抛物线性质归纳、证明和应用

1、实用文档抛物线性质归纳、证实和应用抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线(定点在定直线外)的距离的点的轨迹,它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线,它只有一支(双曲线有两支),只有一条对称轴,没有渐近线和对称中央,属于无心曲线.抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩,此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨,抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点,这里就它的一些性质加以归纳,说明和证实,及其在历年高考和模拟测试出现的典例.一、焦半径、焦点弦性质如图,ABAB是过抛物线y y2=2=2px(p2px(p0)0)焦点F F的弦,ADAD、BCBC是准线的垂线,垂足分别为D D、C,MC,M是CDCD的

2、中点,N N是ABAB的中点.设点A(xA(xi,i,y yi i)、点B(xB(x2,2,假设|AF|：|BF|=m：n,点A在第一象限,妫直线AB的倾斜角.那么cos&m.以AF为直径的圆与y轴相切,以BF为直径的圆与以AB为直径的圆与准线相切y y2 2),),直线ABAB交y y轴于点K(0,yK(0,y3 3),),那么:(4)(6)2yy2=p2；XiX2=pp|AB|=xi+X2+p=s2hSAOAB=2sin8+=:|AF|BF|pZAMB=ZDFC=RtZ;AM、AM、AM、BM是抛物线的切线;yiy2ya(6为AB的倾斜角)；BM分别是/DAB和/CBA的平分线;D

3、F、y轴三线共点,BM、CF、y轴三线共点;A、O、C三点共线,B、O、D三点共线;xPX2/A(XI,yi)N年(20)(10) MN交抛物线于点Q,那么,Q是MN的中点.DGMORX(X2,y2)CK(0,ya)标准文案实用文档ipip111111yiy2=yiy2=p p；XiX2=XiX2=:；一+一=一4 4y yi i丫 2 2y y3 3IAB|=xi+x2+2+p p=2P=2P口(迂为ABAB的倾斜角)；SSABsinsin二2-iim+COS*：蓊k为直线AB的斜率当m=0时,9=90,i+m2=i也满足i+m2=rsin二|AB|=2p(i+m2)=得.Sin1【证法二】

4、如图2,过A、B引x轴的垂线AAPBB1,垂足为Ai、Bi,那么|RF|=|AD|-|FAi|=|AF|-|AF|cos日,.AF4产士=-icos-icos-同理,|BF|=JRF|口=.pRi+cosii+cos?|AB|=|AF|+|BF|=-3+S=恐.icos-i+cos-sin标准文案p p2 2_ _2p2p2 2;,S;,S梯形ABCDABCD= =37.37.2sin?2sin?ABCDABCDsinsin3 3) )【证实】设过焦点Fg,0的AB的直线方程为x=my+2,代入抛物线方程y2=2px得y22pmyp2=0,因此2yiy2=p,yi+y2=2pm.另由得在RtC

5、FD中,FRXCD,有|RF|2=|DR|RC|,而|DR|=|yi|,|RC|=|y2|,|RF|=p,且yiy2.-yiy2=-P?.22又点A、B在抛物线上,有xi=yi,x2=2y2-,pppp22,22yi逞(yiy2,)p_因此xix2=2p.2P=年=4.LLU刃一yiy2yiy2pp在直线AB方程x=my+p中令x=.,得y3=-亲代入上式得?y【证法一】根据抛物线的定义,|AF|=|AD|=xi+2,|BF|=|BC|=x2+2p,|AB|=|AF|+|BF|=xi+x2+p又1AB|=的一xi)2+(y2yi)2=5+m21y2yi|=,1+m2/(yi+y2)24y1y2

6、=Ji+m24m2p2+4p2=2p(i+m2)iicosrm=-=；=；ktan二sin二实用文档【证法三】极坐标法,设抛物线的极坐标方程为占,那么_p_p|AF|=0=-;,|BF|=-1cosQ1cos(n+9)cc1_1_1pZ1SOAB=SAF+S“BF=2|OF|y1|+/|OF|y4,2(|y|+|y1|)yy2=p?,那么y1、y2异号,因此,|y|+|y|=|y一y2|22SAOAB=|y1-y2|=知(y1+y2)24y1y2=知4m2p2+4P2=pp+m2=2s?又.|CD|=|AB|sin6=&,|AD|+|BC|=|AB|=乌之sinsin2112p2pp

