勾股定理的十六种的证明方法

1、v1.0可编辑可修改勾股定理的十六种的证明方法证法11 （课本的讦明】16做8个全等的直角三是形，设它们的两条直角边长分别为色、L.羿边长为叫 再儆 三个边长分别为品b.的正方形，把它们像上图那悌拼成两个正方形.乂图上可以看到，这两个正方形的边长都是8-b,所以面积相军如工， J 1 T 2 X 1,cr -5一-4X一白匕=占+4乂一 日占整理得十二工心1证法2（邹元治证胡）以8b为直角边，以。为斜边做四个全等的直用三角形j则每个直角三角形的面积 1 .等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使限& E二点在一条直线上，B,人 C三点在一条宜统上，C、G、D三点在一条直线上.: R

2、tiHAE 色 Rt 三EF.:、ZAHE = ZBEF,二ZAzH - ZAHE - 9CT,，ZA£H - 咛=90°.二 ZHEF = 180°90二 四边形日网是一个边长为心的 正方形.它的面积等于c'/ RtAGDH 丝 Rt&HAE,，ZHGD 二 ZEHA.,: ZHGD + ZGHD = 90%，ZE HA + ZGIID = 900.又 ZGHE = 9），二 ZDHA = 90、90"= 180、二ABCD是一个边长为0 b的正方形，它的面积等于伍+厂.（。+为r=4复工+，a .、2. 二 d- + b- =e【证法

3、3（赵爽证明）以右b为直角边（bG,以C为斜 边作四人全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2 ,把这四个直角三 角形拼成如图所示形状.,: RtADAH 经 Rt A ABE, ZHDA = ZEAB.丫 ZHAD + ZHAD = 9伊，/- ZEAB - ZHAD = 903BCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于J'J EF = FG =GH -HE = b-a , ZHEF = 9T.A EFGH是一个边长为b-a的正方形，它的面积等于（心才. .4 x i +（S a）; =c.2k_曰占+ _t I *-备:.£r? + b? _ t'I证法6】

4、C项明达证明）做两个全等能后角三角形,设它仁的两条豆角边长分即为* b C9G ,斜边长为 c.再做一个边长为它的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、k C三点在一条亶/t.过点Q作QP/BC,交AC于点P. 过点B作EM_PQ,垂足为山 再过点 F作FX_LPQ.垂足为-丁 ZBCA = 90°, QP/BC,，ZMPC = 900 .'/ BM_LPQ.，NEMP = 90%工BCPM是一个矩形,即NMBC = !:ZQRd - ZMBA : ZQBA 二 9CTZAHC 十 ZMBA = Z1BC = 9(f .二 ZQS51 =上ABC,又 V ZBMP = 9

5、00 . Z5CA = 9(T, BQ = BA = c,同理可近？七小。0 里Rz A AEF.从而将问题转比为K证法4】1梅文鼎证明）证法8】利用相似三角形性展证明）如果.在R13 aBe中，设直角边AC、BC的长度分别为心氏耕边1B的长为"过 点C作CD_LAB,垂足是比在LBC和ACB ; WWtaWWWVWsf /C = /ACB - 90° ./CAD = ZBAC, :. A ADC s A AGE.AD ： AC = AC : AB, 即 3=用 皿同理可证，2C骑5含其B一从用有 心-加皿 十_SC:;QfcD+D3Ax3 = 4? gp +b'

6、= c"【证法5】（悔文鼎证明）制四个全等的食角二角花，设它们的两条直角边长分号J为* b，算拉长为u杷它 们拼成如图那样的一个多边吊，使D、E、F在一条宜战上.过C作AC的延长线交DF于 点巴、:D、E、F在一襄直线匕 且RtSGEF工R"EBD,二 ZEGF - ZBED,/ ZEGF + ZGEF = 90* . ZBED + ZGEF = 9（T ,/. ZB EG =130e-900- 90°, 又; AB = BE = EG = GA =匕.:.AEEG是一个边长为e的正方形.二 ZABC 十 ZCBE 二 90、Rt AABC 至 RtAEBa二 Z

