椭圆十二大题型精华总结(含详解答案)(教师版)

1、 戴氏教育一一艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求 椭圆十二大题型总结椭圆的定义和方程问题一 定义：1 .命题甲：动点P到两点A,B的距离之和PA+|PB =2aa >0,常数;命题 乙：P的轨迹是以A B为焦点的椭圆,那么命题甲是命题乙的BA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2 .Fl、F2是两个定点,且F1F2 =4,假设动点P满足PFi|+|PF2 =4那么动点P的 轨迹是DA.椭圆B.圆C.直线D.线段3 .Fl、F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q, 使得PQ = PF2 ,那么动点Q的轨迹是B A.椭圆B.圆C.直线D.点

2、4 .椭圆 人+匕=1上一点M到焦点Fi的距离为2, N为MFi的中点,O是椭圆25 9的中央,那么ON的值是4 .5 .选做：F1是椭圆+工=1的左焦点,P在椭圆上运动,定点A 1, 1,求| PA | 十 | PF1 |的最小值.解：| PA | | PF 1 |=| PA | 2a-| PF 2 |_ 2a- | AF 2 |二6 一、2标准方程求参数范围1 .试讨论k的取值范围,使方程+上 =1表示圆,椭圆,双曲线.略 5-k k-32 "m >n >0是“方程mx2 +ny2 =1表示焦点在y轴上的椭圆的 小3 .CA.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要

3、条件D.既不充分又不必要条件3 .假设方程x2 since + y 2 cosc =1表示焦点在y轴上的椭圆,所在的象限AA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4 .方程x=v'1_3y2所表示的曲线是才隋圆的右半局部.5 .方程x2 +ky2 =2表示焦点在X轴上的椭圆,那么实数k的范围是k>1 .三待定系数法求椭圆的标准方程1.根据以下条件求椭圆的标准方程：1两个焦点的坐标分别为0, 5和0, 5,椭圆上一点P到两焦点的距 离之和为26;戴氏教育一一艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求22y x /1=1169 144(2)长轴是短轴的2倍,且过点(2, 6);2222yx

4、xy/2 十 =1,或+ =152 13148 37(3)椭圆的中央在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P (向),P (-<3,-x/2),求椭圆方程.2 x 十92.简单几何性质c = 8, e =求以下椭圆的标准方程(1)23；(2)过(3, 0)点,离心率为.6 e 二32 y1440280221,或-x + =1144802222匕+上=1,或匕+L =127993(3)椭圆的对称轴为坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆的最近距离是302222L+上=1,或 L+X=1912912(4)椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中央的距离为3,

5、那么椭圆的标准方程为2222工+匕=1,或L+L=1162516 25(5)P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为 管和巡,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.3222y +.=1,或土5105223.过椭圆4+咚 a b= 1(aAb>0)的左焦点Fi作x轴的垂线交椭圆于点p, F2为右假设/F1PF2 =60©,那么椭圆的离心率为四椭圆系共焦点,相同离心率2222y- =1 y 1(0： k 二9)椭圆25 9与25 一卜9 一卜的关系为(A )A.相同的焦点 B.有相同的准线 C.有相等的长、短轴 D.有相等的戴氏教育一一艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求焦

6、距2、求与椭圆=1有相同焦点,且经过点3,2 的椭圆标准方程.2上1510五焦点三角形4a221.F1、F2为椭圆上+L=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点25 9假设 F2A+IF2B =12,那么 AB =8.222 .F1、F2为椭圆 人+工=1的两个焦点,过F2且斜率不为0的直线交椭圆25 9于A、B两点、那么&ABR的周长是 20.23 .&ABC的顶点B、C在椭圆上+ y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且3椭圆的另外一个焦点在BC边上,那么"ABC的周长为4J3.六焦点三角形的面积：21.点P是椭圆a+ y2 =1上的一点,F1、F2为焦点,P

