x)在1 a 2gy(1 a ；(3a 1)(a 1)2a(1 a)上单调递增,当1 a 1时,3在 j a J(3a 1g j! 1 a J(3a 1g J2)上单调递减2a(1 a) '2a(1 a)当a 1时,0 ,令f (x) 0 ,解得x1 a .(3a 1)(a 1)2a(1 a)

11、1 a J(3a 1)(a 1)则当 02a(1 a) '1a 紫丁 f(x)0a(3a-1)(a-1)时,f(x)2a(1 a)°,则f(x)在(0,y)上单调递增,0, f (x) 0,则f(x)在(0,)上单调递增1 ma ?)上单调递减【例题10】：设函数f(x) a2 In x x2 ax , a 0(I)求f(x)的单调区间；(H)求所有实数a,使e 1 f(x) e2又tx 1,e恒成立.【答案】：f (x)的增区间为(0, a),减区间为(a,)【解析】：(1 ) 因为 f (x) a2 ln x x2 ax其中x 0, 所以2a(x a)(2 x a)f (

12、x) 一 2x a xx由于a 0 ,所以f (x)的增区间为(0, a),减区间为(a,)(H)证明：由题意得，f(1) a 1 c 1,即a c,由(I )知f(x)在1,e内单调递增，cf(1) a 1 e 1, 一要使e 1 f (x) e对x 1,e恒成立，只要，斛得a e.f(e) a2 e2 ae e2四、课堂练习【基础型】1若不等式x4-4x3 >2-a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围答案：(29,) 解析：记F (x) =x4-4x3 x4 -4x3 >2 a对任意实数x都成立，.二F (x)在R上的最小值大于2 - a求导：F'(x) =4x312

13、x2=4x2(x 3),当 xC ( 8,3)时，f' (x) <0,故 F (x)在(-8,3)上是减函数；当x (3,+8)时，F'(x)>0,故 F (x)在(3, +8)上是增函数.当x=3时，函数F (x)有极小值，这个极小值即为函数 F (x)在R上的最小值即F (x) min=F (3) =-27,因此当 2 a< 27,即 a>29 时，等式 x4 4x3>2a对任意 实数x都成立，故答案为：(29, +oo)2若不等式2x 1>m(x2-1)对满足2 m 2的所有m都成立，求x的取值范围。1 71 3答案：2 x 2-解析：

14、原不等式化为 (x 21)m (2x 1)<0,记 f(m)= (x21)m (2x - 1) (-2 m2)根据题意有：f(-2)-2(x2-1)-(2x-1) 0, gP： 2x22x-30f(2)2(x -1)-(2x-1)02x2x-101 71 3解之得x的取值范围为 2 x -2-【巩固型】1若函数f(x) kx lnx在区间(1, + )单调递增，则k的取值范围是(A), 2(B), 1(C) 2,(D) 1,答案D1解析：因为 f(x)在(1,)上递增，f (x) 0 包成立，f (x) kx lnx, f (x) k - 0 , x一 1 一一即 k 1 -,所以 k

15、1,)。 x2在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x) ex(x 0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MNW中点的纵坐标为t , 则t的最大是。答案：1(e 1)2 e解析：y ex0e x0 (x x0), N(0,ex° x()e x0),1 x°x°x°x° x° x° Xt (1 x°)e ex°e ex0(ee )2 2t' 1(ex0 ex0 )(1 x。)，所以，t在(0,1)上单调增，在(1,)单调减，/ -(e 1)22

16、 e【提高型】1 设 f x 1x3 mx(2)要使 f x - x3 mx2 nx 单调递减，则 f x x2 2mx n 0 nx .3(1)如果g x f x 2x 3在x2处取得最小值 5,求f x的解析式；(2)如果m n 10 m,n N , f x的单调递减区间的长度是正整数，试求 m和n的值.1 。答案：f(x) -x 3x 2x (2) m=2 n=3或，m 3,n 5 31。c一，c解析：(1)已知 f x - xmx2nx , fx x22mx n3又 gx f x 2x3x22m 2xn3在x 2处取极值，则g'22 2 2m 2 0 m3,又在x2处取最小值-

17、5.1 QO则 g 22 22 4 n 35 n 2 , f x - x3 3x2 2x3又递减区间长度是正整数，所以f' x x2 2mx n 0两根设做a, b。即有：b-a 为区间长度。又 b a 0ab4ab 、'4m当 0 x 1 时，h(x) h(1) 0,即 g(x) g(-). x 4n 2%m2 n m, n N又b-a为正整数，且 m+n<10所以m=Z n=3或，m 3, n 5符合。2 设 f (x) In x , g(x) f (x) f (x).(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g(1)的大小关系； x 1(3)求a的取值

