线性代数习题答案详解

1、线性代数习题答案详解【篇一：段正敏主编?线性代数?习题解答】张应应 胡佩2021-3-1目录第一章第二章第三章第四章第五章第六章行歹U式1矩阵22向量组的线性相关性50线性方程组.69矩阵的相似对角化91二次型1141附录：习题参考答 案.1291教材：段正敏,颜军,阴文革：?线性代数?,高等教育出版社,2021.第一章行列式1 .填空题：(1) 3421的逆序数为5 ;解：该排列的逆序数为 t?0?0?2?3?5.(2) 517924的逆序数为 7;解：该排列的逆序数为 t?0?1?0?0?3?3?7.(3)设有行列式21d?61?15?1501?130201047832?432=?(aij

2、),含因子a12a31a45的项为；解：(?1) t(23154)al2a23a31a45a54?(?1)3?5?2?6?8?3?1440 (?1)t(24153)a12a24a31a45a53?(?1)4?5?0?6?8?1?0 所以d含因子a12a31a45的项为-1440和0.(4)假设n阶行歹ij式dn?(aij)?a,那么d?(?aij)?解：？行列式d中每 一行可提出一个公因子?1 ,?1? n a； ?d?(?aij)?1?(aij)?1?a. nn 1(5)设 f(x)? 14?8 1xx 2 2?248,那么f(x)?0的根为； x3 解：f(x)是一个 vandermond

3、e 彳亍歹U式, ?f(x)?(x?1)(x?2)(x?2)(?2?1)(?2?2)(2?1)?0 的根为 1, 2, -2.(6)设x1,x2,x3是方程x?px?q?0 的三个根,那么行列式 3 x1 x3 x2x1x3 x3 x2? ; x1 3 3 2 x2解：根据条件有x?px?q?(x?x1)(x?x2)(x?x3)?x?(x1?x2?x3)x?ax?x1x2x3比拟系数可得：x1?x2?x3?0 , x1x2x3?q?x13?px1?q?3再根据条件得：？x2?px2?q?x3?px?q 3?3原行歹 U 式=x1?x2?x3?3x1x2x3?p(x1?x2?x3)?3q?3?(

4、?q)?0.333 x(7)设有行列式?123x0=0,贝U x ； x1 x 解：？1 23x0?x2?3x?2?(x?1)(x?2)?0 x1 ?x?1,2.a11(8)设 f(x)? a12a22xa42 a13xa33a43 xa24a34a44,那么多项式f(x)中x3的系数为； a21a31x解：按第一列展开 f(x)?a11a11?a21a21?a31a31?xa41,?a11,a21,a31中最多只含有x2项,？含有x3的项只可能是xa41 a12xa41?x(?1)4?1a22 x a13xa33 xa24a343?x?xaa?aa?aa?x?a13a22a34?a12a24

5、a33?1234 13242233?xa41不含x3项,?f(x)中x3的系数为0.1234(9)如果6543002x0033=0 ,那么 x1234解：65430020033122x?(5?12)(6?3x)?0 x6533 ?x?2.000(10)a000；b000c000d解：将行列式按第一行展开: 000b000c000da000 b00 ?a?(?1)1?40c 0?abcd.00da31(11)如果ba?3b?3c?3 21?r1?3r3?r2?2r301=1 ,那么 521?a ?at41；ca31解：b1abc302111 a?3b?3c?351 2141 ?1. 0121a1

6、1ca12a22a32a132a112a122a222a322a12?2a132a22?2a23 2a32?2a33(12)如 a21a312a112a122a13a23=2 ,那么 2a212a31a33a21?a31a21?3a11a22?3a12a23?3a13a11a12a22a3200a21a22a23a11a130a31a32a33a21a22a232123a31a32?1a33 a a22?a3211 a12 a23?a33 a13 a13a33 解：a?a21a23?1?2?3?at?a12?2?3?2a312a112a312a122a322a22?2a23?2?12?22a3