7、S栩形ABCD=2(|AD|+|BCD-|CD户寸施X-【例【例1】(2001年新课程高考文)设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点,那么OAOB=()A.3B.-3C.3D.-34423【解】【解】设A(x1,y1),B(x2,y2),那么OA,OB=X1X2+y1y2=,一p2=-4,应选B.【例【例2】(2022年福建理)过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为45殖勺直线交抛物线于A、B两点,假设线段AB的长为8,那么p=18X-【解】【解】由性质得|AB|=恚=8,p=T=4.sin1sin452+=2IAF|BFIAF|BF| |p p2【证法一】由x1

8、x2=p,且|AF|=x+p,|BF|=x2+224+p(x1+x2)+4|AB|=|AF|+|BF|=1cosQ1+cos日sin日P1+cos二x1x2px1+x2+p22(x1+x2+p)p,|BF1=1cos侬+8)=1+cos8.1cosH1+cosH2+=一【例【例3】(2000全国)过抛物线y=ax2(a0)的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点,假设线段PF与标准文案志|十|BF|x1十-12x2+2x1+x2+px1+*2+p=2(x1+2)(x2+p)x1x2+,仅1+x2)+【证法二】由|AF=*=实用文档11一FQ的长分别是p、q,那么+1等于()pqA.2aB.1-C.

9、4aD.-2aa【解】由y=ax2得x2=；y,(抛物线焦点到准线的距离为白,由此得l+da,应选C.a2apqZAMB=ZZAMB=ZDFC=RtZ,DFC=RtZ,先证实：/AMB=Rt/AMB=Rt/【证法一】延长AM交BC的延长线于E,如图3,那么ADMAECM,|AM|=|EM|,|EC|=|AD|BE|=|BC|+|CE|=|BC|+|AD|=|BF|+|AF|=|AB|.ABE为等腰三角形,又M是AE的中点,BMXAE,即/AMB=Rt/【证法二】取AB的中点N,连结MN,那么1-11|MN|=1|AD|+|BC|)=2(|AF|+|BF|)=|AB|,.ABM为直角三角形,AB

10、为斜边,故/AMB=RtZ.【证法三由得C(-p,y2)、D(2,%),由此得M(_p,%).y1一y2p(y1-y2)p(y1y1)y2y2+p2y2+p223+pBMXAE,即/AMB=Rt/.【证法四】由得C(1丫办D(1W),由此得M(*史昔).MA=(X1+p,MB=(X3+p,啜).MA.帝B=(X1+p)(x2+2)+(y1y2)4y2y1)22,p,p_(y1y2)=x1x2+c(x+x?)+244222222_p_,p,yi,y2.p_y+y2-2y1y2- 4+2(2p+2p)+4-4- 2yiy2_p!40- 2+2-2+2-0.KA,讪B,故/AMB=RtZ.【证法五】

11、由下面证得/DFC=90,连结FM,那么FM=DM.标准文案|MN|=|AN|=|BN|y1y2,yL丁kAMXI+2艮艮-kAMkBMy1y2y1y2p2=一1力同理kBM：又AD=AF,故ADMAFM,如图41=72,同理/3=74,一,一1一一./2+Z3=1X1809002 ./AMB=Rt/.接着证实：/DFC=Rt/DFC=Rt/【证法一】如图5,由于|AD|=|AF|,AD/RF,故可设/AFD=ZADF=ZDFR=a,同理,设/BFC=ZBCF=ZCFR=P,而/AFD+ZDFR+ZBFC+/CFR=180【证法二】取CD的中点M,即M(-p,纱产)由前知kAM=,kcF=y2

