平面向量数量积的物理背景及其含义公开课教案(杨振远)

1、平面向量数量积的物理背景及其含义教案课题：§ 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义教材： （人教 A 版）数学必修4 教者：杨 振 远一、教学目标1 、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2 、 体会平面向量的数量积与向量投影的关系， 理解掌握数量积的性质和运算律， 并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3 、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。二、教学重、难点教学重点：1 、平面向量数量积的含义与物理意义2 、性质与运算律及其应用教学难点：1 、平面向量数量积的概念2 、 平面向量数量积的运算律（ 2 ） 、 （ 3

2、）的证明三、教学过程活动一： 创设问题情景，引出新课1 、提出问题 1 ：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。2 、提出问题 2 ：请同学们继续回忆， 前面我们学习了向量的相线性运算，即向量的加法、减法和数乘运算。我们知道这些运算有个共同的特点，就是他们运算的结果仍然是一个向量，并且这些结果都有明确的几何意义，即是一些与平行四边形的边、对角线、三角形的边以及平行、共线有关的向量。下面我们一起思考这样一个问题。思考：既然平面向量能进行加减运算，那自然会想到两个向量能否进行乘法运算？假如能的话那运算的结果又会是什么呢？3、

3、提出问题3:我们在前面的学习中有没有接触过有关向量乘法之类的运算呢?活动二：探究数量积的概念1、给出有关材料并提出问题4:(1)如图所示，一物体在力F的作用下产生位移那么力F所做的功：W= |F| |力cos a 。(2)这个公式的有什么特点？请完成下列填空:W (功)是 量,F (力)是S (位移)是量，(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗 ？期望学生回答：功是力的大小与位移的大小及其夹角余弦的乘积总之：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一个启发：能不能将功看成是这两个向量的一种运算的结果呢？为此，引入平面向量的“数量积”的概念。2、明晰数量积的定义(1)数量积的定义：

4、已知两个非零向量a与b,它们的夹角为 ，我们把数量I a | b I cos叫做a与b 的数量积(或内积)，记作：a b ,即：a b= | a | ' b | cos(2)定义说明：记法“a b”中间的耍”不可以省略，也不可以用“ ”代替。“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。3、提出问题5:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些?期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关。4.请问：两个非零向量夹角的定义是什么？已知非零向量 a与b ,作OA=a, OB = b ,则/AOB

5、 = 9 (0<9<Tt)叫a与b的夹角.给出几个简单的图让学生判断向量的夹角说明：(1)当8 =0时，a与b同向;(2)当8 =九时，a与b反向；(3)当8 =时，a与b垂直，记aX b ;2(4)注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.范围0 < <1805、学生讨论，并完成下表:的范围0 ° & <90 °=90 00<<180°a b的符号活动三：探究数量积的运算性质1、讨论数量积的运算与前面三种线性运算的区别(运算的结果是数量而不再是向量)。"T2、研究数量积运算结果的符号取决于 支与合

6、的夹角§。3、探究特性：(0= 90口时的情况)a .L b<a-b = 0 (、办为非零向量)此处可与实数进行对比：对 分、6e及时 成> =0 = =0或$二0而a b = 0= 6斯=d或a 1 b此特性给我们提供了证实有关垂直问题的一个很好的方法。一一 -2- 2S F 二。-(JI a I = 'a a(3) cosa b|a| |b|此特性给我们提供了很好的求长度的方法。(4) |a b | |a | |b |活动四：探究数量积的几何意义(1)给出向量投影的概念：疗如图，我们把I b |cos (| a I cos )勺/- - -：叫做向量 b在a方

7、向上(a在b方向上)的投影，4三)/o | A | c(k a fli 3 f记做：OBi= | | b | | cos(2).请作出向量b在a方向上的投影。zt M L说明：投影也是一个数量，不是向量；当 为锐角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值;当 为直角时投影为0;当=0时投影为|b|;当=180时投影为|b|(3)请结合投影的定义给出向量数量积的几何意义？数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影| b|cos的乘积。活动五：探究数量积的运算律1、 提出问题7:运算律和运算是紧密相关的，类比实数运算中的运算律，探究平面向量数量积的运算律。师生共同回顾实数运算中有关乘法的运算律。请学生自

8、己先写出有关的运算律：n出'这些运算律对向量是否也适用？预测：学生可能会提出以下猜想：-f # a -b = b -a(a b) c = a (b c) fff fff(a+ b)-c=a-c+b -c2、分析猜想：猜想的正确性是显而易见的。关于猜想的正确性，请同学们先来讨论：猜测的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？期望学生回答：左边是与向量C共线的向量，而右边则是与向量a共线的向量，显然在向 量c与向量a不共线的情况下猜测是不正确的。对田的真假探究可采用分析法引导学生进行：要探究li-lr tritk J-(fld'C +b'c的真假，由数量积的概念即探究-F版

9、响(其中/丸氏分别是壬与C、金与c、A与白的夹角)的真假。若C二°显然成立，若£/口，即探究(J CDS 0 -4- 曲 |cOK a一 _ _,2的真假。根据投影的概念可知即探究已+ b、2、b右七方向上的投影之间的关系，利用多媒体动画演示易得证。从而探究出数量积的运算律：满足交换律，分配律，不满足结合律。4、另外，(血)* = '38Ad也是一个重要的性质，请同学们课后证明。在证明时，学生可能只考虑到人>0的情况，为了帮助学生完善证明，提出以下问题：当入<0时，向量a与入a, b与入b的方向的关系如何？此时，向量入a与b及a与入b的夹角与向量 a与b

10、的夹角相等吗？活动五：应用与提高例一：已知 |a|=5. |b|=4. a 与b 的夹角为 120° ,求 a b, (a) 2一1、 一解 a b |a| |b |cos1205 4 (-)10222_a |a |525练习：已知在 ABC中，a=8, b=7, / C=6 0 °,求 BC?CA例二.判断正误，并简要说明理由. a 0 0； 0 a=0;对任意向量a , b , c都有(a b) c a (b c)若a b 0 ,则a 0或b 0若a b a c贝ij b cX X X XX例三.已知 a|=6. | b| =4,当 a与 b 的夹角是 60°

11、 时，求(a 2b) (a 3b) , (a b)2,|a b |让学生独立完成，当学生在求|a b|时遇到困难时，引导学生注意(a b)2与|a b |之间的关 系：|a b | . (a b)2解：(a 2b)(a 3b) a2a b6b2| a |2 | a | | b |cos 61 b |2212=626 4 642 =- 722(a b)2 a2 2a b b2 = |a |2 2| a | | b | cos |b |2212=62 2 6 4 - 42 = 762| a b | . (a b)2 = 76 =2 19例四：已知|a|=3,| b |=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-k b互相垂直？分析：a+kb 与 a-k b 垂直，即证(a+kb ) ( a-k b ) =0解：若向量a+kb与a-kb互相垂直( a+kb )( a-kb ) =022 22_2_a k b 0a29,b2 16k 34活动六：小结1、本