7、2?2a33 ?3?8?0?a?162?2?2?3?231?2?2?32a212a22?8?1?2?2?1?2 2a112a122a13a21?3a11a22?3a12a23?3a13a21?a31 a22?a32?2?1a23?a33 ?2?3?1?2?3?2?1?2?3?1?2?3?2?2?2?3?1?3?1?2?3?2?3?2?1?2 ?2?1?2?1?3?2?1?2?2at ?4 0a11a12a130a21a22a230a31a32a3321?按第一行展开?23ab1?4 2 (?-1 ) at?4.(13)设n阶行列式d=a?0 ,且d中的每列的元素之和为 b,那么行 列式d中的第

8、二行的代数余子式之和为=?;a11解：a12?a1n?a11?a12?a1nb?b?=ba111?a12?a1n1?1?a21?an1a22?a2n?每行元素加到第二行?ban2?annan1an2?annan1an2?ann?按第二行展开?b?a21?a22?a2n?a?0?b?0,且 a21?a22?a2n?0?a21?a22?a2n?a b实际上,由上述证实过程可知任意行代数余子式之和 ai1?ai2?ain?a,i?1,2,?,n. ba11(14)如果a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44=1 ,那么000a11a22a32a42a12a23a33a

9、43a23a24a34a44a24000a42a22a23a24a32a33a341a43=?;a11a44a22解：令b?a32a23a33a43a24a34,那么 a44a42【篇二：同济大学第五版 线性代数课后习题解析】345【篇三：线性代数习题及解答】:本卷中,a-1表示方阵a的逆矩阵,r(a)表示矩阵a的秩,|?|表 示向量？的长度,?t表示向量？的转置,e表示单位矩阵,|a|表示方阵a的行列式.一、单项选择题(本大题共10小题,每题2分,共20分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其 代码填写在题后的括号内.错选、多项选择或未选均无分.a11a12a133a11

10、3a123a131 .设行列式 a21a22a23=2 ,那么？a31?a32?a33=()a31a32a33a21?a31a22?a32a23?a33a. -6 b . -3 c. 3d . 62 .设矩阵a, x为同阶方阵,且a可逆,假设a (x-e ) =e,那么矩阵 x= () a. e+a-1b . e-a c . e+ad e-a-13 .设矩阵a, b均为可逆方阵,那么以下结论正确的选项是()a ?a?a-1?b?可逆,且其逆为？?b-1? b . ?a?b?不可逆？c ?a?b-1?d ?b?可逆,且其逆为？?a-1? ?a?a-1?b?可逆,且其逆为？ b-1? ?4.设？1

11、 , ?2,？k是n维列向量,那么？1 , ?2,?k线性无 关的充分必要条件是 a.向量组？1, ?2,?k中任意两个向量线 性无关b .存在一组不全为0的数11 , 12,lk,使得11?1+12?2+ +卜中0c向量组？1 , ?2,？k中存在一个向量 不能由其余向量线性表示 d.向量组？1, ?2,？k中任意一个向 量都不能由其余向量线性表示5.向量 2?(1,?2,?2,?1)t,3?2?(1,?4,?3,0)t,贝U?= () a. (0, -2, -1 , 1) tb. (-2, 0, -1, 1) tc. ( 1, -1 , -2, 0) t d . (2, -6, -5, -

12、1) t6 .实数向量空间 v=(x, y, z)|3x+2y+5z=0的维数是() a. 1b . 2)(c. 3 d . 47.设？是非齐次线性方程组 ax=b的解,？是其导出组ax=0的解, 那么以下结论正确的选项是()a. ?+?是ax=0的解c . ?-?是ax=b的解8.设三阶方阵a的特征值分别为a. 2,4,c .b . ?+?是ax=b的解d . ?-?是ax=0的解11,3,那么a-1的特征值为()24b .1 3111, 24311,3 241 d . 2,4,39.设矩阵a=2?1,那么与矩阵a相似的矩阵是1a. ?1?123 01b . 102 ?2c.111 d .?