12、=-y2=y1,p,ppy122 1kAM=kCF,AM/CF,同理,BM/DF ./DFC=ZAMB=90【证法三】-DF=(p,y),CF=(p,y2),DF,CF=p2+y1y2=0DF,-CF,故/DFC=90【证法四】由于|RF|2=p2=y1y2=|DR|RC|,即廛)=后与,且/DRF=/FRC=90|RF|RC|DRFsFRC ./DFR=/RCF,而/RCF+ZRFC=90 ./DFR+ZRFC=90 ./DFC=90.【例4】(2022年湖北文)如图7,过抛物线y2=2px(P0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向准线l作垂线,垂足分别为M1、N1,求证：F

13、MJFN1AMAM、BMBM是抛物线的切线标准文案实用文档2(ot+P)=180,即u+P=90,故/DFC=90图 8AMAM、DFDF、y y轴三线共点,BMBM、CFCF、y y轴三线共点实用文档2【证法一kAM=R,AM的直线方程为yyi=(x-?)yiyi2p,与抛物线方程y2=2px联立消去x得22pyyi22y-yi=y;(2p-4),整理得y-2yiy+yi=o2一可见=(2yi)-4yl=0,同理BM也是抛物线的切线,如图8.【证法二】由抛物线方程y2=2px,两边对x求导,(y2)x=(2px)；,得2y yx=2p,y；=p,故抛物线y2=2px在点A(x,yi)处的切线

14、的斜率为H=y；|y=yi=.又kAM=E,k切=女人乂,即AM是抛物线在点A处的切线,同理BM也是抛物线的切线.yi【证法三】过点A(xnyi)的切线方程为yiy=p(x+xi),把M(2,2y2)代入222十、为yi+V2yi+yiy22Pxi-pp左边=yi-L=2=2=PM3,2右边=p(-2p+xi)=-i2+pxi,左边=右边,可见,过点A的切线经过点M,即AM是抛物线的切线,同理BM也是抛物线的切线AMAM、BMBM分别是/DABDAB和/CBACBA的平分线【证法一】延长AM交BC的延长线于E,如图9,那么ADM0ECM,有AD/BC,AB=BE,./DAM=ZAEB=ZBAM

15、,即AM平分/DAB,同理BM平分/CBA.【证法二】由图9可知只须证实直线AB的倾斜角媳直线的倾斜角P的2倍即可,即口=2P.且M(-p,pyi+y2,.y2yiy2yi2p.tanot=kAB=22=x2xiy2_yiyi+y22p2pyi+y2y一一2-tanP=kAM=p-xi+2yiy2yi22p+pp(yiy2)yi+p2p2p(yiByip2yi.tan2P=nVitan-i-(p)2yi,2pyi_22Pyiy2py2+yiy221P=tan二yiy2.a=2P,即AM平分/DAB,同理BM平分/CBA.【证法一】如图i0,设AM与DF相交于点Gi,标准文案实用文档由以上证实知

16、|AD|=|AF|,AM平分/DAF,故AG1也是DF边上的中线,.G1是DF的中点.设AD与y轴交于点Di,DF与y轴相交于点G2,易知,|DDi|=|OF|,DDi/OF,故DD1G2QFOG2|DG2|=|FG2|,那么G2也是DF的中点. Gi与G2重合设为点G,那么AM、DF、y轴三线共点,同理BM、CF、y轴也三线共点.令x=0得AM与y轴交于点Gi0,彳,又DF的直线方程为y=一x2,令x=0得DF与y轴交于点G20,p2.AM、DF与y轴的相交同一点G0,那么AM、DF、y轴三线共点,A(xi,yi)2【证法二】AM的直线方程为y-yi=x-g,同理BM、CF、y轴也三线共点H

17、.由以上证实还可以得四边形MHFG是矩形.A A、O O、C C三点共线,B B、O O、D D三点共线【证法一】如图ii,kOA=yi=-y2-=2p,xiyiyi2pkoc=2y2_2py2=_2py22pppyiy2yi.koA=koc,那么A、O、C三点共线,同理D、O、B三点也共线.【证法二】设AC与x轴交于点O,AD/RF/BC|CO|BF|OF|CB|AD|CA|AB|AF|AB|又|AD|=|AF|,|BC|=|BF|,.10|AF|RO|=|OF|,那么O与O重合,即C、|AF|O、A三点共线,同理D、O、B三点也共线.【证法三】设AC与x轴交于点O,RF/BC,LOJFJ=

