整式的乘除与因式分解知识点

1、整式乘除与因式分解一.知识点重点1. 幕的运算性质：dm an = am+nm、n 为正整数同底数幕相乘,底数不变,指数相加 例：一2a2 3a23m n2. a = amnm、n为正整数幕的乘方,底数不变,指数相乘 例：-a55n 人nn3. ab a b(n为正整数)积的乘方等于各因式乘方的积.例：(一a2b)3练习：,.、_3_ 2一 .2、,一(1) 5x2x y 3ab (4b )(3)3ab 2a(4) yz2y2z2(5)(2x2y)3( 4xy2)(6)- a3b 6a5b2c( ac2)234. aman=amn(aw0,m、n 都是正整数,且m>n)同底数幕相除,底数

2、不变,指数相减.例：(1) x8+x2(2) a4+a(3) ( ab) 5 + ( ab) 2(4) (-a) 7+ (-a) 5(5) (-b) 5+(-b)25 .零指数幕的概念：a0 = 1aw 0任何一个不等于零的数的零指数幕都等于I.例：假设2a 3b01成立,那么a,b满足什么条件？6 .负指数幕的概念：1a-p=ap(aw0, p是正整数)任何一个不等于零的数的-p (p是正整数)指数幕,等于这个数的 p指数 幕的倒数.ppn m也可表示为： m n (mw0, nw0, p为正整数)7.单项式的乘法法那么：单项式相乘,把系数、同底数幕分别相乘,作为积的因式；对于只在一个单 项

3、式里含有的字母,那么连同它的指数作为积的一个因式.2 121 3 324例：(1) 3a b 2abc -abc (2) ( - m n) ( 2m n)3 28 .单项式与多项式的乘法法那么：单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积 相加.例：(1) 2ab(5ab2 3a2b)(2) (- ab2 2ab) 1ab32(3)(-5m2n) (2n 3m n2)(4) 2(x y2z xy2z3) xyz9 .多项式与多项式的乘法法那么：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相 乘,再把所得的积相加.例：(1) (1 x)(0.6 x)(2

4、) (2xy)( x y) (3) ( 2m n)2练习：1. 计算 2x 3 ( 2xy)( 1 xy) 3 的结果是22. (3X 10 8)X( 4X 10 4) =3,假设n为正整数,且x 2n=3,那么(3x3n) 2的值为4. 如果(a nb - ab m) 3=a 9b15,那么 mn 的值是5. a 2(2a 3a) =6. (4x 2+6x 8) (；x 2) =7. 2n(- 1 + 3mn 2) =8. 假设 k(2k5) + 2k(1 k) = 32,贝U k =9. ( 3x 2) + (2x 3y)(2x 5y) 3y(4x 5y) =10. 在(ax 2+bx3)

5、(x 2gx + 8)的结果中不含 x 3和 x 项,贝U a=, b=_11. 一个长方体的长为(a+4)cm,宽为(a3)cm,高为(a+5)cm,那么它的外表积 为,体积为.12. 一个长方形的长是10cm,宽比长少6cm,那么它的面积是,假设将长方 形的长和都扩大了 2cm,那么面积增大了 .10 .单项式的除法法那么：单项式相除,把系数、同底数幕分别相除,作为商的因式：对于只在被除式 里含有的字母,那么连同它的指数作为商的一个因式.例：(1) 28x4y2 + 7x3y (2) -5a5b3c+ 15a4b (3) (2x2y) 3 (-7xy2) + 14x4y311 .多项式除以

6、单项式的法那么：多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式, 再把所得的 商相加.例：(1) (3x2y 6xy) 6xy (2) (5a3b 10a2b2 15ab3) ( 5ab)练习：1.计算:(1)3 4 2 7xy12 2 yx y ;(2)2 32x2y(3)16 ab(4)3 2n 24x y2xyn 3(5)4 1092 1032.计算:(1)16x3y312xy(2)1一 xy 5(3)1b21 n, 2-a b 43.计算:(1)(2)16a4.假设(ax3my12) -(3x3y2n)=4x6y8那么a =.易错点：在幕的运算中,由于法那么掌握不准出现错误;

7、有关多项式的乘法计算出现错误； 误用同底数幕的除法法那么；用单项式除以单项式法那么或多项式除以单项式法那么出错;乘除混合运算顺序出错.12 .乘法公式：平方差公式：(a+ b) (a b) =a2 b2文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差.完全平方公式：(a+ b) 2 = a2+2ab+ b2(a b) 2 = a22ab+b2文字语言表达：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或 减去)这两个数的积的2倍.例 1: (1) (7+6x)(7-6x) ;(2) (3y + x)(x-3y) ;(3) (-m +2n)(-m-2n).例 2：(1) (x

8、+6) 2(2) (y-5)2(3) (-2x+5)练习：1、 a5a2 =.x(x222y2)2 2(x2 y)3 ( xy2)3 =2、6a6、多项式 x x ,x 2x 1, x x 2的公因式是 .b3 12a3b4 8a3b2 2a3b2 ()22,、223、x 9y (x ) ； x 2x 35 (x 7) ()213114、 x 5 ,那么 x-=; x 一 =.xxx_2.25、假设9x mxy 16y是一个完全平方式,那么 m的值是.3 x7、 因式分解： 8 °27一,一 .2128、因式分解：4m 2mn -n.49、计算：0.131 8 0.004 8 0.0