13、2110 .以下关于正定矩阵表达正确的选项是() a.正定矩阵的乘积一定 是正定矩阵c.正定矩阵的行列式一定大于零二、填空题(本大题共 10小题,每空2分,共20分) 请在每题的空格中填上正确答案,错填、不填均无分.11 .设 det (a)=-1 , det (b)=2,且 a, b 为同阶方阵,那么 det (ab)= .3b.正定矩阵的行列式一定小于零d.正定矩阵的差一定是正定矩阵112 .设3阶矩阵a=42t?23, b为3阶非零矩阵,且 ab=0 ,贝U t= . 1-13?1 k13 .设方阵a满足a=e ,这里k为正整数,那么矩阵 a的逆 a= . 14 .实向量空间 r的维数是

14、 .n17.设？是齐次线性方程组ax=0的解,而？是非齐次线性方程组ax=b的解,那么a(3?2?)= . 18.设方阵a有一个特征 值为 8,贝U det (-8e+a ) = .19.设p为n阶正交矩阵,x是n维单位长的列向量,那么 |px|= .20 .二次型 f(x1,x2,x3)?x1?5x2?6x3?4x1x2?2x1x3?2x2x3 的正惯性指数是 .三、计算题(本大题共 6小题,每题9 分,共54分)222121 .计算行列式142?12?6142?1?1?4121222 .设矩阵a=35,且矩阵b满足aba=4a+ba ,求矩阵b. -1-1-123 .设向量组?1?(3,1

15、,2,0),?2?(0,7,1,3),?3?(?1,2,0,1),?4?(6,9,4,3), 求其一个极大线性无关组,并将其余向量通过极大线性无关组表示出来.?124 .设三阶矩阵a=?24533,求矩阵a的特征值和特征向量.2 ?4?225 .求以下齐次线性方程组的通解.?x1?x3?5x4?0 ?2x1?x2?3x4?0?x?x?x?2x?0234?12?24?2026 .求矩阵a=3010360 ?1101 10 的秩. ?12四、证实题(本大题共 1小题,6分)a1127 .设三阶矩阵a=a21a12a22a32a13a23的行列式不等于 0,证实：a33a31?a13?a11?a12

16、?1?a21?,?2?a22?,?3?a23?线性无关.?a?a?a?31?32?33?线性代数习题二说明：在本卷中,a表示矩阵a的转置矩阵,a表示矩阵a的伴随矩 阵,e表示单位矩阵.的行列式,r(a)表示矩阵a的秩.一、单项选择题(本大题共 10小题,每题2分,共20分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多项选择或 t *a表示方阵a未选均无分.1 .设3阶方阵a的行列式为2,那么 ?12a?() a.-1 b.?14 c.14d.1x?2x?1x?22 .设f(x)?2x?22x?12x?2,那么方程f(x)?0的根的个数为()3x?23

17、x?23x?5a.0 b.1 c.2d.33 .设a为n阶方阵,将a的第1列与第2列交换得到方阵b,假设 a?b,那么必有(a.a?0 b. a?b?0 c.a?0d.a?b?04 .设a,b是任意的n阶方阵,以下命题中正确的选项是()a.(a?b)2?a2?2ab?b2b.(a?b)(a?b)?a2?b2c.(a?e)(a?e)?(a?e)(a?e) d.(ab)2?a2b2?a1ba1b2a1b3?5 .设 a?1?a2b1aa?0,b?2b22b3?,其中 ai?i?0,i?1,2,3,那么矩阵 a 的秩为(？a3b1a3b2a3b3?a.0 b.1 c.2d.36 .设6阶方阵a的秩为4,那么a的伴随矩阵a*的秩为()a.0b.2)c.3 d.4b.-4 d.10?x1?x2?x3?4?8 .线性方程组?x1?ax2?x3?3 无解,那么数a=()?2x?2ax?42?1a.?c.12b.0 d.11 29.设3阶方阵a的特征多项式为a.-18 c.6?e?a?(?2)(?3)2,那么 a?()b.-6 d.1810 .假设3阶实对称矩阵a?(aij)是正定矩阵,那么a的3