18、LAFJ|CB|AB|CB|AF|=|BF|AF|,1|AB|AF|+|BF|di=p南|十南|【见证】.O与O重合,那么即C、O、A三点共线,同理D、O、B三点也共线.【证法四】OC=(-p,y*OA=(xi,yi),22i-%y2-py,y2一?-竽一py+彖o标准文案DiDMRxC图 10实用文档0C/0A,且都以O为端点 A、O、C三点共线,同理B、O、D三点共线.P(m,0)的直线与抛物线y2=2px(p0)相交于点A、B,过A、B两点分别作直线1:x=-m的垂线,垂足分别为M、N,那么A、O、N三点共线,【例5】(2001年高考)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直

19、线交抛物线于A、B两点,假设| |AFAF| |：| |BF|=mBF|=m：n,n,点A A在第一象限,6为直线ABAB的倾斜角. .那么coscos日=m3m3；m+nm+n【证实】如图14,过A、B分别作准线l的垂线,垂足分别为D,C,过B作BEXAD于E,设|AF|=【推广】过定点B、O、M三点也共线,如下列图:点C在抛物线的准线上,且BC/x轴.证实直线AC经过原点O.【证法一】由于抛物线y2=2px(p0)的焦点为F(-p,0),所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+/代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0设A(x1,yi),B(x2,y2),那么yi,y2是该方程的两个根

20、,.2 yiy2=p由于BC/x轴,且点C在准线x=p上,故C(-p,y,直线CO的斜率为kOc=2=y1=GA._py1XI-2直线AC经过原点O.【证法二】如图13,过A作ADl,D为垂足,那么：AD/EF/BC连结AC与EF相交于点N, ENENX=!X=!CNCNX X= =_L_LBFBFX X_LNFX=AFX|AD|AC|AB|,|BC|AB|由抛物线的定义可知：|AF|=|AD|,|BF|=|BC|EN|=|AD|BF|AF|-|BC|AB|AB|NF|.即N是EF的中点,与抛物线的顶点O重合,所以直线AC经过原点O.mt,|AF|=nt,那么标准文案实用文档|AD|=|AF|

21、,|BC|=|BF|,|AE|=|AD|-|BC|=(m-n)t.A,/|AE|(mn)tmn在RtABE中,cosZBAE=j|=-=|AB|(m+n)tm+ncos0=cos/BAE=m-nm+n【例6】设经过抛物线y2=2px的焦点F的直线与抛物线相交于两点且|AF|:|BF|=3:1,那么直线AB的倾斜角的大小为【答案】60或120以AFAF为直径的圆与y y轴相切,以BFBF为直径的圆与y y轴相切;【说明】如图15,设E是AF的中点,点Q在抛物线y2=2px上,即Q是MN的中点.P2那么E的坐标为 一+Xiy1七 ,那么点E到y轴的距离为P2d=一+Xi1=2|AF|故以AF为直径

22、的圆与y轴相切,同理以BF为直径的圆与y轴相切.【说明】如图15,设M是AB的中点,作MNL准线l于|MN|=1|AD|+|BC|)=2(|AF|+|BF|)=1AB|1那么圆心M到l的距离|MN|=2|AB|,故以AB为直径的圆与准线相切10MNMN交抛物线于点Q,Q,那么Q Q是MNMN的中点. .2P,y.,那么c-p,y2,Dpy1,M-P,宁22：y1y2),N(2y1y2),设MN的中点为Q2,2,+a那么Q,(一224Py1y22)2,2p,y1+y224P22222Py1y2222y1y2y1y28P8P自+丫2222PABAB为直径的圆与准线相切A、标准文案又M、N、18-+

