备战中考数学专题复习初中数学旋转的综合题附详细答案

1、S取到最大值m =2+275(2)先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S= - 1 (m-8) 2+24,即可2得出结论；利用一线三直角判断出【详解】解：(1) :四边形OABC是矩形，DG= PF,进而求出点P的坐标，即可得出结论.AB"轴上，丁点 B (4, m),点D的横坐标为4 ,丁点D在反比仞函数y=蛆上，xD (4, 4),.BD=m - 4;(2) 如图1,二,矩形OABC的顶点B的坐标为(4, m),S 矩形 oabc= 4m ,由(1)知，D (4, 4),1Sa pbd= 2(m 4)(m - 4) = ( m - 4) 2,2备战中考数学专题复习初中

2、数学旋转的综合题附详细答案一、旋转1 .如图，矩形 OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点 C在y轴正半轴上，点 B的坐标为 (4, m) (5WmC，反比例函数 y= 16 (x>0)的图象交边 AB于点D.x(1)用m的代数式表示BD的长；(2)设点P在该函数图象上，且它的横坐标为m,连结PB, PD 记矩形OABC面积与4PBD面积之差为S,求当m为何值时，S取到最大值； 当点E恰好落在x轴上时，求m的值.【解析】【分析】(1)先确定出点D横坐标为4,代入反比例函数解析式中求出点D横坐标，即可得出结论；.S= S矩形oabc Sapbd= 4m - (m 4)22= (m-8) 2+

3、2.4, 2，抛物线的对称轴为m = 8,a< 0, 5< m用7 .m=7时，S取到最大值;如图2,过点P作PHx轴于F,过点D作DG, FP交FP的延长线于 G,/ DGP= / PFE 90 °, / DPG+Z PDG= 90 ；由旋转知，PD= PE, / DPE= 90°, / DPG+Z EPF= 90 °,/ PDG= / EPF,.,.PDGAEPF (AAS),.DG= PF,- ' DG= AF= m - 4,1 P ( m , m - 4),一点P在反比仞函数y=,x1. m ( m 4) = 16 ,. m = 2+2

4、 >/5或 m = 2 - 2 A/5 (舍)EC的；简【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的面积公式，全 等三角形的判定，构造出全等三角形是解本题的关键.2.如图所示， ABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BAC=/ DAE=90°,延长线交BD于点P.(1)把4ABC绕点A旋转到图1, BD, CE的关系是 (选填 相等”或不相等”)要说明理由；(2)若AB=3, AD=5,把4ABC绕点A旋转，当/EAC=90。时，在图2中作出旋转后的图 形，PD=,简要说明计算过程；(3)在(2)的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为

5、,最大值为.【答案】(1) BD, CE的关系是相等；(2) 5 ,34或20 扃；(3)1,71717【解析】分析：(1)依据4ABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BAC=/ DAE=90 ,即可 BA=CA /BAD=/ CAE, DA=EA 进而得至U AABDAACEL,可彳导出 BD=CR(2)分两种情况：依据 / PDA=/ AEC, /PCD=/ ACE,可得 PC2 ACE，即可得到PD=CD,进而得至 |J PD=9 扃；依据 /ABD=/ PBE, /BAD=/ BPE=90 ,可得AE CE17 BADsbpe,即可得至|J -PB- -BE-,进而得出 P

6、B=734 , PD=BD+PB=20V34 ；AB BD3417(3)以A为圆心，AC长为半径画圆，当 CE在。A下方与。A相切时，PD的值最小；当CE在在。A右上方与 0A相切时，PD的值最大.在 RtPED中，PD=DE?sin PED,因此锐 角/ PED的大小直接决定了 PD的大小.分两种情况进行讨论，即可得到旋转过程中线段 PD的最小值以及最大值.详解：(1) BD, CE的关系是相等.理由： ABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BAC=Z DAE=90 ,BA=CA, / BAD=Z CAE DA=EA.ABDAACE,BD=CE故答案为相等.(2)作出旋转后的图形

