知识讲解_一元二次不等式及其解法_基础

1、一元二次不等式及其解法【学习目标】1 .掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想；2 .理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；3 .能利用一元二次不等式解决简单的实际问题【要点梳理】要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：x2 5x 0 .一元二次不等式白一般形式：ax2 bx c 0(a 0)或ax2 bx c 0 (a 0).设一元二次方程ax2bx c 0(a0)的两根为为、*2且xx2,则不等式ax2bx c 0的解集为xx xi或x x2 ,不等式ax2 bx c 0的解集为xx x

2、 x2要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(a 0)成立.要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系22对于一兀一次万程 ax bx c 0(a 0)的两根为x1、x2且x x2,设 b 4ac ,它的解按照 0,0,0可分三种情况，相应地，二次函数y ax2 bx c (a 0)的图像与x轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式ax2 bx c 0 (a 0)或2ax bx c 0 (a 0)的解集.b2 4ac000二次函数2y ax bx c(a 0)的图象042ax bx c 0(a 0)的根后两相异实根xi, x2(xi x2)有两相等实根bx

3、i x2一2a无实根ax2 bx c 0(a 0)的解集xx x1 或 xx2bx x 2aRax2 bx c 0(a 0)的解集x|x1 x x2要点诠释：(1) 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的两根x1、*2是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y ax2 bx c与x轴的交点的横坐标；(2)表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；(3)解集分 0,0,0三种情况，得到一元二次不等式ax2 bx c 0与ax2 bx c 0的解集.要点三、解一元二次不等式的步骤(1)先看二次项系数是否为正，若为

4、负，则将二次项系数化为正数；(2)写出相应的方程ax2 bx c 0(a 0),计算判别式： 0时，求出两根xx2,且x x2 (注意灵活运用因式分解和配方法) 0时，求根x1 x2;2a 0时，方程无解(3)根据不等式，写出解集.用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程2 .若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3 .写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论;找到不等式的解集与其4 .根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理,系数之间的关系；5 .若所给不等式最高项系数含有字母，还需要

5、讨论最高项的系数【典型例题】类型一：一元二次不等式的解法例1.解下列一元二次不等式222(1) x 5x0；(2) x 4x 4 0 ；(3) x 4x 5 0【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答【解析】(1)方法一：因为 (5)2 4 1 0 25 0所以方程x2 5x 0的两个实数根为：x1 0, x2 5-2函数y x 5x的间图为:x 5.方法二：x2 5x 0 x(x 5) 0x 0x 0八斛得 或 ，即0 x 5或xx 5x 5因而不等式x2 5x 0的解集是x|0 x 5.(2)方法一：因为 0,方程x2 4x 4 0的解为x1 x2 2.函数y x2

6、4x 4的简图为:所以，原不等式的解集是 x|x 2方法二：x2 4x 4 (x 2)2 0 (当 x 2 时，(x 2)2 0)所以原不等式的解集是x|x 2(3)方法一：原不等式整理得x2 4x 5 0 .所以不等式4x5的简图为:因为 0,方程x2 4x 5 0无实数解,x2 4x 5 0的解集是所以原不等式的解集是方法二： x2 4x 5 (x 2)2 11 0，原不等式的解集是【总结升华】1 .初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力;2 .当0时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁(如第 2、3小题)；当0且是一个完全平方数时，利用因式分解和符

7、号法则比较快捷，(如第 1小题).3 .当二次项的系数小于 0时，一般都转化为大于 0后，再解答举一反三:【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型元二次不等式的解法】【变式1】已知函数f(x)2x 2x, x 0,2x 2x, x 0解不等式f(x)>3.【答案】由题意知x 0, x2 2xT x 0, 或 93x2 2x 3,解得：x> 1.故原不等式的解集为x|x>1 .2_ 一【变式2】(2015重庆)函数f(x)log2 (x2x 3)的定义域是()A.-3,1B.(-3,1)C.(-8, -3 u 1.+ oo)D. (-8, -3)U(1.+ oo)【答

8、案】由题意得：X2 2x 3 0,即(x 1)(x 3) 0解得x>1或x<-3,所以定义域为(-8, -3) U (1.+ 8), 故选D。类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法例2.解下列关于x的不等式(1) x2-2axVa2+1;(2) x2-ax+1>0；(3) x2-(a+1)x+a<0 ；【思路点拨】解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 【解析】(1) x2 2ax a2 1 0(x a) 1(x a) 1 0 a 1 x a 1,原不等式的解集为x|a 1 x a 1.(2) A2=a2 2当A>Q即a>2或a&

9、lt;-2时，原不等式的解集为x|x aa一4或x a一422a.当A=Q即a=2或-2时，原不等式的斛集为x|x .2当A<Q即-2<a<2时，原不等式的解集为R.(3) (x-1)(x-a)<0当a>1时，原不等式的解集为x|1<x<a当a<1时，原不等式的解集为x|a<x<1当a=1时，原不等式的解集为【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与 0的关系时，要引入讨论，分类求解；定解：根据根的情况写出不等式的解集；

10、当无法判断两根的大小时，引入讨论举一反三：21【变式1】解关于x的不等式：x2 (a -)x 1 0(a 0)a一一，1【答案】原不等式化为(x a)(x -) 0aa=1或a=-1时，解集为 ；1 1当 0<a<1 或a<-1 时，a ,解集为：x|a x ； aa11当 a>1 或-1<a<0时，a ,解集为：x| x a.aa0 ( a R)【答案】x2 (a a2)x a30,2、 一(x a)(x a ) 0当a< 0或a> 1时，解集为x | x a或x a2;当a=0时，解集为x|x 0；当0v av 1时，解集为x | x a2或

