中考数学压轴题思路与技巧

1、关于中考数学压轴题的思考思考一：中考数学压轴题如何攻克对中考数学卷,压轴题是考生最怕的,以为它一定很难,不敢碰它.其实,对历年中 考的压轴题作一番分析,就会发现,其实也不是很难.这样,就能减轻做压轴题的心理压力,从中找到应对的方法.压轴题难度有约定：历年中考,压轴题一般都由3个小题组成.第1题容易上手,得分率在0.8以上；第2题稍难,一般还是属于常规题型,得分率在0.6与0.7之间,第3题较难,水平要求较高,但得分率也大多在0.3与0.4之间.近十年来,最后小题的得分率在0.3以下的情况,只是偶尔发生,但一旦发生,就会引起各方关注.限制压轴 题的难度已成为各届命题组的共识,起点低,坡度缓,尾巴

2、略翘已成为各地区数学试卷设计的一大特色,以往茂名卷的压轴题大多不偏不怪,得分率稳定在 0.5与0.6之间,即 考生的平均得分在 7分或8分.由此可见,压轴题也并不可怕. 压轴题一般都是代数与几 何的综合题,很多年来都是以函数和几何图形的综合作为主要方式,用到三角形、四边形、相似形和圆的有关知识.如果以为这是构造压轴题的唯一方式那就错了.方程与图形的综合的几何问题也是常见的综合方式,就是根据的几何条件列出代数方程而得解的,这类问题在外省市近年的中测试卷中也不乏其例.动态几何问题中有一种新题型,如北京市去年的压轴题,在图形的变换过程中,探究图形中某些不变的因素,它把操作、观察、探 求、计算和证实融

3、合在一起.在这类动态几何问题中,锐角三角比作为几何计算的一种工 具,它的重要作用有可能在压轴题中初露头角.总之,压轴题有多种综合的方式,不要老 是盯着某种方式,应对压轴题,决不能靠猜题、押题.分析结构理清关系：解压轴题,要注意它的逻辑结构, 搞清楚它的各个小题之间的关 系是 平列的,还是 递进的,这一点非常重要.如果1、2、3三个小题是平列 关系,它们分别以大题的为条件进行解题,1的结论与2的解题无关,2的结论与3的解题无关,整个大题由这三个小题拼装而成.如果1、2两个小题是 递进关系,1的结论由大题的条件证得,除外, 1的结论又是解2所必要的条件之一.思考二：中考数学压轴题解题技巧之【分类讨

4、论题】分类讨论在数学题中经常以最后压轴题的方式出现,是总分值率比拟低的一种题, 这一类题的特点就是小题较多,且容易失分,常常会被同学们忽略,经常忘记分类讨论,而大题却 经常是讨论不全,讨论全了结果还不一定对.而且,这类题往往陷阱比拟多,一个不注意 就会掉进出题陷阱中.因此我们在测试当中一定要养成以下几个好习惯.以下几点是需要大家注意分类讨论的1、熟知直角三角形的直角,等腰三角形的腰与角以及圆的对称性,根据图形的特殊 性质,找准讨论对象,逐一解决.在探讨等腰或直角三角形存在时,一定要根据一定的原 那么,不要遗漏,最后要综合.2、讨论点的位置,一定要看清点所在的范围,是在直线上,还是在射线或者线段

5、上.3、图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题,对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.4、代数式变形中如果有绝对值、平方时,里面的数开出来要注意正负号的取舍.5、考查点的取值情况或范围.这局部多是考查自变量的取值范围的分类,解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.6、函数题目中如果说函数图象与坐标轴有交点,那么一定要讨论这个交点是和哪一 个坐标轴的哪一半轴的交点.7、由动点问题引出的函数关系,当运动方式改变后比方从一条线段移动到另一条线段时,所写的函数应该进行分段讨论.值得注意的是：在列出所有需要讨论的可能性之后,要仔细审查是否每种可能性都会存 在,是否有需要舍去的.

