深圳中考数学《一元二次方程的综合》专项训练

1、一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图，在 ABC 中，AB=6cm, BC=7cm, Z ABC=30% 点 P 从 A 点出发，以 lcm/s 的 速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动.如果P、Q两点同时出【答案】经过2秒后 PBQ的而积等于4cm2.【解析】【分析】作出辅助线，过点Q作QE_LPB于E,即可得出九pqb=；xPBxQE,有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入而积公式，即可得出答案. 【详解】过点 Q 作 QE_LPB 于 E,则NQEB = 90°./ Z ABC=30°

2、, 2QE = QB.1Sa pqb=PBQE.2设经过t秒后 PBQ的面积等于4cm2,则 PB = 6-t, QB = 2t, QE=t.根据题意，-（6-t） n=4. 2t2- 6t+8=0.tz=2, t2 = 4.当t=4时，2t=8, 8>7,不合题意舍去，取t = 2.答：经过2秒后 PBQ的面积等于4cm2.【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去.2 .已知关于x的一元二次方程丁一（2攵-1）1+公一3 = 0有两个实数根.(1)求k的取值范围；(2)设方程两实数根分别为网，x2,且满足二+4=23,求k的值.13 【答案】k&

3、lt; (2) k=-2.4【解析】【分析】(1)根据方程有实数根得出=(2k l)F4xlx(k2-3)= 8k + 5N0,解之可得.(2)利用根与系数的关系可用k表示出+ X?和x,x2的值，根据条件可得到关于k的方 程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍.【详解】解：(1),.关于X的一元二次方程12(2左-1)r+22-3 = 0有两个实数根，.4之0, KJ-(2-l)2-4xlx(A:2-3)= + 13>0,13解得攵工上.4(2)由根与系数的关系可得%+%2 =2*-1, g=k? -3,%,2=(玉 +x2)2 -2xx2 =(2% 1)2 2(攵。-3)= 2

4、攵。-4k+ 7 ,'/ x； + x； = 23 ,.2公一4% + 7 = 23,解得攵=4,或=-2,小已4=4舍去， k = -2.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c = 0(aW0,a, b, c为常数)根的判别式当>(), 方程有两个不相等的实数根；当=()，方程有两个相等的实数根；当<()，方程没有实 数根以及根与系数的关系.3 .发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2-7x+10=0的两个根，求等腰三角 形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出 错误之处并说明错误原因.涵涵的作业解：x2 - 7

5、x+10=0a=l b= - 7 c=10b2 - 4ac=9>0.-b ± Jb，- 4ac _ 7 ± 3 .x-2a2xi=5» xz=2所以，当腰为5,底为2时，等腰三角形的三条边为5, 5, 2.当腰为2,底为5时，等腰三角形的三条边为2, 2, 5.探究应用：请解答以下问题：己知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2-mx+上-1二0的两个实数根.24(1)当m=2时，求 ABC的周长；(2)当 ABC为等边三角形时，求m的值.7【答案】错误之处及错误原因见解析：(1)当m=2时， ABC的周长为大：(2)当 2 ABC为等边三角形时，m的值为

6、1.【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5.(1)先解方程，再确定边，从而求周长；(2)是等边三角形，则两根相等，即4=(m)2-4(- -) =m2 - 2m+l,可求得 m. 24【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5.错误原因：此时不能构成三角形.3(1)当 m=2 时，方程为 x? - 2x+=0,413-,x2=- 22当!为腰时, 2113,一、一、二不能构成三角形: 2223331当二为腰时，等腰三角形的三边为二、二、上,2222答：当m=2时， ABC的周长为Z.2(2)若 ABC为等边三角形，则方程有两个

7、相等的实数根,?. = ( - m) 2-4 (- - - ) =m2- 2m+l=0, 24/. mi=m2=l.答：当 ABC为等边三角形时，m的值为L【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解 法和等腰三角形性质.4 .计算题V21（1）先化简，再求值：（1+一），其中x=2017.x-l 厂一 1（2）已知方程x2-2x+m-3=0有两个相等的实数根，求m的值.【答案】（1）2018； （2） m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里而的，再算除法，注意因式分解 的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.X21详

