几个著名的不等式

1、课程信息【本讲教育信息】一. 教学内容：几个著名的不等式二、本周教学目标：1、掌握柯西不等式、平均不等式等几个著名不等式的基本形式和特点.2、会用参数配方法证明柯西不等式，体会构造方程解决数学问题的思想.3、能将基本不等式推广到一般形式.4、掌握利用均值不等式、柯西不等式在求函数最值中的应用，体会不等式与其它知识及现实世 界的联系。、本周知识要点：定理1:设d, b, C, d均为实数，贝acbd) (ab)(Cd)当且仅当ad be时等号成立。定理2：(柯西不等式的向量形式)设a,3是平面上的两个向量，则当且仅当两个向量方向相同或相反时等号成立.m = (；/)II- B B-Xai, a2

2、2,瞬讥二I杭I -1咒I cos &定理3 ：(柯西不等式的一般形式)给定两组实数nn(aS2(a2)(nbi2)i 1i 1",(*)当且仅当印kbi(i1,2, n)时等号成立。nnnf(x)(a乙 2 )x (2 a b )xbi证明：i 1i 1i 1(1)若內全为0,则结论显然成立;(2) 元二次函数，并且n aP 0若內不全为0,则门,f(x)为首项系数大于0的一下载可编辑f(x) (aXi 1bi)(2abi)i 10,故 丫（X）式bii 14 ai2i 1的判别abi)22a )(显然，当且仅当nbi2)i 1kM 程，n）时等号成立。定理4jo +6乃尸

3、 + j（叼一可 r+02卜 J（阿一兔 y+01用 r 这个不等式通常称为三角形不等式X1,y1,X2,y25X3,y3为任意实数，则UX定理5: n个正数的算术一几何平均不等式:心詁贝II屮函加厂+玉胡叩形5当且仅当听二口£二口耳二二斗时二等号成立ai a2an其中，n称为这n个正数的算术平均，几何平均这个不等式通常称为算术-几何平均不等式，它表明：于它 们的几何平均."2 %称为这n个正数的正数的算术平均不小【典型例题】例1设a, b,c为正数，且a+ b+ c= 1,求证:(a -)2a(b100证明：左边二(c丄丿2c122212121(1 1 1)(a(b b)

4、下载可编辑下载可编辑证：原不等式等价于a2 b2 Mc2 d2 a2 b2 c2 d2(j(a c)2 (b d)2)22 a2 b2 c2 d2 (a c)2 (b d)2ac bd例3设込氏丫为平面上的向量则ot国+0丫国0«丫|证：设 （Xi,yj；(xi X»2 (yi y2)2' (X X3)22y3)2'(为 X3)2y3)2(X2”2),(X3, y3),则根据三角不等式，即得例4.把一条长为m的绳子截成三段，各围成一个正方形.怎样截法才能使这三个正方形的面积和最小？解：设三段的长度各为X,22222因为（x yz）（i 11y, z则x+ y

5、+ z二m三个正方形的面积和为（X16aZ!Z)2当且仅当X二y二3时等号成立,例5已知X芜0,当X取什么值时,81 812分析：注意到X+ X是和的形式,所以812X24- X的值最小？最小值是多少?2z有最小值3 ,从而S有最小值482 2再看X X二81为定值，从而可求和的最小值81 81/2 81XX >gx 二 18,解：XM 0 X > 0, X > o,.X +81当且仅当x2二X2,即X二土 3时取“二”号81故X二土 3时，X2 + X的值最小，其最小值是18【模拟试题】已知3x+ y = 10,则x?$的最小值为（丄10 B. 10 C 1 D. 10022若n>0,则n + n的最小值为3 已知a, b, A. 3 B. 6c是正实数，且abc二1,则C. 9 D. 121C的最小值为（a2 b2 c24 已知a b（用三种方 法）【试题答案】1. B2. 8.23. A2 2 2 24.证明：Qab。(a b c) (2ab 2bc 2ac)(a b c)22(a2 b2 c2)3(a2 b2 c2) (a b c)212.221 a b c3a2 b2 c2另法1222尹 2b 2c 2ab 2bc 2ac)a2 b2 c2(a