7、F； PF； =0 ,求点P 4到x轴的距离 2、口 x解：设P (x ,y)那么“24y 2=3y2 =1解得| y |=,所以求点P到x轴的距离为32.22设M是椭圆二十匕=1上的一点,25 16的面积.解：r |PFd | PF 2|2 -| F1 F 2 |2cos 1 ;2| PF1 M PF2 |nF1、F2 为焦点,NF1MF2=7,求AF1MF2(| PF1 | | PF2|)2-2|PF 1| PF2|-4c22| PFJ |PF2|2 4b -2|PF1 | |PF2|2| PF 1 M PF2 |当 F1MF2 =,S=1 PF1 | | pf2 |sin- =16(2-

8、 3)一x2 y2 PF1 *PF23 .点P是椭圆一+工=1上的一点,E、F2为焦点,右 I125 9PF1 1PF2那么用讦2的面积为 3<30戴氏教育一一艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求224 .AB为经过椭圆、+ y =1(a>b >0)的中央的弦,F(c,0)为椭圆的右焦 a2b2点,那么4AFB的面积的最大值为cb (七)焦点三角形221.设椭圆上 +匕=1的两焦点分别为Fi和F2 , P为椭圆上一点, 94最大值,并求此时P点的坐标.22求PR , PF2的2.椭圆2+L92F1PF2 = 120 O=1的焦点为Fi、F2,点P在椭圆上,假设PFi =4,那么|PF

9、2|=,223.椭圆上+匕=1的焦点为F1、F2, P为其上一动点,当/F1PF2为钝角时,点 94P的横坐标的取值范围为3 5 3.5丁)(八)与椭圆相关的轨迹方程 定义法：1.2.3.4.点 M(x,y)满足、；x2 +(y+3)2 + Jx2 +(y 3)2 =10 ,求点 M的轨迹方程.22(L+± =1)25 16动圆P过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其相内 切,求动圆圆心P的轨迹方程.22x y /1167圆 C1 :(x+3)2 + y2 =4,圆 C2 :(x-3)2 + y2 =100 ,动圆 P 与G外切,与C2 内切,求动圆圆

10、心P的轨迹方程.解：由题 |P% | 十 |PC2 |= r +2+10 -r =12所以点P的轨迹是：以Ci,C2为焦点的距离之和为12的椭圆.c = 3, a = 6,22方程为=1362711 O OA(-10), b是圆F:(x-)2 + y2=4 ( F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P ,那么动点P的轨迹方程为5.A(0,-1),B(0,1),ZXABC的周长为6,那么 ABC的顶点C的轨迹方程是直接法6.假设MBC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0,-6),另两边AB、AC的斜率4的乘积是-4 ,顶点A的轨迹方程为922上上=18136相关点法戴氏教育艰苦磨砺

11、、勤思创新、疯狂追求7.圆x2 +y2 =9 ,从这个圆上任意一点点M在PP'上,并且所2X 2y =19P向X轴引垂线段PP',垂足为P', M的轨迹.8.圆x2 +y2 =1,从这个圆上任意一点P向X轴引垂线段PP,那么线段PP的中点M的轨迹方程是 X2 +4y2 =1一、直线和椭圆的位置关系(一)判断位置关系1.当m为何值时,直线l：y=x+m和椭圆9x2+16y2=144 (1)相交；相切;(3)相离.y =x +m解：由 J 22 消去 y 得 25 X2 +32 mx +16m2-144 = 0,判别式：9 x2 +16 y2 =144 2 -.：-576(

12、25 m )所以,当-5 <m <5时直线与椭圆相交；当m =工5时直线与椭圆相切；当m < -5或m >5时直线与椭圆相离.2.假设直线丫=4+2与椭圆2*2+3丫2=6有两个公共点,那么实数k的取值范围6.6° k < 或 k > 33(二)弦长问题 221.设椭圆C :二十冬=1(ab >0)的左右两个焦点分别为Fi、F2,过右焦点F2 a2b2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交,其中一个交点为M (72,1) 022(1) 求椭圆的方程； 二十町=142(2) 设椭圆C的一个顶点为B0,-b),直线BF2交椭圆C于另一点N,求AFiBN