8、解：（1） 。（1+-一）x-1X-1x2x2-l + lx2-_ i -1）（1）x- X2=x+l,当 x=2017 时，原式=2017+1=2018（2）解：方程x2- 2x+m - 3=0有两个相等的实数根， = （- 2）2 - 4xlx （m - 3） =0t解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方 程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.5 .按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、 五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出加的值.月份用水量X （吨）水费J （元）四月3559.5五月8015

9、1【答案】6 .已知关于x的一元二次方程12（1 + 2）工+1 = 0 （m为常数）（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）若方程有一个根是2,求m的值及方程的另一个根.【答案】见解析：（2）即m的值为0,方程的另一个根为0.【解析】【分析】（1）可用根的判别式,计算判别式得到 =（m+2户4xQ m=m2+4>0,则方程有两个不相等 实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）设方程的另一个根为3利用根与系数的关系得到2+t=笠匚，2t=m,最终解出关于t 和m的方程组即可.【详解】证明: =（m+2）2-4xl- m=m2+4,.无论m为何

10、值时m2>0,/. m2+4>4>0,即4 >0,所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根.设方程的另一个根为t,x1 一 （m + 2）x+1 = 0根据题意得2+1="昔，2t=m,解得t=0,所以m=0,即m的值为0,方程的另一个根为0.【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过 程中注意对的分析，在分析时可借助平方的非负性：问题（2）可先设另一个根为t,用 根于系数关系列出方程组，在求解.7.如图，在中，ZB =90 . AC = Ocm, BC = 6cm,现有两点尸、0的分 别从点A和点B同时出发，

11、沿边A8, BC向终点C移动.已知点夕，。的速度分别为 2cm/s, cmls .且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设0两点移 动时间为心.问是否存在这样的x,使得四边形APQC的面积等于16口r？若存在，请 求出此时x的值；若不存在，请说明理由.B f q C【答案】假设不成立，四边形APQC面积的面积不能等于理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出BQ、PB的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：./於，），4c = 10, BC = 6,AB = 8.二 BQ = x, PB = 8 2x；假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于16g2， 则;x6x8-gx（8

12、 一 2%） = 16,整理得：x2-4x + 8 = 0.= 1632 =16<0»假设不成立，四边形APQC面积的而积不能等于【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的 解题关键.8 .关于x的方程"2 +（攵+ 2）x+: = 0有两个不相等的实数根.（1）求实数&的取值范围：（2）是否存在实数k,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存 在，求出k的值；若不存在，说明理由.【答案】（1） %>-1且女工0： （2）不存在符合条件的实数&,使方程的两个实数根之 和等于两实数根之积的

13、算术平方根.【解析】【分析】(1)由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式a。，由此可以得到关于k的不等 式，解不等式即可求出k的取值范围.(2)首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等 于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k的等式，解出k值，然后判断k值是否在 (1)中的取值范围内.【详解】k解：(1)依题意得=e+ 2)2-4-1>0,:.k >-1,又.女40,.4的取值范围是k>1且kwO：(2)解：不存在符合条件的实数&,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平 方根，k理由是：设方程京2+(攵+ 2户+ =

14、0的两根分别为西，Z，k + 2再+占=-由根与系数的关系有：,又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，k + 2 1：.k=-,3由(1)知，k>7,且工0,4.=一？不符合题意，因此不存在符合条件的实数攵，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方 根.【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。9 .已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a-2=0,有两个实数根刈，x2.(1)求实数a的取值范围：(2)xi2X22+4xi+4x2=1i 求 a 的值.【答案】(1) a<3； (2) a=- 1.【解析】试题分析：(1)由根的

15、个数，根据根的判别式可求出a的取值范围：(2)根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.试题解析：(1) 方程有两个实数根，/. ->Of RP22-4xlx (a-2) >0,解得 a43：(2)由题意可得 Xa+X2= - 2, xixz=a - 2,xi2x22+4xi+4x2=l,(a - 2) 2 - 8=1,解得 a=5 或 a= - 1,*/ a<3>a= - 1.10.已知关于X的一元二次方程公+*+1快+；卜2=0有两个不相等的实数根.4求k的取值范围：当k取最小整数时，求此时方程的解.【答案】(l)k>； (2)xi=0» xz- - 1.2【解析】【分析】由题意得 =(k+l)2-4xL/>0,解不等式即可