7、，若点C在AD上，如图2所示：ce=JaC2 AE2 底， / PDA=/ AEC, / PCD=/ ACE, .,.PCDAACE,PD CDAE CE，PD= 34 ；17若点B在AE上，如图2所示: / BAD=90 ； .RtABD 中，BD=7ad"AB2 734，BE=AE-AB=2, / ABD=Z PBE, / BAD=Z BPE=90 ,°.BAABP匕PBBEPB2，即二-1=，AB BD 3.346 解得 pb= V34,34PD=BD+PB=/34 + x/34 =20734 ,故答案为J34或，34 ; 1717PD(3)如图3所示，以A为圆心，A

8、C长为半径画圆，当 CE在。A下方与OA相切时, 的值最小；当CE在在。A右上方与。A相切时，PD的值最大.如图3所示，分两种情况讨论：在RtPED中，PD=DE?sin PER因此锐角 / PED的大小直接决定了 PD的大小. 当小三角形旋转到图中 4ACB的位置时,在 RtACE中，CE=J52 32 =4,在 rdae中，DE=V5r 5显，四边形ACPB是正方形，PC=AB=3, PE=3+4=7,在 RtA PDE 中，PD= TDePE2 J50 49 1，即旋转过程中线段 PD的最小值为1；当小三角形旋转到图中 AB'C'时，可得DP'为最大值，此时，DP

9、'=4+3=7,即旋转过程中线段 PD的最大值为7.故答案为1, 7.点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三 角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这 些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问 题.3.如图1,在锐角 4ABC中，/ABC=45°,高线AD、BE相交于点F.(1)判断BF与AC的数量关系并说明理由；(2)如图2,将4ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M, AM与BE相交于点N, 当DE/ AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由.【答案】(

10、1) BF=AQ理由见解析；(2) NEAC,理由见解析.2【解析】试题分析：(1)如图1,证明AADCABDF (AAS),可得BF=AQ(2)如图2,由折叠得：MD=DC,先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC由线段垂直平分线的性质得： AB=BQ 则/ABE=/ CBE,结合(1)得：BDFADM,则1/ DBF=Z MAD,最后证明 / ANE=Z NAE=45 ,° 彳导 AE=EN,所以 EN=- AC.2试题解析：(1) BF=AG理由是：如图 1,AD)± BC, BEX AC, ./ADB=/ AEF=90,° / ABC=45 ；.ABD是等

11、腰直角三角形，口 . AD=BD, / AFE=Z BFD, / DAC=Z EBG在 ADC和4BDF中，DAC DBFADC BDF, AD BD .ADCABDF (AAS), BF=AQ(2) NE=1AC,理由是： 2如图2,由折叠得： MD=DC,1. DE/AM, .AE=EC .BEXAC, .AB=BC,/ ABE=Z CBE, J由(1)得：AADCABDF, .ADCAADM,.,.BDFAADM,/ DBF=Z MAD , / DBA=Z BAD=45 ； / DBA- / DBF=Z BAD- / MAD, 即 / ABE=Z - BANI, / ANE=Z ABE+

12、Z BAN=2/ ABE,/ NAE=2/ NAD=2/ CBE/ ANE=Z NAE=45 ； .AE=ENI,1.EN=-AC.24. (10分)已知 ABC和 ADE是等腰直角三角形，/ACB=/ADE=90°,点F为BE中点，连结DF、CF.BDDE（1）如图1,当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段 位置关系（不用证明）；（2）如图2,在（1）的条件下将4ADE绕点A顺时针旋转45。时, 的结论是否仍然成立，并证明你的判断；DF、CF的数量关系和请你判断此时（1）中若 AD=1, AC入 2 , 求"可知DF=BR根据（3）如图3,在（1）的条件下将4A

13、DE绕点A顺时针旋转90°时, 此时线段CF的长（直接写出结果）.【答案】（1）相等和垂直；（2）成立，理由见试题解析；（3）【解析】试题分析：（1）根据 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半/ DFE=2/ DCE / BFE=2Z BCF,得至U / EFD叱 EFB=2Z DCB=90 ,° DF± BF； (2)延长DF交BC于点G,先证明ADE阵GCF,得至ij DE=CG DF=FG根据AD=DE,AB=BG 得到 BD=BG又因为 Z ABC=90°,所以 DF=CF且 DF± BF;(3)延长 DF交BA于点H,先证明ADEFA