6、最常见的就是一元二次方程如果有两个不等实根,那么我们就 要看看是不是这两个根都能保存.思考三：破解中考数学压轴题四个秘诀 切入点一：做不出、找相似,有相似、用相似 .压轴题牵涉到的知识点较多,知识转化的 难度较高.学生往往不知道该怎样入手,这时往往应根据题意去寻找相似三角形.切入点二：构造定理所需的图形或根本图形即作辅助线.在解决问题的过程中,有时添加辅助线是必不可少的.对于北京中考来说,只有一道很简单的证实题是可以不用添加 辅助线的,其余的全都涉及到辅助线的添加问题.中考对学生添线的要求还是挺高的,但添辅助线几乎都遵循这样一个原那么：构造定理所需的图形或构造一些常见的根本图形.切入点三：紧扣

7、不变量,并善于使用前题所采用的方法或结论 .在图形运动变化时, 图形 的位置、大小、方向可能都有所改变,但在此过程中,往往有某两条线段,或某两个角或 某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变.切入点四：在题目中寻找多解的信息分类思考.图形在运动变化,可能满足条件的情形不止一种,也就是通常所说的两解或多解,如何预防漏解也是一个令考生头痛的问题,其实多解的信息在题目中就可以找到,这就需要我们深度的挖掘题干,实际上就是反复认真的审题.思考四：压轴题的做题技巧1、对自身数学学习状况做一个完整的全面的熟悉,根据自己的情况测试的时候重心 定位准确,预防 “捡芝麻丢西瓜.所以,在心中一定要给压轴题或几个

8、“难点 一个时 间上的限制,如果超过你设置的上限,必须要停止,回头认真检查前面的题,尽量要保证选择、填空万无一失,前面的解做题尽可能的检查一遍.2、解数学压轴数做一问是一问.第一问对绝大多数同学来说,不是问题；如果第一 小问不会解,切忌不可轻易放弃第二小问.过程会多少写多少,由于数学解做题是按步骤给分的,写上去的东西必须要标准,字迹要工整,布局要合理；过程会写多少写多少,但 是不要说废话,计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识,少用代数计算,尽量用 三角函数,少在直角三角形中使用相似三角形的性质.例解压轴题解题：如图,在平面直角坐标系中,矩形ABC而三个顶点B (4, 0)、C (8, 0

9、)、D (8, 8).抛物线 y=ax2+bx 过 A、C两点.(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发.沿线段 AB向终点B运动,同时点Q 从点C出发,沿线段 CD向终点D运动.速度均为每秒 1个单位 长度,运动时间为 t秒.过点P作PE,AB交AC于点E.过点E作EF,AD于点F,交抛物线于点 G.当t为何值时, 线段EG最长？连接EQ在点P、Q运动的过程中,判断有几个 时刻使得 CE址等腰三角形？请直接写出相应的t值.解：(1)点A的坐标为(4, 8)将A (4, 8)、C (8, 0)两点坐标分别代入 y=ax2+bx一 8=16a+4b得 00=64a+

10、8ba=- 1 ,b=42,抛物线的解析式为：y=- 1 x2+4x2(2)在 RtAPE和RtABC中,tan / PAE=PE =BC,即 些=9AP AB AP 8CL 1 1CC CPE=-AP=-t . PB=8-t .22.点E的坐标为(4+1t , 8-t ). 2,点 G的纵坐标为：-'(4+ t ) 2+4(4+ t ) =- - 12+8. 2228EG=-1t2+8-(8-t) =-1 12+t.88-1V.,.当 t=4 时,线段 EGiM长为 2.8共有三个时刻8.5t 3- 2 .511分压轴题解题技巧练习对称翻折平移旋转21. 2021年南宁如图12,把抛

11、物线y=x 虚线局部向右平移 1个单位长度,再向上平移单位长度,得到抛物线11,抛物线12与抛物线11关于y轴对称.点A、O、B分别是抛物线11、12与* 轴的交点,D、C分别是抛物线11、12的顶点,线段CD交y轴于点E .分别写出抛物线1i与12的解析式;(2)设P是抛物线11上与D、O两点不重合的任意一点,Q点是P点关于y轴的对称点,试判断以P、(3)在抛物线11上是否存在点M,使得 S. ：ABMS四边形AOED,如果存在,求出 M点Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由的坐标,如果不存在,请说明理由MC2cCAxPC42.福建2021年宁德市如图,抛物线 Ci：两点

12、点A在点B的左边,点B的横坐标是1 .(1)求P点坐标及a的值；4分(2)如图1,抛物线C2与抛物线C1关于2(y = a(x + 2 f 5的顶点为P,与x轴相交于A、Bx轴对称,将抛物线 C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,.3的顶点为M,当点P、M关于点B成中央对称时,求 C3的解析式；4分/ C= 90° , AC= 4c项 BC= 3cm,点 P 由 B(3)如图(2),点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线 C1绕点Q旋车专180°后得到抛物线 C4.抛物 线.4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是 直角三角形时,