13、的面积.解：由(1)点B (0,),F2(我,0),直线BE的方程为：x y = .2x - y =中 2j-x x2 y2 消去 y 得：3x2 -4V2x = 0 ,解得 x = 0或x =13424 22所以点N的坐标为(二一,三一)33OS戴氏教育一一艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求所以 S f bn = S fb - S f f2n = - 2、, 2( . 2)=-233(三)点差法2定理在椭圆I +a24=1 (a>b>0)中,假设直线l与椭圆相交于 M N两 b2kMN1.点P(x0, y0)是弦V0 _ b2=一 _2 .Xoa一直线与椭圆MN的中点,弦MN所在的直线

14、l的斜率为kMN ,那么4x2 +9y2 =36相交于A、B两点,弦AB的中点坐标为(1,1),求直线AB的方程.解：设交点A(x 1,yjB(x2, y2),那么有,x1x 22V1y22224 x 19 y1 =36(1)22即摩3 (x2 -x1)49 = k,又直线AB过点(1,1)4 x 29 y2 =36(2)一 4 , 八22.直线l经过点A(1 , 2),交椭圆三+9=1于两点R、%所以直线AB的方程为：y-1=-9(x一1)36 16(1)假设A是线段P1P2的中点,求l的方程；(2)求RPJ勺中点的轨迹.解：(1)设 Pi(Xi, y.、P2(x2, V?,22出+江=1那

15、么 361622上.江3616_ (x1 ix2)(x1 . X2) - (y1 - y2 )(y1 , y2 ) -03616, A(1 , 2)是线段 P1P2的中点, xi+X2=2, y+y2=4,2(x1 X2)+4(y1 V2)=0,即 y1 y2 =_2 03616X1 - X29 l 的方程为 y=-|(x1)+2,即 2x+9y-20=0.OS戴氏教育艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求(2)设 P1P2的中点 M(x, y),那么 xi +x2=2x, yi+y2=2y,代入*式,得k=3i=_竺,又直线l经过点61, 2),.入=匕2,xi _x29yx -1整理,得4x(x-1

16、)+9 y(y-2)=0,.二P1P2的中点的轨迹:1 2(x-万)520.山二1109(四)定值、定点问题22B两点,点1、动直线y = k(x+1)与椭圆C : 七+工=1相交于5537 T T、,一M (,0),求证：MA MB为定值3证实：设交点 A(X1, y1), B(x2, 丫2)V = k ( X +1),c c c c由y (, ) 消去 y 得(1+3k2 x y,八一十一=1. 4 分 3) X2 +6 k2 x + 3k 25 = 0 x2 +3y2 =56k23k2-5贝 U 有 X1 + X 2 =2 , X1 x 2 =21 3k1 3kMA =(X1 7, %)

17、, MB =(x2 7, y2) 33772724924MA MB =(X1-)(x2-)y1 V2=(1 k )X1 x2(-k )(x1x2)k =-33399所以MA MB为定值19.椭圆C中央在原点,焦点在x轴上,焦距为2,短轴长为2J3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)假设直线l： y = kx + m(k =0)与椭圆交于不同的两点M、N (M、N不是椭圆的左、右顶点),且以MN为直径的圆经过椭圆的右 顶点A .求证：直线l过定点,并求出定点的坐标.解：(I)设椭圆的长半轴为a,短半轴长为b,半焦距为c,那么解得a = 2,.L椭圆C的标准方程为b = . 3,2c = 2,4 2

18、b =2点2.2.2a =b +c ,戴氏教育一一艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求,整理得：3+4k2 -m2 >04m2 -12x1x2 ;23 4k由,AM _L AN ,且椭圆的右顶点为A (2,0),Xi -2 X2 -2%丫2 =010分22x y由方程组 j y+T=1y = kx m(3 +4k2 )x2 +8kmx +4m2 -12=0 6分.、2cc由题意 =(8km) 4(3+4k2 X4m212)>0设 M (无,必卜 N (x2,y2 ),那么 x +x2 =-384m7 ,1 k2 x1x2,i. km - 2 x1 x2 1,m2 4 = 0.22 4m -

