2019-2020年北京市西城区高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)【优质版】

1、北京市西城区高二数学上学期期末考试试题理试卷满分：150分 考试时间：120分钟题号一二二本卷总分151617181920分数、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的(21.双曲线x-y2 =1的一个焦点坐标为( 3)(A)(立 0)(B) (0,72)(C) (2, 0)(D) (0, 2)2.已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为()1(A) 12当(D)近53 .设% P是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()(A)若 口口，1口，则 luP(B)若 口 P, l_L ，则 UP(C)若 a _LP , l _L

2、a ,则 l u P(D)若久 _L P , l a ,则 l _L P4 .设m w R ,命题“若m0,则方程x2 = m有实根”的逆否命题是()(A)若方程x2 =m有实根，则m圭0(B)若方程x2=m有实根，则m <0(C)若方程x2 =m没有实根，则 m20(D)若方程x2 =m没有实根，则 m < 05 .已知 4，P表示两个/、向的平囿，的()(A)充分不必要条件(C)充要条件6 .已知双曲线的焦点在x轴上x -2y 1 = 0m为平面a内的一条直线，则“Ct _L P ”是“m_L P ”(B)必要不充分条件(D)既/、充分也不必要条件,焦距为2J5,且双曲线的一条

3、渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为()2(A) ；.y；(B) x2 - - = 14(C)筑豆=1205(D)223x_3y_=15207 .已知A(3,0) , B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动，则xy的最大值为()(A) 5(B) 4(C) 3(D) 28 .用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论： 正方体的截面不可能是直角三角形； 正四面体的截面不可能是直角三角形；正方体的截面可能是直角梯形； 若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形其中，所有正确结论的序号是()(A)(B)(C)(D)二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9

4、. 命题“三x w R 使得x2 +2x +5 = 0 ”的否定是 , 10 .已知点M (0,-1), N(2,3).如果直线MN垂直于直线ax + 2y 3 = 0,那么a等于.11 .在正方体ABCD ABQ1D1中，异面直线 AD,BDi所成角 的余弦值为.12 . 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的 侧视图的面积为.13 .设。为坐标原点，抛物线 y2=4x的焦点为F, P为抛物 线上一点.若PF =3,则AOPF的面积为.14 .学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，把抛物线的顶点确

5、定为原点，对称轴确定为x底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据决定轴，定碗 的测建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确量以及进步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是(所有测量数据用小写英文字母表示)，算出的抛物线标准方程为.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 .(本小题满分13分)如图，四棱锥 PABCD的底面是正方形，侧棱 PA_L底面ABCD, E是PA的中点.(I)求证：PC/平面BDE;(n)证明：BD1CE.16 .(本小题满分13分)如图，PA _L平面 ABC, AB.L BC, AB = PA = 2BC=2

6、, M 为 PB 的中点.(I)求证AM，平面PBC ；(n)求二面角 A PCB的余弦值.17 .(本小题满分13分)已知直线l过坐标原点。，圆C的方程为x2 + y2 6y + 4 = 0 .(I)当直线l的斜率为J2时，求l与圆C相交所得的弦长；(n )设直线l与圆C交于两点A, B ,且A为OB的中点，求直线l的方程.18 .(本小题满分13分)22 _ x y已知Fi为椭圆 一+匚=1的左焦点，过F的直线l与椭圆交于两点P,Q. 43(I)若直线l的倾斜角为45 ,求PQ ；(n)设直线l的斜率为k (k =0),点P关于原点的对称点为P点Q关于x轴的对称点为 QP'Q

7、9;所在直线的斜率为k1若k' = 2 ,求k的值.19 .(本小题满分14分)如图，四棱锥 E ABCD 中，平面 EAD _L 平面 ABCD , DC/ AB , BC _L CD ,EA_LED ,且 AB =4, BC = CD = EA = ED = 2.(I)求证BD _L平面ADE ;(n)求BE和平面CDE所成角的正弦值；(m)在线段 CE上是否存在一点 F ,使得 B D上平面CDE ,请说明理由.20 .（本小题满分14分）如图，过原点 O引两条直线11,12与抛物线 W1 : y2 =2px和W2 : y2 =4px （其中p为常数,p>0）分别交于四个点

8、A1,B1,A2,B2.（I）求抛物线 W；,W2准线间的距离；（n）证明：AB/4B2;（出）若li _Ll2,求梯形AAB2B面积的最小值北京市西城区第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.1 .C; 2.D ; 3. B ; 4. D ; 5. B ; 6. A ; 7. C ; 8. D.、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.9.对任意 xw R，都有 x2+2x+5 =0;10.1；11.2-mx .4h12. 8志；13.72；14.碗底的直径 m ,碗口的直径n ,碗的高度h;注：一题两空的题目，第一空 2分

9、，第二空3分.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.15.（本小题满分13分）解（I）连结AC交BD于O ,连结OE ,因为四边形 ABCD是正方形，所以 O为AC中点.又因为E是PA的中点，所以PC/OE ,因为PC0平面BDE , OEu平面BDE ,所以PC/平面BDE .（n ）因为四边形 ABCD是正方形，所以 BD 1 AC .因为PA _L底面ABCD，且BD u平面ABCD ,所以PA _ BD .又因为AC I PA = A，所以BD_L平面PAC,又CE仁平面PAC ,所以BD _CE .13分16.（本小题满分13分）解（I）因为PA _L平面ABC , BC u平面A