7、ABC = ZEBD.二 ZEBD * ZCBE - 90L即 ZCBJ> 900.又：ZBDE = 9<T, ZBCP - 9CTfBC - ED - a- 工BDPC是一个边长为a的正方形.同舟 出区京一y 为b的1卜方粕一设如二形二的新书为.则* 4- if" = S 2k ah. L J = 3 上 xab【证法7】（欧几里得证明）做三个功长分即为不b. c的正方形，把它们拼成如黑斫示形状,使上 3 B三.点 在一条直线上连结 BA CD.过 C 作 CLLDE, 交AB于点M,交DE于点 L.; AF = AC, AB e AD. /FAB = EGAD,* ,

8、二£矮vA.CtAP1i ji A FAB的面积等于2 ， 3GAD的回和至于矩形AD1A1 的面枳的一半，二短彩ADLM的面积二11同理可证，矩形时用的面积=/.0 L'/正方形AtJEB的面积=起瘠用工号的面枳-矩形MLEH的面积工八#一萨j即 /十标*）|【证法9】(另作玫证明)做两个全等的直角三角形-设它们的两条直角边长分别为3b (b>a器延长为匚 再做一个边长为己的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF_LK,好交GT 于F.心交的于R.过B作RPLMF,垂足为P.过D作DE与邙的延长钱手直，垂足为 E, DE 交 AF 于 H.丁 ZBAD = 4

9、产，ZPAC - 9伊，:' ZDAH = /BAC.* 1 /DIIA =: BCA = 9(T1AD = AB = ci.".RC DHA 经 Re 3 BCA.工 nn = BC = a, AH = AC = b. 由作法可知，PBCA是一个矩形， 所以 Et A3PB T R-HS 即 PE 二 CA = bi AP= d 从而PH = b-a- 丁 RiADGT / Ri i BCA .一 KMuUMWAAMZAM千E口 DHA Kt ipCA.二 RzA.DGT % RtL3DK3 -二 DHDG = aT2b而=，HM . 又二 ZDGT = 9(7, ZDHF

10、 = 9，二DGFH是一个边长为a的止万形.： GF 二 FH = a . TF-LAF, TF = GTGF = b-a .'.TFPB是一个直角梯形，上底TF=ba,下底BP- b,高FfF十(b-a) 用数字表示面虫的编号(如图)，则以已为边长的正方形的面积为=S +5? - S三 + 枭 + Sj易十 Sji + S4 & + （61 + （b 曰） 及一一0b2- -i.与+油一羽=把笆代人，得C = S 4" Sq + b' S、备 + 品 + Sg二 6、&+% 二犷+/.* 口'+/=/r证法io（李饺证明）女直龟三角形两直角为

11、的长分史为耍过的长为。做三个过长分别为m, ，c的正方形，把它们拼成如橙所示形状；变A、E、G三点在一条直线上.用数字表示 面积的辗号C如偿）. ZTBE = ZABH = 90°,.' NT图=/AB&又；ZBTH = /B图=900 .BI - BE - b；，RtAHBT 空 Rt aaBL:.HT = AE 二心，GH - GT-HT 二 b f又 ZGHF + ZBHT = 90°，/DEC i ZBHT = jTBU + :.Z&HF = ZDBC.丫 DB - EB-ED = b-$ZHGF -/BDC - 90:* RCHGF 9 R

12、i ABDC.即 5.二”9(T,可知 ZAHE过。作QM_LAG,垂足是比 由/BAQ= /BEA =ZQAM,而超=AQ = c,所以 Rt”BE g 强，又 RCHBT qR;.'4E三 卬土.TEi三於：上QAM . M .、：Kt-UBE 9 Rt a QAM 又得 QM - AE - a. /AQY - aBAE.ZHGF = ZBDC = 90°,/. RtAHGF , Rt ABDC,即 &=%过Q作典一AG 垂足是比 由/BAQ = ZBEA = 9T ,可知 ZABE=NQAM,而AB二的二a所以全盘逐注"源又联以皿空Rt AASE.所以

