初中数学几何专题《中线倍长》精讲

1、E经几何： 初中教学辅助线专练专题二：中按傍衣“中线倍长”是几何学习中常见的构造辅助线的方法，当题目中出现中点时.我们 可以通过“中段倍长”来构造一对全等三角形，从而为解决问题提供条件.典型例题：勺如图2/所示，46c中，力力是/历1C的平分线，且BD=CQ,求证：/8=/C 思路分析大部分八年级学生初次见到此问题，会根据 “BD=CD, AD=AD. NBAANCID” . 去证明 ABDgAACD,这是典型的“边边角”错误，无法 得到证明.我们的思路是，寻找一条“中间践段”，即找 一条线段同时和/仄47相等。如图2-2所示，通过 “点。是8c中点”这个条件，延长力。到点凡位 DE=AD.构

2、造一对全等三角形，即力C刀磴月川）， 从而得到6E二月C,再证明月比:是等腰三角形即可.陟常用辅助线添加方法中线倍长已知：在/SC中，力。是HC边中线.图2-4031军长迎至看E,使。£=皿 连接BE1如图2-3所示，/£）=£，NCDA/BDE, CD=BD:ADCWAEDB （即可以得至IJ “一对全等三角形"）BE-CA. NERD=NACD, /CAD=NE （即可以得到“一组对应边等”以及“两组对应角等”）A AC/EB （即得到“一组平行线”）N/16£+N氏10=180。（即可以得到“一对同旁内角互补”）tR响接唱|如图2y所示，

3、过点C,作CFL4D于点尸,过点8作8E_L4。交力Q的延长线于点£： 4BDE=/CDF, NE=/CFD=9/, BD=CD :BDEW4CDF侬目类中线如图2-5所示，点A/为月6上一点，延长MD至点N,使DN=MD,连接CM: BD=CD, NBDM=/CDN, MD=DN：.4BDMm XCDN:如图26所示，CE CB分别是43C和48的中线，且45=4C求证：CE=、CD.， - -_4思路分析要证明C£-有两个思路，一是将扩大最、 原来的2倍，证明扩大后的线段与相等（即中线倍长）， 、 二是将CD缩小到原来的1证明得到的设段与CE相等（即 / 构造中位线.8

4、年级学支可以使用此方法）,f图2-6具体解法如下：电冲线倍长1：如图27所示，将CE扩大到原来的2倍 延长CE到点儿使EF=CE,连接8厂:CEAm4FEB (SAS)；BF=AC=AB=DB, 4A=NEBF：.AC/BF：.ZJC5+ZC5F=180°*. /18C+/C6Q=180。又; AC=AB：.NACB=NABC：.4CBF=/CBD:.CBFWMBD (SAS)c:CF=CD/：.CE=CF=CD/ OO中线倍长2:如图2T所示，将CE扩大到原来的2倍 延长C£到点厂，使E/三C£连接/E :AEF94BEC (SAS):AF=BC, NEAF=N

5、EBC：.AF/CB：.ZCAF+ZACB=mG'；AC=ABJ NACB=NABC/C8O+48C=180。：/CAF=/CBD:AC=AB=BD, AF=BC ，CAFWADBC( SAS):CF=CD/ 、图2-7图2-8©O中位线证法1如图2-9所示，延长8C到点尸, 使3=AC,连接力尸 CE是/?/!的中位线/. CEAF,: NACB=/ABC:.NACF=NCBD 乂 ： AC=AB=BD DCaADBC (SAS) ：.AF=CD：.CE=CD©O中位线证法2如图2-10所示，延长IC到点E 使B=/C,连接5尸ce是”的中位线工CE=±

6、BF: NACB=NABC:NBCF=/CBD乂 ： CF=AC=AB=BD, CB=BC:BCFWACBD (SAS)BF=CD:.CE*D©0中位线证法3如图2-11所示，取力C中点£连接火，8户是C4Q的中位线:.BF*D丁点£是43中点,M. ACAB：.AF=AE:FABMEAC (SAS)图 2-10©0中位线证法4如图2/2所示，取CO中点片连接防:.8/是C4O的中位线A BFAC, BF/ACnfR=nacb=nabc丁点E是。B中点，且:.BF=BE：.BF=CE：.ce/cd：.CBFCBE (SAS)，CE=CF=ICDJ如图2-

