2019-2020学年高中数学第二章《二分法求方程的近似解》导学案苏教版必修1.doc

1、2021-2021学年高中数学 第二章?二分法求方程的近似解?导学案苏教版必修11.掌握用二分法求函数零点近似值的步骤 .2,能够借助计算机或计算器求方程的近似解.3.掌握函数零点与方程根之间的关系 ,初步形成用函数观点处理问题的水平 .第一层级知识记忆与理解-制学区,不看不讲聚识累帆此寻靠化知识体系梳理G ««««在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的 线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如果沿着线路一小段一小段查找 ,非常困难,每查一个点要爬一次电线杆 ,10 km长,大约有200多根电线杆.知用导学问题1:请你帮他设计一个较为简便

2、的维修方案来迅速查出故障所在利用二分法的原理进行查找,如图,A CEO R记两地分别为 A B,首先从中点C开始查,用话机向两端测试,假设AC正常,那么断定故障在 BC再至ij BC的中点D向两侧查找,这次假设发现BD正常,那么故障在CD段,再到CD勺中点E去查. 这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,故经过7次查找,就可将故障发生的范围缩小到50100 m之间,即一两根电线杆附近.问题2:什么是二分法？对于在区间a,b上连续不断且f (a)f (b) <0的函数y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零 点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的

3、方法叫作 二分法.问题3:用二分法求函数f( x)零点近似值的步骤是怎样的？(1)首先要有初始“解区间ac, be,验证满足f(a.) f(b0)<0,给定精确度 £,其方法 "般有、等；(2)求区间(a.,b°)的中点X1；(3)计算f(x1),那么X1就是函数的零点；假设,那么令b=X1(此时零点 X0 £ (a., x1);假设,贝U令 a=x1(此时零点 xq ( x1, b.)；(4)判断是否到达精确度要求.假设将a、b按四舍五入法精确到要求的e所得到的值相同,那么就认为到达要求的精确度.否那么重复(2)(3)(4).以上求函数f (x)

4、零点近似值的方法也称为二分法.问题4：二分法蕴含的数学思想有 、补集(正难那么反)等重要数学思想,但二分法 的计算量大,不利于人工计算,在计算机未创造之前不被人重视,但随着科技的不断开展,计算机计算水平越来越精密、快速,二分法得到了广泛的应用,一些求方程的根的难题都迎刃而解了 .、根底学习交流1 .对于连续函数f (x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f (2007) <0, f(2021) <0, f (2021) >0,那么以下表达正确的选项是 .函数f (x)在(2007,2021)内不存在零点；函数f (x)在(2021,2021)内不存在零点；函数f (x)在(2

5、021,2021)内存在零点,并且仅有一个；函数f (x)在(2007,2021)内可能存在零点.2 .用二分法求函数f(x) =x3+5的零点可以取的初始区间是以下区间中的 . -2,1;-1,0;0,1;1,2.3 .用二分法求函数y=f(x)在区间2,4上的近似零点(精确度为0.01),验证f(2) - f(4) <0,辐取区间2,4的中点xi=_!=3,计算得f (2) f (xi) <0,那么此时零点x.所在区间是14 .用二分法求函数f(x) =3x-x- 4的一个零点,得到的参考数据如,下：f (1.6000) =0. 20'0 f (1 . 5875)=0.

6、 133 f (1 . 5750)=0.067f (1 .5500) =-0. 06029f (1 . 5625) =0. 00 f (1 . 55625) =-0. 0据此数据,求f (x) =3x-x- 4的一个零点的近似值(精确度0. 01).第二层飘思维探究与创新一导学EL ,不议不讲技能泰祐化总统布性*t重点难点探究si-二分法的概念以下关于二分法的表达,正确的选项是.二分法可求函数所有零点的近似值 ；利用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任意一位有效数字二分法无规律可循,无法在计算机上实施；只在求函数零点时,才可用二分法.cy探克二利用二分法求函数的近似零点或方程的近似解