13、 RtaHBT 刍 Rt AQAM .MMWWWWVWWWWk f f. ='.h厂ir.WWUUWWhMVW*由 RtAABE 22 RQQAM,又写 QM1 ZAQM - ZFQM = 90°, ZBAE :* ZFQM = ZCA1L又丁 ZQMF = ZARC = 90% QM =即又先=AE = a, ZAQM十 /CAR = 90, ZAQ1I=. EWAR = a.:.Rt A QMF Rt A ARC.即品=鼠又二二。a* = c*【证踪1"（利用切割线定理证明）在）”国中.设直角边BC=a, A匚=上斜边46 =以 如图，以B为网心a为半 径作现

14、交期安皿的延长线分别于D、E,则BD匚BE=BC ：工 因为/BCA = 9此 点C在9B上，斫以AC是0B的切线.由切割线定理，得【证法12】（利用零列米定理证明）在R11AM中，设直角边K = * AC = b,斜边犯（,如图J 一过点4作AD/CB. 过点B作即"CM则A0D为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圜内接 臼边形对角线的乘积等于两对乃乘秩之和，有,七3 力。二/口,段0+ 一£孔0,【证法13（作直角三角形的内切圆证明在RtqABC中，设直角边B匚- 5 AC - b，斜边AB = c.住址白AEC的内切国00. vi'rfjJssr

15、vi'» rVw.“占=45皿，I 11 A If A 、一 s -s +s +s十彳口广十彳6广耳g+6+G产 m43m T Q - JJU49C =2 二 2= 2-i (2r + c +c)rr=2= L 4-zt,二 4一4一)=;4$3,iTr-irMVHfc'lvvrtrt'vv'wwAiVwivu,?i-hirr,fc切点分别为D” E、. F （如图1,设©0的半径为。二 AE = AFi EF = BD, CD = CE,二 AC-BC-AB =(AE + CE + iSD +CD)-(AF + KF I-CE + CDr

16、+ e = 2r,【证法14（利用反征法证明）如图，在咫7BC中，设直尾边AC、BC的长度分别为或b,斜过时长为d过 点CfECOL'B,叠足是以假设/M'J,即假设一心-肥*,环则由AS- =m*AH-1= Ar?*w+ .必劭可知韩四.即如，ACAC* AB,或者 BDe BCBCr AB.在 3/UK,和 3 ACB 中.*.'/A = ZA,二 若 Dt ACtACi AB,则 ZADCZACB.在3匚巧和"CB中， knuU-aAiu-u-AAsAJMAa-nA-nA?- 1'.* ZB = ZBf，若 RD± BC'BC,

17、 A3,则 ZCDR=ZArB.又,/ ZACB = 9T,；* 看ADC#9O"” ZCDB90这与作法OD-AB矛盾.所以，c'mcWwI的假设不能成立11+从=/【证法16（辛卜松证明】设直角三尺形两直角边的长分别为默比新边的长为m作边长是a地的正方形AKD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分,则正方形ABCD的面积为 （以"）=4.4二'把正方形3BCD划分成上方右图所示的几个部分，刖正方形ABCD的五枳为二 £16 4 £ .-【证法16（除本证明）设直垄二角形两直舄边的长分别为小、b （b>a）,斜边的长为r

18、.做两个边长分先为曰、5的正方形（b： a把它们拼成知场所示形状； 示面积的编号（如图）,在EH二b上截取ED二心逑筠 物、DC,则 AD = c,； EMEH - HM = b + a 1 ED =“, DM = EM-ED =彷一 3 二氏 A使E、1 M三点在一条宣线上用兔字式BZC«D = 90", CM =ZAED - 90> t AE - b , RCAED ” Rt ADMC. fZE.AD = /MDG DC = AD = c. E ZADE + ZADC+ ZMDC =180" tbHZADE -5MDC = /ADE + ZEAD = 9伊，ZADC - 9伊.心律AB 8DC, CB/?DA,则ABCD是一个边长为c的IE方形.*.* ZBAF : /FAD = /DAE - ZFAD ± 9(f, , NBAF=/DAE.连结FR 在怔中r：皿：AD 二 c, AE = AF = b, /BAF=/DAE,二A厥经aabe.二 ZAFB 二 Z