13、求点 Q的坐标.(5分)动态：动点、动线3. (2021年辽宁省锦州)如图,抛物线与x轴交于A(xi, 0)、Rx2, 0)两点,且xi>X2,与y轴交于点C(0 , 4),其中xi、x2是方程x2-2x-8 = 0的两个根.(1)求这条抛物线的解析式；(2)点P是线段AB上的动点,过点 P作PEE/ AC交BC于点E,连接CP当 CPE的面积最大时,求点 P的坐标；(3)探究：假设点Q是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Q使 QBCt；为等腰三 角形？假设存在,请直接写出所有符合条件的 点Q的坐标；假设不存在,请说明理由.4. (2021年山东省青岛市) ：如图,在 RtACB中,出

14、发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s；连接PQ假设设运动的时间为t (s) (0<t<2),解答以下问题：(1)当t为何值时,PQ/ BC?2(2)设 AQP的面积为y ( cm ),求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t ,使线段PQ恰好把RtACB的周长和面积同时平分？假设存在,求出此时 t的 值；假设不存在,说明理由；(4)如图,连接 PC,并把 PQC& QC翻折,得到四边形 PQP C,那么是否存在某一时刻 t,使四边 形PQP C为菱形？假设存在,求出此时菱形的边长；假设不存在,说明理由

15、.5. (09年吉林省)如下图,菱形 ABCD的边长为6厘米,/ B = 60°.从初始时刻开始,点 P、Q同时从A点出发,点P以1厘米/秒的速度沿A-C-B的方向运动,点 Q以2厘米/秒的速度沿A-B-C-D的方向运动,当点 Q运动到D点时,P、Q两点同时停止运动.设 P、Q运动的时间为x秒时,4APQ 与 ABC重叠局部的面积为y平方厘米(这里规定：点和线段是面积为0的三角形),解答以下问题：(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是 秒；(2)点P、Q从开始运动到停止的过程中,当 APQ是等边三角形时x的值是 秒；(3)求y与x之间的函数关系式.6. (2021年浙江省嘉兴市)如图,

16、A、B是线段MN上的两点,MN =4 , MA = 1 , MB >1 .以A为中央顺时针旋转点 M,以B为中央逆时针旋转点 N,使M、N两点重合成一点 C,构成 ABC,设 AB=x .(1)求x的取值范围；(2)假设 ABC为直角三角形,求x的值;(3)探究： ABC的最大面积？二、 圆7. (2021青海) 如图10,点A (3, 0),以A为圆心作.A与丫轴切于原点,与x轴的另一个交点 为B,过B作.A的切线I.(1)以直线I为对称轴的抛物线过点 A及点C (0, 9),求此抛物线的解析式；(2)抛物线与x轴的另一个交点为 D,过D作.A的切线DE, E为切点,求此切线长；(3)

17、点F是切线DE上的一个动点,当 BFD与EADX相似时,求出 BF的长.8. (2021年中考天水)如图1,在平面直角坐标系 xOy,二次函数y= ax2+bx+c(a>0)的图象顶点为 D, 与y轴交于点C,与x轴交于点A、B,点A在原点的左侧,点B的坐标为(3 , 0) , OB= OC tan / ACO1=.(1)求这个二次函数的解析式；3(2)假设平行于x轴的直线与该抛物线交于点 M N,且以MN直径的圆与x轴相切,求该圆的半径 长度；(3)如图2,假设点G(2 , y)是该抛物线上一点,点 P是直线AG下方的抛物线上的一动点,当点 P运 动到什么位置时, AGP勺面积最大？求

18、此时点 P的坐标和 AGP勺最大面积.9. (09年湖南省张家界市) 在平面直角坐标系中, A( -4, 0), B(1, 0),且以AB为直径的圆交y 轴的正半轴于点 C,过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求点C的坐标和过A, B, C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于 E, F两点,问：是否存在以线段EF为直径的圆,恰好与 x轴相切？假设存在,求出该圆的半径,假设不存在,请说明理由.10. (2021年潍坊市)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,且与两坐标轴分别交于A、R C、D四点.抛物线2y=ax +bx+c与y轴

19、交于点D,与直线y = x交于点M、N,且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C .(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴交 x轴于点E ,连结DE ,并延长DE交圆O于F ,求EF的长.(3)过点B作圆O的切线交DC的延长线于点 P,判断点P是否在抛物线上,说明理由.四、比例比值取值范围211 .(2021年怀化)图9是一次函数y=(x+m) +k的图象,其顶点坐标为 M(1,-4).(1)求出图象与x轴的交点A,B的坐标；5(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使SAB = S&A3,假设存在,求出P点的坐标；假设不存在,4请说明理由；(3)将二次函数的图象在 x轴下方的局部沿