19、12-8km2(1+k 1+ km -2 2 + m +4=0,3 4k23 4k2整理得7m、化心4k2=.解得mk或时罟,±匀满足11分当m = -2k时,直线l的方程为y = kx -2k ,过定点(2,0),不符合题意舍去;当m=-生时,直线l的方程为y72 klx7,过定点(,0), 7故直线l过定点,且定点的坐标为(2,0).13分 20.在直角坐标系xOy中,点M至1 R(-73,0)、Fz(套,0)的距离之和是4,点M的轨迹C与x轴的负半轴交于点A ,不过点A的直线l： y = kx + b与轨迹C交于不同的两点P和Q . 求轨迹C的方程；(2)当AP,AQ=0时,求

20、k与b的关系,并证实直线l过 定点.戴氏教育艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求解：(1)二点M到(乔0),(乔,0)的距离之和是4,.M的轨迹C是长轴长为 4,焦点在x轴上焦距为20的椭圆,其方程为2七十y2 =13 分4(2 ) 将 y = k+ x , 代入曲线C的方程,整理得(中 k2 4 x2 1 k 龊 x2 4b=405 分由于直线l与曲线C交于不同的两点P和Q ,所以 =64k2b2 -4(1 +4k2)(4b2 -4) =16(4k2 -b2 +1)>0 .设P(x1, y) Q(x2, y2),那么x1x2 二8 kb21 4k4b2 -4x1x2 =2" ,1 4

21、k7分且 y1 y2 = (kx1 b)(kx2 - b) = k2x1x2 kb(x1 x2) b2.显然,曲线C与x轴的负半轴交于点A(-2,0),所以 AP = (x1+2,y1) , AQ = (x2+2,y2),由 71qT =0,得(专 x2 + + yy0 =将、代入上式,整理得12k2 -16kb+5b2 =0 , 10分所以(2k-b)(6k-5b)=0,即b=2k或b=6k.经检验,都符合条件.5当b=2k时,直线l的方程为y = kx+2k .显然,此时直线l经过定点(-2,0)点.即直线l经过点A,与题意不符.当b=6k时,直线l的方程为y =kx+gk=k(x+5).

22、显然,此时直线l经过定点556(-6,0)点,且不过点A .5综上,k与b的关系是：b=6k ,且直线l经过定点(-$0)点. 1协55OS戴氏教育艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求三、最值问题25 .P为椭圆x-+y2=1上任意一点,M (m 0) (mC R),求PM的最小值.4目标：复习稳固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题.提示：设P(x,y),用距离公式表示出PM利用二次函数思想求最小值.解：设 P(x,y) , PM=y(x -m)2 + y2 = J(x _m)2 +1 -X- =- 2mx 十 1心x-4m)2 *-弓'xC-2,2,结合相应的二次函数图像可得(1) 4m

23、 <-2,即 m<1 时,(PM)min=|m+2|;(2) -20 处02,即3 wmc 0 时,(PM)min=恒包-;3223(3) 4m >2,即 m>3 时,(PM)min=|m-2|.说明：(1)类似的,亦可求出最大值；(2)椭圆上到椭圆中央最近的点是短轴端 点,最小值为b,最远的点是长轴端点,最大值为 a； (3)椭圆上到左焦点最近 的点是长轴左端点,最小值为 a-c ,最远的点是长轴右端点,最大值为 a+c；26 .在椭圆人+y2=1求一点P,是它到直线l : x+2y+10=0的距离最小,并求最大 4最小值.目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距V.