23、1rr52+2Q二点共线,kMN=kNQ即Q=Q,x0=6.实用文档、定点、定值、定直线问题(共9个结论)平行于抛物线对称轴的光线,被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点,如图【证实】如图17,设抛物线方程为y2=2px(p0),直线AB/x轴,点A的坐标为(xcy0),那么过A点的切线方程为y0y=p(x+xo),17.17.直线l的斜率为k0=2,设直线AB到l的角为Ct,那么tana=y0设直线AF的斜率为ki,那么ki=y y0=-2m=-2mx x0-py0-p,设直线l到AF的角为艮那么tan-=k1-k0券-且Vpy0、+p2艮1+k0k11+卫.姿吗y0yo+p2y0tana=ta

24、nP,又口、V.y0-pPe0,m,那么a=p也就是说平行于抛物线对称轴的光线,被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点【例7】(2022年福建省质检)如图18,从点M(x0,2)发出的光线沿平行于抛物线y2=4x的轴的方向射向抛物线的点P,反射后经焦点F又射向直线l：x2y7=0上的点N,再反射后又设回点M,那么xo=【解】PM/x轴,点P在抛物线上,得P的坐标为(1,2),经过F(1,0)点后反射在Q点,那么Q的坐标为(1,2),经Q反射后点N的坐标为(3,2),设M关于l对称的点为M依题意,Q、N、M共线.故可设Mx1,2,2+2x0 x1由此得上x0+x121222,解得x0=6.2-7=0

25、2【另解】假设设Q关于直线的对称点为Q,设Q(a,b),由于Q、Q关于直线l对称,由此得,I=_1a-122+12b-22,解得7=09a=5一91818那么Q的坐标为.,5那么直线ABAB过定点(2p+x(2p+xg,g,-y-y0 0).).【证实】设A(2L,矽、B(2,t)(s,t,y0互不相等)乙p4p那么,由ACBC得,yV.SkAC,kBC2_s_x02p一.2y.一sy.一t_4p-V2S2-y2夕(yo+s)(yo+1)2p2p2p2p-4p2=-(y0+s)(y0+t)22-st=4p(s+t)y0y02p2p令x-2p-x0=0,即x=2p+x0,得丫=y0.故直线AB过

26、定点(2p+x0,y0).特别地,当C C是抛物线的顶点时,定点P P的坐标为(2p,0)(2p,0).【拓展】C(xC(xo,o,y yo o) )是抛物线y y2 2=2px(p=2px(p0)0)上的一定点,直线ABAB与抛物线相交于A A、B B两点(都异于C),C),假设直线CACA、CBCB的斜率-、L L的乘积为定值m,m,那么,直线ABAB过定点(X(X0-0-2 21 1P P, ,-y-yo o).).例88(2000京皖春季高考)如图20,设点A和B为抛物线y2=(p0)上原点以外的两个动点,OAOB,OMXAB,M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.【解法一】点A,B在抛

27、物线y2=4px上,24p,VB),OA、OB的斜率分别为kOA、kOB.实用文档y.一t上X02p又直线AB的方程为*2sXc2p2px+sty片 b把代入得y=2px4p2(s+t)y0y22px4p22Pxs+1s+10.2p,y0(x2px0)y0s+t4px求点2设A(4A；,VA),B(4P由OA_LOB,得koA,koB=16p=_1VAVB2.直线AB方程为,y-yA=y4p(x-4jp由OMLAB,得直线OM方程y=-yA7B-4p设点M(x,v),那么x,y满足、 两式,将式两边同时乘以一j,并利用式p整理得,4pyA2+yyA(x2+y2)=0标准文案弋*皿弋,kAB=4