14、HBF,得到DE=BH, DF=FH,根据旋转条件可 以4ADH为直角三角形，由 4ABC和4ADE是等腰直角三角形， acFW, 可以求出AB的 值，进而可以根据勾月定理可以求出 DH,再求出DF,由DF=BF，求出得CF的值.11 II试题解析：(1)ZACB=Z ADE=90 ,点 F 为 BE 中点,z. DF= BE, CF= BE. . . DF=CF ABC和 ADE是等腰直角三角形，. / ABC=45 . BF=DF,/ DBF=Z BDF. / DFE=Z ABE+Z BDF,/ DFE=2Z DBF.同理得：/CFE=2ZCBF, / EFD+Z EFC=2Z DBF+2

15、/ CBF=2Z ABC=90 . ° .DF=CR 且 DF± CF.(2) (1)中的结论仍然成立.证明如下：如图，此时点 D落在AC上，延长 DF交BC于点G. / ADE=Z ACB=90DE/ BC,/ DEF=Z GBF, / EDF=Z BGF. . F 为 BE 中点，EF=BF . . DEF GBF. . . DE=GR DF=GF .AD=DE, .1. AD=GB. AC=BC,AC-AD="BC-GB."，DC=GC / ACB=90 ,° DCG是等腰直角三角形 . DF=GR DF=CF DF± CF.&

16、#163;(3)如图，延长DF交BA于点H, ABC和 ADE是等腰直角三角形,AC=BC AD=DE/ AED=Z ABC=45 . ° 由旋转可以得出，/ CAE1 BAD=90 ； AE/ BC, ，/AEB=/ CBE./ DEF玄 HBF. .F 是 BE 的中点，EF="BF."ADEFAHBF. .1. ED=HB. 7 ,7 ACh,，在RtABC中，由勾股定理，得 AB=4. . AD=1,ED=BH=1. . AH=3.在RtHAD中，由勾股定理，得 DH=J10 , *v.DF= , CF= 7 .线段CF的长为3.勾股定理.ABD.探究下列

17、问题：且/ACB=60,贝U CD=考点：1.等腰直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质;5.已知：在 ABC中，BC=a, AC=b,以AB为边作等边三角形 (1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3,(2)如图2,当点D与点C位于直线 AB的同侧时，a=b=6,且/ ACB=90 ,则CD=_ ;(3)如图3,当/ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应 的/ ACB的度数.BOD图1【答案】(1)【解析】【分析】(1) a=b=3,且/ACB=60此即可求解；(2) a=b=6,且/ACB=90区 (3)当/ ACB=120时，CD有最大

18、值是a+b.,AABC是等边三角形，且 CD是等边三角形的高线的 2倍，据,AABC是等腰直角三角形，且 CD是边长是6的等边三角形的高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差；(3)以点D为中心，将4DBC逆时针旋转60°,则点B落在点A,点C落在点E.连接AE, CE,当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b 【详解】(1) ,. a=b=3,且 /ACB=60,.ABC是等边三角形，3寸S .OC=7 .CD=3X;(2) 3(3)以点D为中心，将4DBC逆时针旋转60°,CE.CD=ED, / CDE=60 ,° AE=CB=a.CDE为等

19、边三角形， .CE=CD当点E A C不在一条直线上时，有 CD=C氏 AE+AC=a+t当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b只有当 /ACB=120 时，/CAE=180,即A、C、E在一条直线上，此时 AE最大ACB=120,°因此当/ACB=120时，CD有最大值是a+b.本题主要考查了等边三角形的性质，以及轴对称的性质，正确理解CD有最大值的条件,是解题的关键.6.如图，4ABC是等边三角形，AB=6cm, D为边AB中点.动点 P、Q在边AB上同时从 点D出发，点P沿 AA以1cm/s的速度向终点 A运动.点Q沿 ABfD以2cm/s的速度 运动，

20、回到点D停止.以PQ为边在AB上方作等边三角形 PQNI,将4PQN绕QN的中点旋 转180°得到4MNQ.设四边形PQMN与4ABC重叠部分图形的面积为 S (cm2),点P运 动的时间为t (s) (0vtv3).(1)当点N落在边BC上时，求t的值.(2)当点N到点A、B的距离相等时，求t的值.(3)当点Q沿D-B运动时，求S与t之间的函数表达式.(4)设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是 E、F,直接写出四边形 PEMF 与四边形PQMN的面积比为2： 3时t的值.15t=1或【解析】试题分析：(1)由题意知：当点 N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3