11、x a；当a=1时，解集为x|x 1;【变式3】(2015春 房山区校级期中)解关于 x的不等式56x2+ax-a2<0o 【答案】aa、一-.1 56x2+ax a2< 0,(7x+ a)(8x a)v 0, 即x (二)(x 二)0。78当a=0时,a a-,不等式化为x2<0,解得xe7 8aaa当a>0时，不等式解集为x| 787,aaa当a v 0时，一一，不等式解集为x | a7 88例3.解关于x的不等式：ax2 (a+1)x+1 <0.7【解析】若a=0,原不等式x+1v011右a<0,原不等式x(1)xaa11若a>0,原不等式x2(

12、1-)xaax> 1 ；10 (x -)(x 1) 0a10 (x -)(x 1) 0, a1其解的情况应由1与1的大小关系决定，故 a(1)当a=1时，原不等式x ；一一 1(2)当a> 1时，原不等式 一 x 1 ;a1(3)当0vav 1时，原不等式 1 x 一a综上所述：1当av0,解集为x|x 一或x 1； a当a=0时,解集为x|x > 1;【变式2】解关于x的不等式：x2 (a a2)x a3-、，1当0vav1时，解集为x|1 x ；a当a=1时，解集为 ；1当a > 1时，斛集为x | x 1.a【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础

13、，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要不重不漏举一反三：【变式1 解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)【答案】当a=0时,xC (- ,2.1-当 aw财，方程(ax-1)(x-2)=0 两根为 x1 , x22a当a>0时，八 -1 八 _1._1.右 a 0, 2,即 0 a 时，x (,2,)；a2a1 八一1 .右 a0, = 2,即a时，xCR；a21-11右 a0,2,即a时，x(，一 2,).a2a一11当 a<0时，则有：-2 , , x -2.aa【变式2解关于x的不等式：ax2+2x-1<0 ;1【答案】当a=0时

14、，x (,1).2当 aw(M, A =4+4a=4(a+1),a>0时，则 A>Q x ( 1、1a, 1 "1 a). aaa<0时，若a<0, <0, 即a<-1 时，xC R；若a<0, =0, 即a=-1 时，xCR且xwi;若a<0, A>0, 即-1<a<0时， x (,-a) ( 1 *1a,).aa【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型二含参数的一元二次不等式的解法】【变式3】求不等式12x2ax>a2(a C R)的解集【答案】当a>0时，不等式的解集为x|x -或x a;4

15、3当a=0时，不等式的解集为x|xC R且xw0;当a<0时，不等式的解集为x|x ?或x -a.3 4类型三：一元二次不等式的逆向运用例4.不等式x2 mx n 0的解集为x (4,5),求关于x的不等式nx2 mx 1 0的解集 【思路点拨】由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程x2 mx n 0的二根，故由韦达定理可求出 n的值，从而解得.【解析】由题意可知方程 x2 mx n 0的两根为x 4和x 5由韦达定理有4 5 m, 4 5 nm 9, n 202一一.一 2一一 一 一 2一一 nx mx 1 0化为20x9x1 0,即 20x9x1 01 1(4x 1)(5

16、x 1) 0,解得一x -,4 52.一, 11故不等式nx mx 1 0的解集为(一，一).45.根据不等式的解集【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点 的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点 是解此类题的关键举一反三:【变式1】(2015浙江校级模拟)设关于 x的不等式(ax-1)(x+1)<0(aC R)的解集为x|-1<x<1,则a的值是()A.-2B.-1C.0D.1【答案】二关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(aC R)的解集为x|-1<x<1,对应一元二次

17、方程(ax-1)(x+1)=0的两个实数根为-1和1,x - 1 或 x=-1, a即a的值是1,故选D。【变式2】已知ax2 2x【答案】由韦达定理有：，代入不等式 cx2 2x11、一、0的斛为一x，试求a、321211 c,， a2a32aa 0得 2x2 2x 12 0,即 x2 x 6 0 , (x 3)(x2)c,并解不等式12,c 2.cx2 2x a 0.故不等式 cx2 2x a 0的解集为：(2,3).【变式3】已知关于x的不等式x2 ax b 0的解集为(1,2),求关于x的不等式bx2 ax 1 0的解集.a 1 2 -a 39【答案】由韦达定理有：，解得，代入不等式b

18、x2 ax 1 0得b 1 2b 221 ,2x 3x 1 0,即(2x 1)(x 1) 0,解得 x 或x 1.2bx2 ax 1 0 的解集为：(，1)U(1，).类型四：不等式的恒成立问题【高清课堂：一元二次不等式及其解法 387159题型三 不等式恒成立的问题】例5.已知不等式ax2+4x+ a>1 2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.【思路点拨】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R,要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。【解析】原不等式等价于 (a+2)x2+4x+a- 1>0对一切实数恒成立，显然a= 2时，解集不是R,因此a 2,a 2 0,从而有 o42 4(a 2)(a 1) 0.整理，得a 2,(a 2)(a 3) 0.解得a>2.故a的取值范围是(2, +8).【总结升华】当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论举一反三：【变式1】已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求