7、借助计算器用二分法求方程2x+3x=7的近似解为 .(精确到0. 1)利用二分法思想在实际问题中的应用在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有台天平,那么应用二分法的思想,最多称 次就可以发现这枚假币.方去眦力化“俺i力具体化思维拓展应用应用一函数f(x)的图 象如下图,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别 为.应用二借助计算器,用二分法求函数f(x)=2x+0. 5, g( x) =7x的图象交点的横坐标(精确到0.1).应用三从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点,现某接点发生故障,需及时修理,为了尽快找出故障的发生点,一般最多需要检查多少个接

8、点？技栽应用与拓展固学区,不鞋不讲E的媪能他T智根底智能检测1 .以下函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的近似值的是 .2 .假设函数f(x)满足f(1) f (2) <0,用二分法逐次求f(x)零点的近似值,下一步应该求的值是.3 .设函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x- 8=0在x (1,2)内近似解的过程中得f(1) <0, f (1. 5)>0, f(1. 25) <0,那么方程的根所在的区间为 (区间长度0. 25).4 .证实函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一零点,并求出这个零点(精确度0.1).时杆也界

9、砧机克,星化金新视角拓展函数 f(x)=ln x+2x- 6.(1)求证：函数f( x)在其定义域上是增函数；(2)求证：函数f( x)有且只有一个零点；(3)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不超过 二.(不能用方t算器)考题变式(我来改编):第四局嫌总结评价与反思、盾学区,不思不复学w乐依牝比电异#化,学习体骐分享第11课时二分法求方程的近似解知识体系梳理问题3:(1)估测法列表法图象法 (3)假设f(x1)=0f(a.)- f(x1)<0f(x. f (b0)<0问题4:分类讨论 根底学习交流1 . f (2007) f (2021) >0不能说明函数f (x)

10、在(2007,2021)内无零点,错；又 . f (2021) >0,f (2021) - f (2021) <0,故 f (x)在(2021,2021)内存在零点,但不能说明仅有一个零点,故错；正确.2 .二一(-2)=-3<0, f(1) =6>0,f(-2) - f(1) <0,故可以取区间-2,1作为计算的初始区间,用二分法逐次计算.3 . (2,3)Vf(2) - f(4) <0, f(2) - f(3) <0,:f(3) - f(4) >0,.xoC (2,3).4 .解：由表中 f(1 . 5625) =0. 003, f(1 .5

11、5625) =-0. 029,由于 1. 5625 与 1.55625 精确到 0. 01 的 近似值都为1.56,所以该函数的零点的近似值为1. 56.重点难点探究探究一：【解析】用二分法求零点的函数必须满足函数图象在零点附近是连续不断的,且在该零点左右的函数值异号 ,故错；二分法是有规律可循的,可以通过计算机来执行,故 错;求方程的近.似解也可用二分法,故错.【答案】【小结】应用二分法求函数的近似零点的前提条件是函数存在零点,并且满足零点存在性定理,也就是函数连续不断,且在零点左右两侧函数值异号,不满足这些特征的函数是无法利用二分法来求解的.探究二：【解析】原方程可化为 2x=7-3x,在

12、同一坐标系中画出函数 y=2x与y=7-3x的图象(如图),由 图可知交点的横坐标在 1、2之间,考察函数f(x)=2x+3x-7,f(1) f(2) <0,所以函数f (x)在 区间(1,2)内有零点 xo.取区间(1,2)的中点 Xi=1.5,用计算器可得 "1.5)=0.33,由于 f(1) - f(1 .5)<0,所一以 XoC (1,1 .5),再取(1,1 . 5)的中点 X2=1.25,用计算器求得 f(1 . 25) = -0.87,因此 f(1 .25) - f (1 . 5)<0,所以 XoC (1 . 25,1 . 5).依次可得 XoC (1