18、氾围，使得g(a) g(x)对任息x >0成立. a答案：(1) g(1) 1. (3) 0 a e1x 1 .一解析：(1)由题设知 f (x) ln x, g(x) ln x 一，g (x) 2-,令 g(x) 0 得 x=1, xx当xe (0, 1)时，g (x) <0, g(x)是减函数，故(0, 1)是g(x)的单调减区问。当xC (1, +OO)时，g(x)>0, g(x)是增函数，故(1, +OO)是g(x)的单调递增区问，因此，x=1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以 g(x)的最小值为 g(1) 1. 2一 1、一11 一.(x 1

19、)2一 一,(2) g(-)ln x x ,设 h(x) g(x) g(-) ln x x 一，则 h (x)J，当 x 1 时，xxxx1h(1) 0,即 g(x) g(一),当 x (0,1) (1,)时，h(x) 0,因止匕，h(x)在(0,)内单调 x递减，1.1(3)由(1)知g(x)的取小值为1,所以，g(a) g(x),对任息x 0 ,成立 g(a) 1 一 aa即Ina 1,从而得0 a e。五、课程小结本节课是高考中必考的知识点，而且在高考中往往有一定的难度，所以需要学生要准确的 理解知识点，灵活并熟练地掌握求导公式，学会建立切线方程，特别是没有给出具体点切 线方程的建立。用

20、点线式求切线方程的步骤： 用导数求函数的单调性:(1)求函数f(x)的导函数f (x)；(2) f (x) 0,求单调递增区间;(3) f (x) 0 ,求单调递减区间;(4) f (x) 0,是极值点。六、课后作业【基础型】1 21n241设函数f xx2 aIn 1 x有两个极值点x1、x2,且xx?(I)求a的取值范围，并讨论f x的单调性；(II )证明：f x2答案：0 a 2解析：(I ) f x2x2x2 2x1 xa(x1),令g(x) 2x2 2x a ,其对称轴为1x a。由题意知xx2是万程g(x) 0的两个均大于1的不相等的实根,其充要条件为4 8a 0 -1.,得0

21、a ,当x ( 1,xi)时，f x 0, “乂)在(1内)内为增函数; g( 1) a 02当x (X1, X2)时，f x 0, f(x)在(x1,x2)内为减函数；当x (x2,f x 0, f(x)在(x2,)内为增函数;(II )由(I) g(0) a 0,12x2 0 , a(2x? +2x?)2f x2x22 aln 1 x2x22 (2x22+2x2)ln 1 x2,设h x x2 (2x2 2x)ln 1 x (x -), 2贝Uh x 2x 2(2x 1)ln 1 x 2x 2(2x 1)ln 1 x，当 x (1,0)时，h x 0, h(x)2,1在,0)单调递增；当x

22、 (0,)时，h x 0, h(x)在(0,)单调递减。2111 2ln 21 21n2当X (R时,"W卡,故f X23Tx>0 时,f(x)>0;2x ,2(1)设函数f(x) ln(1 x) ，证明：当 x 2(n)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：p < ()19<4 .10e2答案：如下解析：(I ) Q f (x)12(x 2) 2xx 1 (x 2)22x(x 1)(x 2)20,(x1),(仅当 x 0 时 f (x) 0)故函数”刈在(1,)单调递

23、增.当x0 时，f (x) 0,故当 x>0 时，f(x)>0.(n)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取 20次，则A20 抽得的20个号码互不相同的概率为p /吗，要证10020/ 9、191p< (而).A209p (-)19 即证 99 9881 (90)19,所以 9910020109881 (90)19.即 p9 191910再证：*)19e2,即证朋19210e ,即证 19ln - 91022 ,即证ln 一 一919由(I ) f(x)ln(1 x)2xx 2f(x) > 0.x 1,则912 1ln(1 9) TJ29

24、ln(1109219/ 9 、 192()e10【巩固型】3已知函数f(x)=ex-ln( x+m),当mK2时，证明f(x) >0.答案：如下证明：当mK2, x(m,)时,ln(x m) ln(x 2),故只需证明当my= 2时,f(x)0.,一一v 1当mi= 2时，函数f (x) e x 2在(2, +oo)单调递增.又f ( 1) 0f, f(1)0,(x)0在(一2, +oo)有唯一实根 x。，且 x。 ( 1,0).当 x ( 2,x。)时，f(x)0f ；当x (x°,)时，f (x) 0f',从而当x = x0时，f(x)取得最小值.x 1由 f (x