24、.离问题的一般处理方法.提示：(1)可等价转化为与直线l平行的椭圆的切线与直线l之间的距离；(1)也可以;飞用椭圆的参数方程.解法一：设直线 m： x+2y+m=0与椭圆、2x 2y m = 0人+y2=1相切,M,22,消去x,4 y =14得 8y2+4my+i2A4=0,A =0,解得 m=272 .10DS戴氏教育艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求当m=2在时,直线与椭圆的切点 P与直线l的距离最近,最近为|10-斗1 = .52反2闻, 此时点P的坐标是叵马；当m=-2应时,直线与椭圆的切点 P与直线l的距离最远,最远为|10+h| =52.+也,此时点P的坐标是虎,巫.52解法二：设椭圆

25、上任意一点P2cos 9 ,sin 9 , 9 0,2 n那么P到直线l的距离为12cos"警8+101 =2应si"*；%"105、, 5.当8=2时,p到直线i的距离最大,最大为2而+2叵 此时点p的坐标 45是应,也;2当8=变时,P到直线l的距离最小,最小为2旗亚,此时点P的坐45标是-夜,-.2说明：在上述解法一中表达了 “数形结合的思想, 利用数形结合顺利把点与直 线的距离问题迅速转化成两平行线间的距离. 在解法二中,利用椭圆的参数方程 可迅速到达消元的目的,而且三角形式转换灵活多变,利用正余弦的有界性求最 值或取值范围问题是一个不错的选择.227.设

26、AB是过椭圆人+上=1中央的弦,F1是椭圆的上焦点,9251假设4ABF面积为4曲,求直线AB的方程；2求 ABF面积的最大值.解：1 设AB： y=kx,代入椭圆,得x2=,.Xi=- X2=,3, Saabfi= | OF| | Xi-X2|二2| Xi-X2|=4x . . | Xi-X2|=2,=5,k= ,直线 AB的方程为 y= x011os戴氏教育艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求(2) S»A ABF1 = | OF| , | Xi-X2|二4k .当 k=0 时,(Sa ABF1)Ma)=12o9,设椭圆事心在坐标原点,A(2,0) B(0,1)是它的两个顶点,宜线y =

27、 kx(k>0)与AB相交于点D ,与椭圆相交于E、F两点.(1)假设ED=6DF,求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值.2G)解：依题设得椭圆的方程为卜y2直线A BE F勺方程分别为x + 2y=2 , y = kx(k>0). 如图,设D( 0 kOX (Ei x , ik x ,( F x ,)其x 中 ex2,且 Xi, X2 满足方程(1+4k2)x2=4,故 x2 一x1 - 2.1 4k2.一；7,1 4k215_10_7.1 4k2由 ED 6DF 知 X0 -X1 =6(x2 -X0) , 4寸 X0 = (6 X2 +x)= 1 X222由 D在 AB

28、 上知 X0 +2kx0 =2 ,得 x0 =2-.所以1 2k 1 2k2 .3化筒得 24k225k+6=0 ,解得 k=或 k=.3 8(2)解法一：根据点到直线的距离公式和式知,点E, F到AB的距离分别为h _|x1 +2kx1 -2| 2(1+2k +71 +4k2). _%?乂2 -2| 2(1 + 2k-71 + 4k2)155(1 4k2)' 255(1 4k2),1 4k2 4k1 4k2又AB = 72F =石,所以四边形AEBF的面积为1S=-|aB (h1 +h2)1 5 4(1 2k) = 2(1 2k)2",''5(1 4k2)1

29、 4k2当2k=1,即当k=l时,上式取等号.所以S的最大值为2行2解法二：由题设,BO =1, AO =2.设 y1 = kx1 , y2 = kx2 ,由得 X2 >0 ,丫2 = -%>0,故四边形AEBF的面积为12T2 戴氏教育一一艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求S = Sa BEF * SAAEF = x2 *2 y2 = J(X2 *2丫2)? = JX2 *4y2 * 4x2 y20J2(X2 * 4y2) = 2,2 ,当X2=2y2时,上式取等号.所以S的最大值为2贬.四、垂直关系10.(上海春季)椭圆C的两个焦点分别为Fiji, 0)、F2(1, 0),短轴的两个端点分别为B1、B2 o(1)假设EBB2为等边三角形,求椭圆C的方程;(2)假设椭圆C的短轴长为2 ,过点F2的直线l与椭圆C相交于P、Q两点,且 FP _LFQ ,求直线l的方程.22解：(1)设椭圆C的方