21、；(2)当点N到点A、B的距离相等时，点 N在边AB的中线上，此时 PD=DQ33 3(3)当0D驯；四边形 PQMN与4ABC重叠部分图形为四边形 PQMN;当5wt以寸，四边形PQMN与4ABC重叠部分图形为五边形 PQFEN3112(4) MN、MQ与边BC的有交点时，此时5<t<6 ,列出四边形 PEMF与四边形PQMN的 面积表达式后，即可求出 t的值.试题解析：(1)4PQN与4ABC都是等边三角形，当点N落在边BC上时，点Q与点B重合.DQ=3 .-2t=3 .3 -t='；(2)二当点N到点A、B的距离相等时，点 N在边AB的中线上,PD=DQ,!当0vt&

22、lt;2时,此时，PD=t, DQ=2t .t=2t -t=0 (不合题意，舍去)，3当3时，此时，PD=t, DQ=6 - 2t t=6 - 2t,解得t=2;综上所述，当点 N到点A、B的距离相等时，t=2；(3)由题意知：此时， PD=t, DQ=2t当点M在BC边上时， .MN=BQPQ=MN=3t, BQ=3- 2t.-3t=3 -2t3，解得t="3如图，当0wt如,Sa pnq= PQ2= * t2;. . $=$菱形 pqmn=2Sapnq= - t2,如图，当5wt肆寸，设MN、MQ与边BC的交点分别是 E、F, MN=PQ=3t, NE=BQ=3 2t, .ME=

23、MN - NE=PQ- BQ=5t- 3,EMF是等边三角形，/.Saemf= 4 ME2= 4 (5t-3)5t-3)在 REF =(4) MN、3此时t VMQ与边BC的交点分别是E、F,12t=1或考点：几何变换综合题15ED Q B图T7.在4AOB中，C, D分别是OAOB边上的点，将 OCD绕点。顺时针旋转到 AOC D'(1)如图1,若/AOB=90, OA=OB, C, D分别为 OA, OB的中点，证明： AC =BD;ACBD'；(2)如图2,若4AOB为任意三角形且/AOB=),CD/AB,AC与BD交于点E,猜想 /AEB=谩否成立？请说明理由.【答案】

24、(1)证明见解析；(2)成立，理由见解析【解析】试题分析：(1)由旋转的性质得出 OC=O'C, OD=OD, /AOC±BOD,证出OC =OD由SAS证明AOC0BOD,得出对应边相等即可；由全等三角形的性质得出 /OAC JOBD,又由对顶角相等和三角形内角和定理得出 /BEA=90即可得出结论；(2)由旋转的性质得出 OC=O'C, OD=OD, /AOC 士 BOD,由平行线得出比例式,得出=曳，证明AOCs BOD,得出/ OAC 士 OBD再由对顶角相OAm 03等和三角形内角和定理即可得出/ AEB=).试题解析：(1)证明：.一OCD旋转至ij OC

25、 口.OC=OC； OD=OD； /AOCNBOD； . OA=OB, C、D 为 OA、OB 的中点， .OC=OD, .OC' =Q D'；OA-OB=士 bod'在 AAOC和 ABOD 中，OC '°D, .AOC 经BOD' (SAS , .AC' =B D'延长AC'交BD'于E,交BO于F,如图1所示： .AOC 经BOD', / OAC' / OBD；又 / AFO=Z BFE, / OAC 廿 AFO=90 , / OBD' / BFE=90 ,°/ BEA=9

26、0 ,° ACLBD'(2)解：/AEB7成立，理由如下：如图 2所示：. OCD旋转到 OC' ,D'.OC=OC； OD=OD； /AOCNBOD；1. CD/ AB,OC _OD石一懑，.0Cf _0D' OAOB '.OC' _ OA而一三'又 / AOC ± BOD, .,.AOCABOD； / OAC' /OBD；又 / AFO=Z BFE,/ AEB=Z AOB= 6考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质.8.思维启迪：（1）如图1, A, B两点分别位于一个池塘的两端，