7、13所示，Zve。中，力。为力6c的中线,48=5,，C=3,求中线4。的取值范围.图 2-13正经几何： 初中教学辅助线专练合一如图2-14所示，点。是46。边6。的中点，4B二DF, AC=DG,求线段力。和“G的数所关系./GZ）尸+N84C=I8O。,23如图2/5所示，在4月。中，4B=4C,点D住4B上,F, RDEF,求证：BD=CE.点E在/。的延长线上，DE交BC于点、27如佟12-16所示，/£)为力8C边8c的中线，1)£¥分NBDA交AB于点E,。尸平分N4OC交HC于点尸，连接打:求证：BE+CF>EE图 2-16： 专 题二； 币

8、1瞽善* 1 N如图2/7所示，她与00）为等腰直角 涌形，NA0B=/C0D=9QP, 0B=0A, 0C=0D,点M为6c的中点，连接。河、猜想并验证。财与力。的数量关系和位置关系.2-6正方形力水刀和正方形。MG有'公共顶点。，连接/LE; CG,取CG中点M,连接DM（1）如图2-18所示，求证：AE-2DM；（2）如图2/9所示，猜想并证明。必力超的数量关系和位置关系.图 2-18图279面经几何： 初中教学辅助线专练备一2-7(1)如图220所示，当/氏4c=/瓦"?=90。时，猜想并证明PZ)和总的数量关系和位置关系: 如图2-21所示，当/6"+/功

9、。=180。时，猜想并证明P"ll以的位置关系黑%所示，北是皿的平分线，点E瓯的中点，/B亦即,"=M"D.图 2-22专题二：中纯倍K'如图2-23所示，ADEXl勺顶点。在ZUBC的边内上（不与点& OK合），klNBM+N臼*=1盼,AB=DF, 4C=DE,点0为Q的中点，直线。交宜以5于点P.<1）猜想NBPD与NFD8的关系,并加以证明;<2）当DEF绕点”旋转，其他条件不变，（1）中的结论是否始终成立？若成立，请说明理由; 若不成立请你在图224中丽出相应的图形，并给出正确的结论（不需要证明）.图 2-23平行练习2-1如

10、图2-25所示，延长到点E,像DE=AD, 程到/（：£）笠£80, RE AC=3, 在Zk/BE中，AB-BE<AEAB+BE, 即 5-3<24。<5+3, 所以1V4X4.:AB=DF, AC=BE=DG ：AABE 出 4FDG 工AD= 2 AE=/FG.法2 '图2-27证法与困226类似, 不赘述平行练习2-2法1如图226所示，延长到点£,：BD=CD, NBDESA二 ABDEQCDA：.BE/AC：.ZABE+ZBAC=1NG0“+N5/C=18O。J 乙ABE 一乙GDFe 国 2-25平行练习2-3法】如图228

11、所示，在网上截取尸=/。，连接。，得到 丛 FDHW4FEC ：.NDHF=NECF AZ1=Z2 ABAC ，N1 = N3 ，N2=/3正经几何: 初中教学辅助战专练比题法1可以作OEC,法2可以作EHBD.法2连接C,方法相同，见图2-33 【“互补传基本型” 已知 N/OC=/6OD=90。， 求证：N/O。十/800180。法1如图234所示，设/BOC=。，则NCCXA乙4QB=%»a , NAOD +/BOC=90°-a +a +90°-。=180°法2如图235所示，英长DO: /BOC+/OS=90。，40E+40，=90"，

12、NAOE=/BOCY N/OO+N/OE=180。 N/fOD+/8OC'=18(T平行练习2-6（I）如图236所示,延长QM到点M使MVjMD, 连接NG:.ACDM / AGNM:.NG"CD, CDGZNGD=S(r；NCDG 十/IDE= 180c二 NNGD=NADE: NG=CD-AD, DG=DE:/IQ% ZiNG。:AE=DN=2MD(2) 法 1如图237所示，延长。A/到点， 迂接G慢 MH=MD,:ACDM%GHM:HGCD, ZCDG+ZZ7GD-180° 180°(参见“互补角基本型”):NHGD ADE:HG=CD=AD,