20、x轴翻折,图象的其余局部保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象答复：当直线 y = x +b (b <1)与此图象有两个公共点时,b的取值范围12 .湖南省长沙市2021年如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC勺两边分别在 x轴和y轴上,OA=8,5 cm, OC=8cm,现有两动点P、Q分别从O C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒5 秒.(1)(2)cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动.设运动时间为 t用t的式子表示 opQj面积S；(3)当OPQfPA所口QP讨目似时,抛物线动点M作y轴的平行线交抛物线于 N,当线段 两局部的面积

21、之比.y x2 +bx+c经过B、P两点,过线段 BP上一,4mN勺长取最大值时,求直线 mNE四边形OPBQ成13.xOy中,抛物线y2=ax +bx+c与x轴交于A、B两点求证：四边形 OPBQJ面积是一个定值,并求出这个定值;点A在点B的左侧,与y轴交于点 C,点A的坐标为一3,0,假设将经过 A C两点的直线y = kx + b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线x = 2 .D求直线 AC及抛物线的函数表达式;2如果 P是线段 AC上一点,设 AABP、ABPC的面积分别为 S&bp、S住PC ,且Q与坐标轴相切的SzAbp：S&bpc=2：3

22、,求点 P的坐标;3设Q的半径为l ,圆心Q在抛物线上运动,那么在运动过程中是否存在情况？假设存在,求出圆心 Q的坐标；假设不存在,请说明理由.并探究：假设设.Q的半径为r ,圆心Q在 抛物线上运动,那么当r取何值时,o Q与两坐轴同时相切?五、探究型14.内江市2021如图,抛物线y = mx 2mx- 3m m> 0与x轴交于a、b两点,与y轴交于C点.11请求出抛物线顶点 M的坐标用含m的代数式表示,A B两点的坐标；2经探究可知, 4BCM与4ABC的面积比不变,试求出这个比值；3是否存在使 ABCM为直角三角形的抛物线？假设存在,请求出；如果不存在,请说明 理由.26题图1 2

23、15.重庆市潼南县2021年如图,抛物线y = X2+bx + c与y轴相交于C,与X轴相交于A、2B,点A的坐标为2, 0,点C的坐标为0, -1 .1求抛物线的解析式；2点E是线段AC上一动点,过点E作D已x轴于点D,连结DC当 DCE勺面积最大时,求点 D 的坐标；3在直线BC上是否存在一点P,使 AC两等腰三角形,假设存在,求点 P的坐标,假设不存在,说 明理由.16. 2021年福建龙岩如图,抛物线2y=ax -5ax+4经过 ABC的三个顶点,BC / x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC = BC .1求抛物线的对称轴;2写出A, B, C三点的坐标并求抛物线的解析式;(3)

24、探究：假设点p是抛物线对称轴上且在 x轴下方的动点,是否存在 ZXPAB是等腰三角形.假设存在,求出所有符合条件的点 P坐标；不存在,请说明理由.如图,抛物线 y= 3x2+bx + c与坐标轴交于 A、B、C三点,A点的坐标为(一1,0),43过点C的直线y= 一 x 3与x轴交于点Q ,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH,OB于点H .假设4tPB = 5t,且 0<t< 1.(1)填空：点 C的坐标是 , b=A , c = A ；(2)求线段QH的长(用含t的式子表示)；(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与 COQ相似？假设存在,求出所有t

25、的值；假设不存在,说明理由.18. (09年重庆市)：如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2, OC = 3.过原点O作/AOC的平分线交 AB于点D,连接DC,过点D 作DE,DC ,交OA于点E.(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式；(2)将/ EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与 y轴的正半轴交于点 F,另一边与线段 OC 交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点 M ,点M的横坐标为6 ,那么EF=2GO是5否成立？假设成立,请给予证实；假设不成立,请说明理由；(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的 PCG是等腰三角形？假设存在,请求出点Q的坐标；假设不存在,请说明理由.219. (09年湖南省长沙市) 如图,抛物线y=ax +bx + c(a,0)与x轴父于A( -3, 0)、B两点,与y轴 相交于点C( 0,a).当x= 4和x=2时,二次函数y= ax2 +bx+c( a,0)的函数值y相等,连结AC、BC.(1)求实数a, b, c的值；(2)假设点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿 BA、BC边运动,其中一个点 到达终点时,