27、小亮想用绳子测量A, B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C,连接BC,取BC的中点P （点P可以直接到达 A点），利用工具过点 C作CD/ AB交AP的延长线于点D,此时测得CD= 200米，那么A, B间的距离是图】思维探索：（2）在 4ABC和 4ADE 中，AC= BC, AE= DE,且 AEv AC, Z ACB= Z AED= 90°,将AADE绕点A顺时针方向旋转，把点 E在AC边上时 ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为 “连接BD,点P是线段BD的中点， 连接PC, PE.如图2,当4

28、ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是 如图3,当“=90。时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并 证明你的结论； 当150 °时，若BC= 3, DE= l,请直接写出 PC2的值.【答案】（1） 200; （2）PC = PE, PCX PE;PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC= PE, PC，PE,见解析； PC2= 10 3百.2【解析】【分析】(1)由 CD/ AB,可得 /C=/B,根据 / APB=/DPC即可证明ABPDCP,即可得 AB = CD,即可解题.(2) 延长EP交BC于F,易证4FB国4EDP ( S

29、A。可得 EFC是等腰直角三角形，即 可证明 PC= PE, PCX PE. 作BF/ DE,交EP延长线于点 F,连接 CE CF,易证 FB国 EDP ( SA9 ,结合已知 得BF= DE= AE,再证明FBeEAC (SA。，可得 EFC是等腰直角三角形，即可证明 PC= PE, PCX PE. 作BF/ DE,交EP延长线于点F,连接CE CF,过E点作EHI± AC交CA延长线于H 点，由旋转旋转可知，ZCAE= 150°, DE与BC所成夹角的锐角为 30°,得/ FBC= / EAC,同可证可得PC= PE, PCX PE,再由已知解三角形得. E

30、G=CH2+HE2= 10 3J3 ,即可求出 PC2 1 EC2 3322【详解】(1)解：CD/ AB,Z C= Z B,在ABP和ADCP中，BP CPAPB DPC ,B C.ABPADCP (SA?, .DC=AB. AB=200 米.CD=200 米，故答案为：200 .(2)PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC= PE, PCX PE.理由如下：如解图 1,延长EP交BC于F,同(1)理，可知AFBPAEDP (SA§ ,.PF= PE, BF= DE,X / AC= BC, AE=DE,FC= EC,又 Z ACB= 90°,.EFC是等腰直角三角形，

31、EP= FP,PC= PE, PCX PE.PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC= PE, PCX PE.理由如下：如解图 2,作BF/ DE,交EP延长线于点 F,连接CE CF,同 理，可知 AFBPAEDP (SA§ ,1BF= DE, PE= PF= EF , 21 .DE=AE,.BF=AE,2 .当 a= 90 时，Z EAC= 90 ；3 .ED/ AC, EA/ BC1. FB/ AC, /FBC= 90,/ CBF= / CAE在FBC和EAC中，BF AECBE CAE ,BC AC.,.FBCAEAC (SAS ,.CF= CE, /FCB=/ECA / A

32、CB= 90 ；/ FCE= 90 °,.FCE是等腰直角三角形， EP= FP,1.-.CP± EP, CP= EP= EF .2如解图3,作BF/ DE,交EP延长线于点F,连接CE CF,过E点作EHL AC交CA延长线于H点，当“=150°时，由旋转旋转可知，ZCAE= 150°, DE与BC所成夹角的锐角为 30°,/ FBC= / EAC= a= 150 °同可得4FB国 AEDP (SAS),同4FCE是等腰直角三角形，CP± EP, CP= EP= Y2cE ,2在 RtAHE 中，Z EAH= 30

33、6;, AE= DE= 1,.,HE= 1, AH=旦,又 AC= AB=3,.CH=3+3 ,-.EC2 = CH2+hE2= 10 373，PC2=1ec232【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定理和 30。直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决 问题，属于压轴题.9.如图，在RtABC中，/ACB=90： /A=30：点。为AB中点，点P为直线BC上的动 点(不与点B、点C重合)，连接 OG OP,将线段OP绕点P顺时针旋转60°,得到线段 PQ,连接BQ.(1)如图1,当点P在线段BC上时，请直