28、pVByA4P22=.VBVAVA+YB.4p4pB(XB,VB)图 202.VA,即(VA+yB)(y-yA)=4p(x-)p实用文档由、两式得一丁+yByA(x2+y2)=0,p由式知,yAyB=-16p2,所以x2+y24Px=0.由于A、B是原点以外的两点,所以xw0.所以点M的轨迹是以(2p,0)为圆心,以2P为半径的圆,去掉坐标原点.【解法二】由性质(2)易知AB经过定点P(4p,0),由于OMLAB,那么,M的轨迹以(2p,0)为圆心,以2P为半径的圆,去掉坐标原点.其轨迹方程为x2+y2-4px=0(xw0)抛物线y2=2px(py2=2px(p0)0)的弦A AB B的中点D

29、 D恰好在定直线l:x=m(m0)x=m(m0)上,那么线段ABAB的垂直平分线过定点M(m+p,0).M(m+p,0).【证实】如图22,设A(xi,y1),B(x2,丫2),D(m,y),那么y2=2Pxi2=2Px2-得y2-y2=2p(xi-x2)直线AB的斜率kAB=二七=一个一=Rxix2yiy2v. 直线DM的斜率kDM=-=-y0kABp.DM的直线方程为yy0=y0(xm)令y=0,得x=m+p 直线AB的垂直平分线恒过定点(m+p,0).例9(2022湖南理科高考)假设A、B是抛物线y2=4x上的不同两点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P,那么称弦AB是点

30、P的一条“相关弦.当x2时,点P(x,0)存在无穷多条“相关弦.给定x02.证实：点P(x0,0)的所有“相关弦的中点的横坐标相同；(略)【说明】应用性质,由得p=2,由定点P(x,0)得m+p=x,故m=刈一2“相关弦的中点的横坐标为x02.标准文案图 21图 22实用文档设直线l l与抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)相交于点A(xA(xi,i,y yi i)、B(xB(x2,2,Y Y2 2),),那么假设直线l l过抛物线对称轴的定点M(a,M(a,0),0),那么y yi iy y2=2=2ap,x2ap,xi ix x2=2=a a2 2; ;反之假设y yi iy

31、 y2=2=k k(定值),那么直线l l恒过定点N(-2p,0).N(-2p,0).iiiiii右直线1与y轴相父于点(0,(0,%),那么而+坂=而a 一由l的方程x=my+a中,令x=0得y3=-m,y+y2=2Pm【证实】设过点M(a,0)的直线方程为y22Pmy2pa=0,因此x=my+a,代入抛物线方程y2=2px得2yiyiy2=-2ap,xix2=2pp设直线l方程为x=my+b,y22pmy2pb=0,2y2,、222(yiy,_4ap2p4p4p=a2.代入抛物线方程y2=2px得即方程的根yi、y2是P、Q两点的纵坐标yiy2=-2pb,又yiy2=k.2pb=k,即b=

32、,那么直线l方程为x=my2p2p一kk令y=0,得x=2p那么直线1恒过正点N(-2p,0).A(xvYi)OxB(X2,V2图 23yi+y22Pmyiy2yiy22apmJay3【例10】(北京2022年春季高考理科)如图x轴和y轴上的截距分别为a和b(a0,(p0)于M(xi,yi)、N(x2,y2)两点.写出直线l的截距式方程；、riii证实：yy2=b-【解】直线l的截距式方程为xy“-+r=i.abii由上面性质证实可得+=yiy2ib.标准文案实用文档过抛物线y y2 2=2px(p=2px(p0)0)的焦点F F作直线l l与抛物线交于A A、B B两点,且与准线交于点M,M

33、,设MA=h hI IF F, ,MBMB= =B BBFBF,那么九+N=N=0.0.【证法一】设过点Fg,0)的直线方程为x=my+p,代入抛物线方程y2=2px得y22pmyp2=0,因止匕yiy2=p2,yi+y2=2pm令x=p,得VM=-m由MA=ZAF得(xi+p,yi+rp)=Xg一xi,yi)yi+m-yi,力,同理,匕吠【证法二】由MA=zKF,万B=N-BF,得小Nv0.那么 4 一学口|MB|BF|过点A,B分别作准线l的垂线,垂足分别为Ai,Bi,|MA|AAi|AF|.那么有：|MB|BBi|BF|由得一F|=fF1,即K+N=0.T%F|1F|【例in(2022年