13、DG=DE 4ADE94HGDAE DH=WD延长£4交。的延长线于点0: 4ED+NEDQ= NQDG+ NEDQ =9b,即法24Q2MD与法类似，不赘逑, 可得/4ED=NCHD如图238所示，延长£4交。H的延长线于点0: 0G/CH：./HND=/EDG=90“NAED，NEDQ -CHD+/EDQ = /GOH+NEQO=9(H rAELHD平行练习2-7(1)法 1图 2-38如图239所示，延桧。到点凡 使PF-PD,苴接8尸:BD HD=CE法2如图2-29所示，在/?”的延长线上戡取尸”=/话，得到 FBD 冬FHE AZ4=Z3 VJ=/IC AZ4=

14、Z1-Z2 /2=/3 ：,CE=HE=BD【说明】平行练习2-4此题的解题思路是，要汪明“两条线段和大于第三条 线段”，我们要思考将三条线段放到同一个三角形 中，根据“三角形两边之和大于第三过,得出证明， 所以我们可以通过“中线倍长”将CF、EF分别转移到 “、£"处（法1），还可以利用角平分线常见的辅助 线构遁方法，将6E、C户分别转侈到以人中处（法2）. 法1如图2-30圻示，延长FD到点.H,使D”=FD,连接E1I 二 ABDH m MDF： NBDE=/ADE, /ADF=NCDF NEDF= NADE+ N/1DF1=2 "DS+N40C）/=I X

15、 180°= 90°: DH=DF, NEDF=NEDH；9Cf 犷 L ：.EH=EF.；be、bh>eh-：.BECF>EF安一.法2如图231所示，在D4上截取。=06：DB=DC:,DH=DC1，ABDE&HDE, 4DFHq ADFC A:EH=EB, HF=CF/ EH'FH>EF:BE+CF>EF/一图 2-31平行练习2-5法1尸如图232所示,延长。圈点N,铠MN=MO,连接BW飞、/. 2BMN 沿 4CMO/. BN=OC=ODd J/：OB=OA, BN/OC:.NNBO +ZCO5= 180°4 -

16、'：NBOC+ ZAODl800图 2-32（见下方“互补角基本型”的证明）：.NOBN=/AOD：.BONOAD:OM= J ON= AD: NBON Ma6n=90*, NBON=NOAD"OAD"AON=90c, ?ADOM专题二；中屡德失 一 二嘿4BFP 迫 4EDP 连接/产、AD :BF-DE=CD 9AB=AC 只需证明 N/A产=2/8即可 （证法如下）.从而得到为8/且/e后，即力/'fq, NE4B =NDAC，NE4B+ NB4D= NDAC+ NBAD =90°, AFLAD9 /I。尸为等腰直角三角形 :AP=PD, A

17、PLPD【运明/"尸二/4。0的方法，参照“专剧一：平行 线转移角”法如图239所示.延长8交2厂的延长线干点G :BG/DE：.NG =Z£DG=90° 在8GM和中 ，NABi；=NACD 法如困2-40所示，延长历I、DE交于点、N, : BF/DN 则/NBF=NN, 在4MV和DWCb, 乙3= NCQA/=90° ZA-ZJCD 二 /ABF=/ACD图2 44平行练习2-8如图245所示，延长力E至点尸, 廷长交于点G,连接EG丁点E是BC的中点:.BE=CE又 NAEB：/FEC：4AEB94FEC (SAS)，/A4E=N尸：.AB/G

18、E/. /3C+/6cg 80° /力 3c=18(r-；/8C0/. NBCG= 2 /BCD/. /BCG=NDCG使EF=RE.连接,并法2如图241所示，延长W到点上 连接E尸:.4ABP沿 4FEP卷接用，FD:EF AB二AC: DE=DC只需证明NDEF= /ACD可. 得到48gFEQ后， 阳产。=月Q, AFD1 AD 易运彳?PQ. APLPD【证明NDE户=2/6的方法, 线转移角”使 PF=P4.图 2-41参照“专题一：平行法如图2所示，以.=G.4EMN和丛CMD0、"DEF-NACD法如图242所示，延长A4、DE交于点N,则 NDEF = NN,在和DA/Cn, 4NAM=4CDM：.NN=NACD：.NDEF=NACD（2）方法与（I）类似，不赘逑，结论为APtPD（图243、图244）又；4£是/氏I。的平分线，N8MA»60° ，NBAE=NEAD =ZF=30°，4G=FG, GE1.AF /£GC=NQG-6(r 又丁 GCGC':AEGg4DGC (