34、接写出线段 BQ与CP的数量关系.(2)如图2,当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若 不成立，请说明理由；(3)如图3,当点P在BC延长线上时，若ZBPO=15°, BP=4,请求出BQ的长.【答案】(1) BQ=CP; (2)成立：PC=BQ； (3) 473 4 .【解析】试题分析：(1)结论：BQ=CP.如图1中，作PHI/ AB交CO于H,可得4PCH是等边三角 形，只要证明 POHQPB即可；(2)成立：PC=BQ.作PH/AB交CO的延长线于 H.证明方法类似(1);(3)如图3中，作CELOP于E,在PE上取一点F,使得FP=FG连接CF

35、.设CE=CO=a,则FC=FP=2a, EF= J3a,在RtPCE中，表示出PC,根据PC+CB=4,可得方程(而扬a J2a 4 ,求出a即可解决问题；试题解析：解：(1)结论：BQ=CP.理由：如图1中，作PH/ AB交CO于H.在 RtABC 中，/ACB=90°, / A=30°,点。为 AB 中点，. . CO=AO=BO, Z CBO=60° , CBO是等边三角形，/ CHP=Z COB=60 ； / CPH=ZCBO=60 :，/ CHP=Z CPH=60 : CPH是等边三角形,PC=PH=CH,OH=PB, / OPB=Z OPQ+ZQPB

36、=Z OCBZ COP ZOPQ=Z OCP=60 ； . / POH=Z QPB,. PO=PQ,APOHAQPB, . PH=QB,，PC=BQ.(2)成立：PC=BQ.理由：作 PH/ AB交CO的延长线于 H.在 RtABC 中，Z ACB=90°, / A=30°,点 O 为 AB 中点，. . CO=AO=BO, Z CBO=60° , CBO是等边三角形，/ CHP=Z COB=60 ； / CPH=ZCBO=60 ；. / CHP=Z CPH=60 ； .CPH是等边三角形， ，PC=PH=CH,OH=PB, / Z POH=60 +Z CPO,/

37、QPO=60+/CPQZ POH=Z QPB, / PO=PQ, POHAQPB, . PH=QB,.PC=BQ.(3)如图3中，作CEL OP于E,在PE上取一点F,使得FP=FC,连接CF. / OPC=15 ； / OCB=Z OCR/ POQ FC=FP=2a, EF=73 a,在 RtPCE中， = (76 J2)a, PGCB=4, .(店/ POC=45 ；CE=EO,设 CE=CO=a,则PC= . PE2 CE2 = .1(2a . 3a)2 a2历a 石a 4,解得a=4j2 2疾, PC=4s/3 4,由(2)可知 BQ=PC, . . BQ=4V3 4 .点睛：此题考查

38、几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定 和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全 等三角形解决问题，属于中考压轴题.10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 A的坐标为（5, 0）,菱形OABC的4顶点B, C在第一象限，tan/AOC、，将菱形绕点 A按顺时针方向旋转角 ”（0。云AOC）得到菱形FADE（,岚O的对应点为点F） , EF与OC交于点G,连结AG.（1）求点B的坐标;(2)当OG=4时，求AG的长；(3)求证：GA平分/OG号(4)连结BD并延长交X轴于点P,当点P的坐标为(12, 0)时，求点G的坐标.

39、【答案】(8,4);(2)斤；(3)(,).7 7【解析】试题分析：(1)如图1,过点B作BHI± x轴于点H,由已知可得/BAH=/COA在RtABH中，tan/BAH=tan/AOc , AB=5,可求得 BH=4, AH=3,所以OH=8,即可得点 B的坐标为 54(8,4) ; ( 2)如图 1,过点 A 作 AMLOC 于点 M,在 RtA AOM 中，tan/AOC , OA=5,3可求得AM=4, OA=3,所以GM=1,再由勾股定理即可求得 AG=/F ； (3)如图1,过点A 作ANLEF轴于点N,易证AOMAFN,根据全等三角形的性质可得 AM=AN,再由角平分线

40、 的判定可得 GA平分/OGR (4)如图2,过点G作GQ± x轴于点Q,先证 GOAs BAP2015根据相似三角形的性质求得GQ=，再由锐角三角函数求得 OQ=,即可得点G的坐标77试题解析：(1)如图1,过点B作BHx轴于点H,四边形 OABC为菱形，OC/ AB,/ BAH=Z COA.4. tanZ AOC=V ,34tan / BAH= .3又在直角 BAH中，AB=5,43.BH=3-AB=4, AH= _ AB=3, .OH=OA+AH=5+3=8,点B的坐标为(8, 4);(2)如图1,过点A作AMOC于点M,4在直角 AOM 中，/tanZAOC , OA=5,3