34、福建理科高考)如图27,点F(i,0),直线l:x=-i,P为平面上的动点,过作直线l的垂线,垂足为点Q,且QP-OF=FPFQ.求动点P的轨迹C的方程；过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,MA=兀 NF,KB=-BF,求十%的值;【略解】动点P的轨迹C的方程为：y2=4x;？必+九2=0.图 27标准文案4=2+my2p(y1+y2)myiy2=2+p-2pm2m(一p)=2-2=0.-iOi实用文档定长为l l的弦ABAB的两个端点在抛物线y y2 2=2px=2px上,M M是ABAB的中点,M M到y y轴的距离为d,d,那么,M M的轨迹方程为：4(y4(y2 2+ +

35、p p2 2)(2px)(2pxy y2 2)=)=p p2 2l l2,2,且当0vlv2P0vlv2P时,d d的最小值为:此时,AB/yAB/y轴；8P8P当l2pl2p时,d d的最小值为匕2 2士此时,弦ABAB过焦点F.F.【解】设A(Xi,yi),B(X2,Y2),弦AB的中点M的坐标为(xc0),AB的直线方程为x=my+b,代入抛物线方程y2=2px得y22Pmy2pb=0.yi+y2=2pm,y1y2=2pb.又AB的中点为M(Xo,y.),且点M在直线AB上,2yi+y2y.人Vo yo=-=pm,Xo=myo+b,m=,b=x.一myo=x.2pp.|AB|=l=(xi

36、-x2)+(yi-y2)=(myi+b-my2b)+(yiy2)=(1+m2)(yiy2)2=(i+m2)(yi+y2)24yiy222y0)4y2+8p(xo-台整理得,4(y2+p2)(2pxo-y0)=p2|2.故中点M的轨迹方程为：4(y2+p2)(2px-y2)=p2|2.22由上可知d=x=-p2+%,令t=y2+p2p2,即y2=t-p2,那么8(y+p)2pd=x=tiW2pp).令pr 品得当0vlv2P时,p2p,d在tCp2,+8)上是增函数,222当t=p；即y=0时,dmin=p2+p；p=,此时,8p2p28pm=0,即AB/y轴.当年2P时,p2W,p2p当且仅当

37、=2tp,=2tp,即tWtW时取等号,故d d的最小值为【证法二】当l2p时,过A、B、M作准线x=g的垂线,垂足为A、B、M那么pi.iii|MM|=d+2=2(|AA|+|BB|)=2(|AF|+|BF|)2|AB|=2l.上式当且仅当|AF|+|BF|=|AB|,即弦AB过抛物线的焦点取等号,那么d的最小值为2I2=/.【说明】【说明】经过焦点F的最短弦是通经2p,因此当弦AB的长IV22P时,不能用证法二证实d的最小值为.【例【例长度为a的线段AB的两个端点在抛物线x2=2py(a标准文案AMM时OB图 30【证实】设斜率为kk为常数的一组平行线与抛物线y2=2pxp0弦AiBi的中

38、点为Mi,即Mi,M2,Mn,且AiBi的直线方程kx+bib为直线AiBi在y轴上的截距,Aixi,y1,Bg,为,yi).联立方程组y=2Pxy=kx+bi,消去x得景y+bi=0ppApBi(i=i,2,),为 y=Mi(xi,yi+y2=T,又Mi是AiBi的中点k.y1士义=p那么MM2,Mn在平彳 T 于x轴的直线y=p上.2kk当直线AiBi与x轴垂直即直线AiBi的斜率不存在时,易知Mi,M2,Mn在x轴上.【例i3】2022年陕西卷理20文2i抛物线C:丫=12+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点,过交C于点N.直线y=kxx轴的垂线实用文档2P0上运动,以AB的中点C为