25、0) 0得 ex0, ln(x0 2)x0 ,x0 2故 f(x) f(x0)1x02(x0 1) 2x0.x020.综上，当 mrc2 时，f(x) 0f(x) >0.4已知函数f(x)x2 ax b, g(x) ex(cx d)若曲线y f(x)和曲线y g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y 4x 2.(I)求a, b, c, d的值；(H)若x 2时，f (x) kg(x),求k的取值范围.答案：(1) a 4,b 2,c 2,d 2 (2) 1 , e解析： 由 已知得 f(0) 2,g(0) 2, f (0) 2,g (0) 4.而xf (x) 2x a, g

26、(x) e (cx a c),故 b 2,d 2,a 2,d c 4 .从而 a 4,b 2,c 2,d2.由知，f(x) x2 4x 2,g(x) 2ex(x 1).设函数 F(x) kg(x) f(x) 2kex(x 1) x2 4x 2,则 F(x)2kex(x2) 2x42(x2)(kex1).由题设可得F(0) 0,即 k 1.令 F (x)0得*1 1nk ,x22 .若 1 k e2,则 2 x1 0.从而当 x (2,X1H,F(x) 0;当* (x1，)时，F(x) 0.即F(x)在(一2, X1)单调递减，在(X1, +oo)单调递增.故F(x)在2, +8)的最小值为 F

27、(x1) .而 F (x1) 2x1 2 x2 4x1 2x1 (x1 2) 0 .故当 x 2 时，F(x) 0,即 f(x) kg(x)恒成立.若 k e2,则 F(x) 2e2(x 2)(ex e 2) .从而当 x> 2 时，F (x) 0,即 F(x)在(一2,+ oo)单调递增.而F( 2) 0,故当x 2时，f(x) 0,即f(x)&kg(x)恒成立.若 k>e2,则5( 2) 2ke 2 2 2e 2(k e2) 0 .从而当 x 2时，f (x) kg(x)不可能包成立.综上，k的取值范围是1 , e2 .5已知函数f(x) 也x b,曲线y f(x)在点

28、(1,f(1)处的切线方程为x 2y 3 0 x 1 x(I )求 a、b的值;(n)如果当f(x)皿K ,求k的取值范围。x 1 x答案：(1) a1 (2) k 0解析：(I)f'(x)(U ln x)x(x 1)2由于直线x2y1 一0的斜率为-,且过点(1,1)f(1) 1,f'(1)b 1, 即a b-b21解得a2,(n)由(I)知 f(x)lnx 1，所以x 1 xf(x)譬k) x21 c (k 1)(x2 1)、2 (2ln x -) o1 x2x考虑函数h(x) 2ln xOjx 0),则 h'(x) x(k1)(x2 1) 2x20x(i)设 k0

29、 ,由 h'(x)22k(x 1) (x 1)知，当x 1时，h'(x) 0, h(x)递减。而h(1) 0故当 x (0,1)时，h(x)一 110,可得以h(x) 0；当x (1, + )时，h (x) <0,可彳1 x1 xh (x) >0从而当x>0,且xi 时，f (x) -(Jn£+-)x 1 x>0,即f (x) >生+上 x 1 x(ii )设 0<k<1.由于(k 1)(x221) 2x =(k 1)x 2x k 1的图像开口向下，且4 4(k 1)2 0,对称轴 x= 1 当 x (1,时，(k-1) (x

30、2 +1) +2x>0,故 h'1 k1 k.一 1 一， 1(x ) >0,而 h (1) =0,故当 x (1,)时，h (x) >0,可得h (x) <0,与题设矛1 k1 x2盾。(iii )设 k 1.此时 x2 1 2x, (k 1)(x2 1) 2x 0h' (x) >0,而 h (1) =0,故1当x (1, + )时，h (x) >0,可得2- h (x) <0,与题设矛盾。1 x【提高型】6 已知函数 f(x) x3 3ax2 (3 6a)x 12a 4(a R).(I)证明：曲线y "*)在* 0的切线过

31、点(2,2);(H)若f(x)在x xo处取得极小值，xo (1,3)，求a的取值范围。答案：(5, .2 1) 2解析：(I) f (x) 3x2 6ax (3 6a) , f (0) 3 6a ,又 f (0) 12a 4曲线y f(x)在x 0的切线方程是：y(12a 4) (3 6a)x ,在上式中令x 2 ,得y 2所以曲线y "*）在* 0的切线过点（2,2）;(H)由 f (x) 0得x2 2ax 1 2a 0 , (i )当 721aA/2 1 时，f(x)没有极小值；(ii)当 a J2 1 或a& 1 时，由 f (x)0得x aJa2 2a 14 a Ja2 2a1故 x2。由题设知1aJa22a 1 3,当a 近1时，不等式1a Ja2 2a 13无解；当a72 1时，解不等式1 a Ja2 2a 1 3得5 a72 12综合(i)(ii)得a的取值范围是(5, & 1)。27 已知函数 f (x) (x 1)ln x x 1 .(I)若 xf'