41、43.AM= -OA=4, OM=-OA=3,.OG=4, .GM=OG-OM=4-3=1 , AG=+1* 二 J17 ;(3)如图1,过点A作ANLEF于点N, 在AOM 与 AAFN 中，Z AOM = Z F,O FA.Z AMO = Z ANF= 90 , AAOMAAFN (ASA),.AM=AN,-.AB=AD,ISO0 -仪Z ABP= v Z AOT=Z F, Z OTA之 GTF,1SO: -a：.Z OGA=Z EGA=1,7Z OGA=ABR 又 Z GOA=Z BAP, .GOAABAP,GQ _ OA丽一万520GQ= X 4=i-.4 tan Z AOC=t ,3

42、20 3 15.OQ=-x-=-515 20（第26迤囹2）考点：三角形、四边形、锐角三角函数的综合题11.已知O为直线MN上一点，OP，MN,在等腰RtABO中，BAO 90 , AC/ OP交OM于C, D为OB的中点，DEL DC交MN于E.如图1,若点B在OP上，则 AJ OE填 = "或” ；） 线段CA、CO CD满 足的等量关系式是;（2）将图1中的等腰RtABO绕O点顺时针旋转 （045 ）,如图2,那么（1）中的结论是否成立？请说明理由；将图1中的等腰RtABO绕O点顺时针旋转 （），请你在图3中画出图形，并直接写出 线段CA、CO、CD满足的等量关系式 ;【答案】

43、（1）二；AC Z+CCCD2； （2） （1）中的结论 不成立，理由见解析；（3）画图见解析；OC-CA=J2CD.【解析】试题分析：（1）如图1,证明AC=OC和OC=OE可得结论； 根据勾股定理可得： AC2+CO2=CD2； （2）如图2, （ 1）中的结论不成立，作辅助线，构建全等三角形，证明 A、D、O、C四点共圆，得 /ACD=/ AOB,同理得：/ EFO=/ EDO,再证明 ACOAEOF7,彳# OE=AC AO=EF,根据勾股定理得： AC2+OC?=FO2+OE2=EF2,由直角三角形中最长边为斜边可得结论；（ 3）如图3,连接AD,则AD=OD证明AC*OED,根 据

44、4CDE是等腰直角三角形，得 C彦=2CD2,等量代换可得结论（OC- OE） 2= （ OC- AC）2=2CD2,开方后是：OC- ac=A cd.试题解析：（1）AC=OE,理由：如图 1,二.在等腰 RtABO 中，/BAO=90,./ABO=/ AOB=45 ,-. OP± MN ,/ COP=90 ,°/ AOC=45 ；1. AC/ OP,/CAO=/ AOB=45 ； /ACO=/ POE=90 . AC=OC连接AD, .BD=OD, .1. AD=OD, AD）± OB, .AD）/ OC,，四边形 ADOC 是正方形，. / DCO=45 ；

45、.AC=OD, / DEO=45CD=DgOC=OE .AC=OE;在RtCDO中， . CD2=OC?+OD2, CD2=AC?+OC2;故答案为AC2+CC2=CC2；(2)如图2, ( 1)中的结论不成立，理由是：连接AD,延长CD交OP于F,连接EF,.AB=AO, D 为 OB 的中点,/.ADI OB, . / ADO=90 ； / CDE=90 ,°/ ADO=Z CDE, ，/ ADO / CDO=Z CDE- / CDO,即 / ADC=Z EDO, Z ADO=Z ACO=90 ,° . . / ADO+/ACO=180. A、D、O、C 四点共圆，/