39、圆心作圆与抛物线的准线相切,求圆C的最小半径.【解】依题意,问题转化为定长的弦的两个端点在抛物线上,弦的中点圆C的最小半径为r=|.kAN+kBN=2kMN直线AN,MN,BN的斜率成等差数列.抛物线的一组平行弦的中点共线,且所在直线平行于对称轴或与对称轴重合C到y轴的距离的最值问题,由上面的性质可知当弦AB经过焦点F时,点C到准线的距离为最小值.如图30.过抛物线y y2 2=2px=2pxpp0 0的对称轴上的定点M Mm,m,0 0m0m0, ,作直线ABAB与抛物线相交于A,BA,B两点.点N N是定直线l l：x=x=m m上的任一点,那么直线ANAN, ,MN,MN,BNBN的斜率

40、成等差数列. .【证实】设A(xi,yi),B(x2,y2),N(-m,n),由性质有yiy2=-2pm,那么直线AN、BN的斜率为kAN=yH,kBN：y2xi+mx2+m.kAN+kBN=yin,y2n2T-22p+m2p+m2P(yin)2P(y2n)2,+2,cyi+2pmy2+2pmin)2缈n)+2yi-yiy2y2yiy22py2(yi-n)-yi(y2-n)2pn(yiy2)2pn2pnyiy2(yi-y2)yiy2(yiy2)yiy2-2pm又直线MN的斜率为KMN=-m-m2m.AiMiOxBi图 33实用文档证实：抛物线C在点N处的切线与AB平行;【证实】如图34,设A(

41、x1,2x2),B(x1,2x；),把y=kx+2代入y=2x2得2x2kx2=0,k由韦达7E理得5+*2=2,Ax2=1,.XN=XM=X12=即N点的坐标为(k,k-)24482设抛物线在点N处的切线l的方程为y-J8=m(x-4),将y=2x2代入上式得2x2mx+mk0,48直线l与抛物线C相切,22mkk卜m8(7-8)=0,解得m=k,即l/AB.【说明】其实,也就是与AB平行的弦,它们的中点在过AB中点且与对称轴(x轴)平行的直线上,它与C的交点N,此时的切点就是这些弦的缩点,故过N点的抛物线C的切线与AB平行.过定点P(XP(X0,0,蜘)作任一直线l l与抛物线y y2 2

42、=2px(p0)=2px(p0)相交于A A、B B两点,过A A、B B两点作抛物线的切线l li i、I I2,2,设l li,i,I I2 2相交于点Q,Q,那么点Q Q在定直线pxpxy y0 0y+pxo=0y+pxo=0上.【证实】设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于过点P与x轴平行的直线与抛物线只有一个交点,所以直线AB与x轴不平行,故可设AB的方程为x-x0=m(y-y0).联立方程组2p2J=2pxx-x0=m(y-y0)y-my+my0R=0yy2=2P(my.)又过A、B两点的抛物线的切线方程为图 35yy=p(x+XI)和y2y=p(x+x2),联立方程组vy=p

43、(x+XI)Ly=p(x+x2)斛仔xy2x2y1XQ=.y1y222V1V2逅y2,y12p2pyy2x1x2yQ=pm由得m=yQ代入得XQ=yQ丫0-,点Q在直线pxppy0y+px0=0上.【例14】(2022年重庆文科高考题)如图36,对每个正整数n,标准文案一-Cn图 36【说明】此题第小题就是抛物线的焦点弦的性质yy2=p2.第小题两条切线的交点Cn就是上面抛物线的性质,即点Cn必在直线y=1上.【例15】(2022年山东理科高考)如图,设抛物线方程为x2=2py(p0),M为直线y=2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.求证：A,M,B三点的横坐标成等差数列；略.22【证实】由题意设A(X1,21),B(X2,2p),X10)=2px(p0)的焦点F F的直线于A A、B B两点,线段ABAB的垂直平分线交x x轴于点标准文案实用文档An(Xn,yn)是抛物线X2=4y上的点,过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(Sn,tn).试证：XnSn=-4(n1)；取Xn=21并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点试证：|FC1|+|FCz|十十|FCn|=2n2n+1+1.=2.=2.【证实】设过焦点Fg,0)的直线AB的方程为x=my+2实用文档(mw0),且A(xnyB(x2,