9、02 8 .10、x2 y2 x y (x y) A,贝U A=易错点：错误的运用平方差公式和完全平方公式.13.因式分解(难点)因式分解的定义.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式 分解.掌握其定义应注意以下几点：(1)分解对象是多项式,分解结果必须是积的形式,且积的因式必须是整 式,这三个要素缺一不可；(2)因式分解必须是恒等变形；(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形,因式分解是把和差化为积的形式,而整式乘法 是把积化为和差的形式.二、熟练掌握因式分解的常用方法.1、提公因式法(1)掌

10、握提公因式法的概念；(2)提公因式法的关键是找出公因式,公因式的构成一般情况下有三局部： 系数一各项系数的最大公约数； 字母一一各项含有的相同字母；指数一一 相同字母的最低次数；(3)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确 定另一因式.需注意的是,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项 数一致,这一点可用来检验是否漏项.(4)注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底；如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“一号,使括号内的第一项 的系数是正的.例：(1) 8a x2 5xy 6y2(4) x4 5x2 36b2 12ab3c(2) 75x3y5

11、35x2y42、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：平方差公式：a2b2= (a+b) (a-b)完全平方公式：a2+2ab+ b2= ( a+ b) 2a2 2ab+ b2= (a b) 2例：(1) a2b2 0.25c2(2) 9(a b)2 6(b a) 1422222(3) a x 4a x y 4x y22(4) (x y) 12(x y)z 36z3、十字相乘法右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于pq的逆运算.2(2) x2 2x 15十字左边相乘等于二次项系数, 一次项系数.即公式 (x p)(x q) x2 (p q)x例：(1) x2

12、 x 42练习：1、假设x2 2(m 3)x 16是完全平方式,那么m的值等于.2、x2 x m (x n)2 贝Um=n =3、2x3y2与12x6y的公因式是4、假设 xm yn = (x y2)(x y2)(x2 y4),贝U m=, n=. 5、在 多项式m2 n2, a2 b2,x4 4y2, 4s2 9t4中,可以用平方差公式分解因式的 有,其结果是6、假设x2 2(m 3)x 16是完全平方式,那么m=.27、x ()x 2 (x 2)(x )c n 分口 彳220042005 c mt 20068、 1 x x x x 0,那么 x .9、假设16(a b)2 M25是完全平方

13、式 M=.10、x2 6x _ (x 3)2 , x2 9 (x 3)211、假设9x2 k y2是完全平方式,那么k=.12、假设x2 4x 4的值为0,那么3x2 12x 5的值是.13、假设 x2 ax 15 (x 1)(x 15)那么2=.14、假设 x y 4, x2 y2 6 那么 xy .15、方程x2 4x 0,的解是.易错点：用提公因式法分解因式时易出现漏项,丢系数或符号错误; 分解因式不彻底.中考考点解读：整式的乘除是初中数学的根底,是中考的一个重点内容.其考点主要涉及以下几个方面：考点1、哥的有关运算例1 . 2021年湘西在以下运算中,计算正确的选项是Aa3a2a6B

14、a23a5Ca8a2a4D ab22a2b4分析:哥的运算包括同底数哥的乘法运算、哥的乘方、积的乘方和同底数哥的除法运算哥的运算是整式乘除运算的根底,准确解决哥的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法那么.例2. 2021年齐齐哈尔10m 2, 10n 3,那么103m 2n .分析：此题主要考查哥的运算性质的灵活应用,可先逆用同底数哥的乘法法那么 am an amn,将指数相加化为哥相乘的形式 ,再逆用哥的乘方的法那么 amn amn,将指数 相乘转化为哥的乘方的形式,然后代入求值即可.考点2、整式的乘法运算例 3. 2021 年贺州计算：2a 1a3 1 =.4分析:此题主要考查单项式与多项

15、式的乘法运算.计算时,根据法那么将其转化为单项式与单项式的乘法运算,注意符号的变化.考点3、乘法公式2例4. 2021年山西省计算：X 3 x 1 x 2分析:运用多项式的乘法法那么以及乘法公式进行运算,然后合并同类项解：3 例5. 2021年宁夏：a b ab 1 ,化简a 2b 2的结果是.2分析:此题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先根据法那么进行计算,然后灵活变形,使其出现a b 与ab ,以便求值.解：考点4、利用整式运算求代数式的值例6. 2021年长沙先化简,再求值：a ba b a b2 2a2,其中a 3, b 1 .3分析:此题是一道综合计算题,主要在于乘法公式的应用 解：考点5、整式的除法运算例 7. (2021 年厦门)计算:(2x-y)(2x+y) + y(y-6x) 2x分析:此题的一道综合计算题,首先要先算中括号内的,注意乘法公式的使用,然后再进行 整式的除法运算.解：考点6、定义新运算例8. (2021年定西)在实数范围内定义运算": 其法那么为：a b a2 b2,求方程(4 3)x 24的解.分析:此题求解的关键是读懂新的运算法那么,观察的等式aba2 b2可知,在此题中“ 定义的是平方差运算,即用“&qu