46、ACD=Z AOB,同理得：/ EFO之 EDO, / EFO1 AOC, ABO是等腰直角三角形，/ AOB=45 ；/ DCO=45 COF和4CDE是等腰直角三角形，.OC=OF, / ACO=Z EOF=90 , °AACO EOR. OE=AQ AO=EF,.ACOMFd+OEEF2,RtA DEF 中，EF> DE=DCAC2+OC2>DC2,所以(1)中的结论不成立；(3)如图 3,结论：OC- CA=/2 CD,理由是：连接 AD,则AD=OD,同理：/ADC=/ EDO, / CAB+Z CAO=Z CAO+Z AOC=90/ CAB=Z AOC, /

47、DAB=Z AOD=45 ；. / DAB- / CAB=Z AOD- / AOC,即 /DAC=/DOE,AACDAOED, . AC=O耳 CD=DE ，4CDE是等腰直角三角形， .CE2=2CC2，(OC- OE) 2= (OC- AC) 2=2CE2,，OC- AC=/1 CD,故答案为OC- AC=CD.图？考点：几何变换的综合题(3)拓展12. (1)发现如图，点A为线段BC外一动点，且 BC a, AB b.填空：当点 A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a , b的式子表示)(2)应用AC为边，作等点A为线段BC外一动点，且 BC 3, AB 1.如图所示，分

48、别以 AB , 边三角形ABD和等边三角形 ACE ,连接CD , BE .找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 2, 0，点B的坐标为 5, 0，点P为线段AB外一动点，且 PA 2 , PM PB , BPM 90 ,求线段AM长的最大值及此时 点P的坐标.【答案】(1) CB的延长线上，a+b; (2)DC=BE,理由见解析；BE的最大值是4;(3) AM的最大值是3+2 J2,点P的坐标为(2-J2, J2)【解析】【分析】(1)根据点A位于CB的延长线上时，线段 AC的长取得最大值，即可得到结论；(2)根据等边三角形

49、的性质得到 AD=AB, AC=AE，/ BAD=/ CAE=60 ,推出 CADEAB,根据全等三角形的性质得到CD=BE由于线段BE长的最大值二线段CD的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果；(3)连接BM,将4APM绕着点P顺时针旋转90°得至iJPBN,连接AN,得到4APN是等 腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2, BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2 J2+3；如图2,过P作PE±x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.【详解】解：(1) .点A为线段BC外一动点，且BC=a, AB=b,当

50、点A位于CB的延长线上时，线段 AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+h故答案为CB的延长线上，a+b；(2)CD=BE,理由： 4ABD与4ACE是等边三角形， .AD=AB, AC=AE /BAD=/ CAE=60 , °Z BAD+Z BAC=Z CAE+Z BAC,即 / CAD=Z EAB,在ACAD与 EAB中，AD=ABCAD= EAB AC=AE ACADIA EAB, .CD=B二线段BE长的最大值=线段CD的最大值，由(1)知，当线段 CD的长取得最大值时，点 D在CB的延长线上，最大值为 BD+BC=AB+BC=4(3)二.将APM绕着点P顺时针旋转90

51、。得至IJPBN,连接AN, 则 APN是等腰直角三角形，PN=PA=2, BN=AM,.A的坐标为(2, 0),点B的坐标为(5, 0),.OA=2, OB=5,.AB=3, 线段AM长的最大值二线段BN长的最大值， 当N在线段BA的延长线时，线段 BN取得最大值, 最大值=AB+AN, . AN= . 2 AP=2 万， 二最大值为2 J2+3；如图2,过P作P已x轴于E,'4V APN是等腰直角三角形，PE=AE=、2， . OE=BO-AB-AE=5-3、2 =2-、2 ， P (2-、.2 ,2).【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的

52、性质.正 确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.13.如图，已知 RtABC中，Z ACB=90 °, AC=BC, D是线段AB上的一点(不与 A、B重 合).过点B作BEX CD,垂足为E.将线段CE绕点C顺时针旋转90 ,得到线段 CF,连 结EF.设/ BCE度数为 .(1)补全图形；试用含 的代数式表示/ CDA.2)【解析】试题分析：(1)按要求作图即可； 由/ACB=90°, AC=BC得/ ABC=45°,故可得出结论;(2)若空立，求的大小.AB 230 ; (3)(2)易证FCE s ACB ,得 CFAC；连结FA,2得 AFC是直角三角形，求出/ ACF=30 , (3) AB2从而得出结论；2CF2 2BE2.试题解析：(1)补全图形. /ACB=90°, AC=BC/ ABC=45 /