微积分二课后题答案复旦大学出版社

1、习题5-11.求下列不定积分:(1)、.X(x2 5)dx;(1 x)2dx; 、x(3)3xex dx;cos2 - dx;22 3x 5 2x3xdx;cos2x2:2dx .cos xsin x解(1) ,x(x2 5)dx51(x252)dx5172 -x2dx 5 x2dx 2x272.解答下列各题:(1)平面曲线经过点(1 , 0)，且曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为2x-2,求该曲线方程;(2)设sin x为f (x)的一个原函数，求f (x)dx;(3)已知f (x)的导数是sin x，求f(x)的一个原函数； 某商品的需求量 Q是价格P的函数，该商品的最大需求量为100

2、0(即P=0时,Q=1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q (戸=-1000 (-)Pln3,求需求量与价格 3的函数关系 解(1)设所求曲线方程为y=f(x),由题设有f(x)=2x-2,又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+0=0得C=1,所以，所求曲线方程为2f (x) X2 2x 1.(2) 由题意有(sin x) f (x),即 f (x) cosx,故f (x) sin x,所以f (x)dx sinxdxsinxdx cosx C.(3) 由题意有 f (x) sinx,则 f (x) sinxdx cosx C1于是f (x)dx ( cosx C)d

3、x sinx Gx C2.其中C1,C2为任意常数,取G C2 0,得f(x)的一个原函数为sinx.sinx x.注意此题答案不唯一 如若取G 1,C2 0得f(x)的一个原函数为(4) 由 Q (P)1000()Pln 3得3将P=0时，0=1000代入上式得 C=0所以需求量与价格的函数关系是Q(P) 1000(1)P.习题5-21.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：(1) d x = d(ax+b)( az0);(2) dx=d(7x-3);(3) xdx=d(5x2) ;(4)xdx=d(1- x2);x3dx=d(3x-2);e2xdx=d(e2x)；xxe 2

4、dx=d(1+e 2);(8)I x I );(9)dx厂x2d(1-arcs inx)；(10)xdx厂x2d .1 x2 ;(11)dx= d(arcta n31 9x2x)；(12)dx2x2d(arctan , 2 x);(13) (3 x2-2)d x=_d2x-3x )(14) cos(?-1)dx二 dsin(3空-1).3解(1)Qd(ax b) adx(a0) dx1d(ax ab)2.求下列不定积分:(1)e5tdt;(32x)3 dx;dx(9)dx ;1 2x dxxln xln In xtan10 xseS xdx;(8)2xe x dx;dxsin xcosx(10

5、)tan、1 x2xdxdxxxe e(12)xT3xidx;(11)3x34 dx；1 x1 xrxydx；dx ；2x21 ；cos2( t )dt)；sin 2xcos3xdx;sin5xsin 7xdx ;arctan ,x ,dx;x(1 x)川叫x;cosxsin xdx13上的不定积分，此时x3tan t3sect3sect tantdt3 tan2 tdt3 (sec21 1)dt3tant 3t C.由x 3切北(o,2)得tant十,3arccos-,xx3又由 x 3sect 得 sect ,cos t ,t3x又令x=3sect,类似地可得被积函数在 x-3上的不定积分

6、综上所述有所以(32)令 x sint,t(33)令 x sint,t(34)X）芽(35)令 x 2sin t,t*dxx(36)一 x2 2xx2x2 9xa arcsin ann(,),dx2 2costdt.costdt,dx a2x2costdt ,3arccos卫 lxdx仝0学 2cos tdt cot2 tdt4sin tcott t C4x2C.dx2-2x-2 acsc2 tdt.x arcs in2dt_x2_2xx2 r2xdxdxx2 2x一dx2x由被积函数知x0,令x当x0时,（此时t0）当x -2时，此时-2综上所述:原式二In1- x2 2xC.x(37)se

7、cx1 tan x)2dx(1sec xtan x)2d(1 tan x)(1 tan x)11 tan xIn x(38)令 ex=t,则 x=ln t ,d x=dt.t习题5-31.求下列不定积分：(1)xsi n xdx ；(2)xe xdx;arcs inxdx;(4)e x cosxdx;2x x e sin dx,2(6)2xta n xdx;te 2tdt;(8)2(arcsinx) dx;(9)x2e sin xdx;(10)e%x;(11)cos(ln x)dx;(12)(x2 1)si n 2xdx;(13)xln(x 1)dx;(14)2 2 x . x cos dx

8、;2(15)ln 3x .2 dx;x(16)xsi n xcosxdx;(17)2xcotxcsc xdx;(18)2 x2x(1 x )e dx;(19)1(ln ln x)dx ;(20)exln(1 ex)dx;(21)2sin x-dx ; cos x(22)xln(x .1 x2),.dx；22(1 x )(23)xxe ,; 2dx;(1 x)2(24)arcta nxxe 3 dx.(1(1) xsinxdx xdcosxxcosx cosxdx xcosx sinx Cex cos2xdxcos2xdexex cos2x 2 exsin 2xdx ex cos2x 2 sin

9、 2xdex(10)令 3 x t ,则 x t3,dx3t2dt(11)令 In x=t,则 x et,dx etdt,于是2小 sin X2 厂dxcos xtan xsecxln secx tan x G ,所以.2sin x , 厂dx cos x1tan xsecx23n2secxta n xC .(22)沁Fdx(1 x )7)1 xln(x . 1 x2)2(1 x2)x2=T(1二)dx 令 x=tan t,.1 x2ln(x ,1 x2)22(1 x )dx(1 x2).1x2t ( nn),贝 9 dx=secdt2 2二原式=ln(x 1 x2)2(1 x2)X2、1x2C.于是.arcta nx xe3dx (1 x2)?1)earcta nx2xCi,所以arcta nxarcta nxxedx (x 1)ex2尸(12；1x2C.习题5-4求下列不