13、 . 375,1 . 5), XoC (1 . 375,1 . 4375),此时区间(1 . 375,1 . 4375)的两个端点值精确到0 1的近似值都是1.4,所以原方程精确到0. 1的近似解为x= 1.4.【答案】xl .4【小结】用二分法求解方程的近似解要注意熟记步骤,同时要注意解的精确度.探究三：【解析】将26枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,那么假币一定在质量小的 那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放 在天平两端,假设天平平衡,那么假币一定是拿出的那一枚,假设不平衡,那么假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份

14、,分别放在天平两端,那么假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,假设天平平衡,那么剩下的那一枚即 是假币,假设不平衡,那么质量小的那一枚即是假币.综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币.【答案】4【小结】二分法思想在此题中还不是最正确方法,这类题目采用三分法思想能更加有效地发现假币,即三分26枚硬币,不能整除那么第3组少一枚,即分为9、9、8,把硬币数9枚的两 组硬币的放天平两端,假设相等,那么假币在8枚硬币的组里,假设不相等,那么假币在较轻的硬币组 里,三分法思想能更快地发现假币 ,但二分法思想更具有普遍性. 思维拓展应用应用一 :4,3 图象与x轴有4

15、个交点,所以零点的个数为4;左右函数值异号的零点有3个,所以能用二分法求解的个数为3.应用二：令 h(x)=f (x) -g (x) =2x- 7x+0. 5. h(0) =0. 5, h(1) =-4. 5, ：h(0) - h(1) <0.:函数h(x)的零点x°e (0,1).取区间(0,1)的中点Xi=0. 5,借助计算器计算得h(0.5) -0.732,.h(0.5) - h(0) <0,二函数 h(x)的零点 X0 (0,0 . 5),同理可得,X0 (0.25,0 .5), X0 6(0.25,0.375), X0 (0.25,0 .3125),由于区间(0

16、.25,0.3125)两端点值精确到 0. 1的近似值都是0. 3.:函数h(x)精确到0. 1的零点值为0. 3,即函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标为0. 3.应用三：先检查中间的1个接点,假设正常,那么可断定故障在其另一侧的 7个接点中；然后检 查这一段中间的1个接点,假设仍正常,那么可断定故障在其另一侧的3个接点中；最后只需检查这3个接点中间的1个,即可找出故障所在.故一般最多只需检查3个接点.根底智能检测1 .从图象上可以看出 中图象在零点左右两边都大于零,所以不能用二分法求函数零点的近似值.2 .f (1 . 5)由题意,下一步应求f (1 .5),即区间1,2的中点的函数值

17、.3 . (1 .25,1 .5)f(1) <0, f(1,25) <0, f (1 . 5) >0,故方程的根落在(1.25,1. 5)上.(1 . 875,1 . 21.218755)4 .解：由于f (1) =-1<0, f (2) =4>0,又函数f (x)是单调增函数,所以函数在区间(1,2)内有唯一 零点,不妨设零点为Xo,那么XoC (1,2).下面用二分法求解.区间中点的中点函数的近值似值(1,2)1.51. 328(1,1 .5)1.250. 128(1,1 .25)(1 . 125,1 . 21. 125-0.4441.1875-0. 1605

18、)-0.016(1 . 21875,1 1.23437 0. 056.25)5所以XoC(1 .21875,1 .234375),又1.21875与1.234375精确到0.1的近似值都为1.2,所以函数在(1,2)内的零点的近似值为1.2.全新视角拓展(1)函数 f(x)的定义域为(0, +°°),设 X1<X2,贝U ln X1<ln X2,2 X1<2X2. ： ln X1+2x1-6<lnX2+2X2- 6, ：f(X1)<f(X2),：函数 f (X)在(0, +00)为增函数.(2) ,. f(2) =ln 2 -2<0, f(3) =ln 3 >0. . 4(2) - f (3) <0,：f(X)在(2,3)上至少有一个零点.由(1)知f(x)在(0, +8)上至多有一个零点,从而f (x)在(0, +8)上有且只有一个零点.(3)由 f(2) <0, f(