10、BC所以PA_ BC.因为BC_LAB, PAnAB=A,所以BC _L 平面 PAB .所以AM _ BC.因为PA = AB ,M为PB的中点,所以AM所以AM_L平面PBC .（n）如图,在平面ABC 内，作 Az/ BC ,则AP, AB, AZ两两互相垂直,建立空间直角坐标系 A - xyz .则 A(0,0,0), P(2,0,0), B(0,2,0), C(0,2,1), M (1,1,0).AP =(2,0,0) , AC =(0,2,1), AM =(1,1,0).n AP =0, 设平面APC的法向量为n = (x,y,z),则« 一n AC = 0,一 x =

11、0,.,_10分即 4, 令 y=1 ,则 z=2.所以 n =(0,1,2).2y z =0.由（I ）可知AM =（1,1,0）为平面BPC的法向量,设n, AM的夹角为a13分贝U cos：=n AMn AM因为二面角 APCB为锐角，所以二面角 APCB的余弦值为 叵. 13分1017 .（本小题满分13分）解：（I）由已知，直线l的方程为y = J2x ,圆C圆心为（0,3）,半径为J5所以，圆心到直线l的距离为所以，所求弦长为22.（n）设AJ»），因为A为OB的中点，则B（2x1,2y1）.又A,B圆C上,所以为2+y26y1+4 = 0,.2.2224x1 +4y1

12、-12y1 +4 = 0,即 x1 + y1 -3y1 +1=0. 10 分解得 =1 , % =±1, 11 分即 A(1,1)或 A(1,1). 12 分所以，直线l的方程为y=x或y = x. 13分18 .（本小题满分13分）解：（I）设P（$y1）,Q（x2,y2）,由已知，椭圆的左焦点为（1,0）,又直线l的倾斜角为45,所以直线l的方程为y=x+1, 1分_Ly = x 1,2由 < 22 得 7x2+8x8 = 0,3x2 4y2 =12所以 x1 +x2 = -y ,8 x1x2 =|PQ|= 1 k2 .(Xi x2)2 -4x1x28 2824=2 ,(

13、)4=777y = k(x 1),2 222(n)由，。' J得(3+4k2)x2+8k2x+4k2 12 = 0 ,3x2 4y2 =12228k24k2-12Xi X2 = 2， X1X2 =亨12 3 4k21 2 3 4k23分4分5分6分8分依题意 P'(Xi,y1),Q'(x2,y2),且 y1 =k(x+1), y2 = k(x2+1),11分所以,y1 -丫2Xi X2k(X1 -X2)X1X2其中结合解得x1 一乂2x1 x2=J(x1+x2)2-4X1X2 "1!"'-8k2 =2 ,可付k3 + 4k23d k221=2

14、.11分12分7k2 =919.(本小题满分14分)解：(I)由 BC _LCD, BC=CD =2.可得 BD =2,2.由 EA_LED ,且 EA = ED =2,可得AD -2 2.又 AB =4.所以 BD _L AD .又平面EAD _L平面ABCD ,平面ADE n平面ABCD =AD ,所以BD _L平面ADE .2分(n )如图建立空间直角坐标系D -xyz ,则 D(0,0,0), B(0,2V2,0), C(-近 72,0)E(V2,0, V2),BE =(丘,-272，历,DE =(<2,0, .2) , DC =(,2-2,0).5,、口十x八 山人-日 T设n

15、 =(x,y,z)是平面CDE的一个法向量，则 n，DE =0, n DC = 0 ,x z =0,即 令 X =1 ,则 n = (1,1,1).-x y =0.设直线BE与平面CDE所成的角为a ,则 sin ：- =| cos :二 BE, n 尸jJBE n | _| .2-2.2 - .2| _ J2二 2.3/3 一.|BE| |n|所以BE和平面CDE所成的角的正弦值(出)设 CF = ' CE ,- 0,1.又 DC =(- .2,、.5,0) , CE =(22, - . 2, .2) , BD= (0,2 2,0).则 DF =DC CF = DC CE = J2(

16、2 -1,-' 1,').10分m DF =0设 m =(x',y',z')是平面 BDF 一个法向量 "Um，BD = 0,y' =0,即4y ， 11分2 -1)x' (- 1)y' z' =0.2 _1 令 x' =1,则 m =(1,0,-). 12 分九2 -11若平面BDF _L平面CDE，则m n =0,即1 +二一'=0,九w 0 1.13分3所以，在线段 CE上存在一点F使得平面BDF _L平面CDE . 14分20.（本小题满分14分）解：（I）由已知，抛物线 W,W2的准线分

17、别为x =-上和x = p, 2分2所以，抛物线 皿,“2准线间的距离为 -.4分2（n）设1i :y = k1x,代入抛物线方程，得 A, A2的横坐标分别是 2P和4P. 5分k；k1122kp .4pIOA1Ik k14k121E田IOB1I 1八J11：=一,同理111 =- , 7分IOA2I16p216p22IOB2I 2所以OAB1OA2B2 ,所以 AB1A2B2. 8 分(出)设 A(x1,y;)，B(x2,y2),直线 AB1 方程为 U1B1 ：x=ty+m1，22代入曲线 y =2px,得 y -2Pty -2Pmi = 0 , 所以 y1+y2=2pt, y1y2=-2pmi. 9 分由 I1 _L I2,得 xj2 + 必丫2 = 0 ,又 y2 = 2 px1，y； = 2 px2,22y y所以 2 +