人教版数学高二同步文科选修1-1第二章椭圆及其标准方程

1、2. 1.1椭圆及其标准方程课刖自 主预习（qiani时小加予 教材为本 梳理新知教材研读预习课本P32,思考以下问题1 .笔尖在移动的过程中，笔尖到两个定点Fi和F2的距离之和是一个定值吗？画出的曲线叫什么曲线？2 .因为坐标系的不同，椭圆的标准方程有哪两种形式?要点梳理1.椭圆的定义平面内与两个定点 F1, F2的距离的和等于常数（大于IFF?。的点 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做 椭圆的焦距.2.椭圆的标准方程自我诊断判断（正确的打“，”，错误的打“X”）1 .设 Fi, F2为定点,|FiF2|=6,动点 M 满足|MFi|十|MF2| = 6, 则动点M

2、的轨迹是椭圆.（）2 .已知椭圆4x2 + ky2=4的一个焦点坐标是（0,1）,则实数k= 2.（）x2 y23 .已知椭圆 49 + 24= 1 上一点 P 满足|PFi| PF2| = 48,则/F1PF2 =90 .()答案1.x 2.V 3.V课堂互动探究 KetnghudongtAnjiu ' - ”，师生互动合作探究题型一椭圆的标准方程思考：求椭圆的标准方程应注意哪些参量？提示：求椭圆的标准方程时，应先确定焦点的位置，再求长、短 轴长和焦距.典网1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(一4,0), (4,0),椭圆上一点P到两焦点 的距离的和是10;

3、(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).思路导引在椭圆方程的参量a、b、c中，都可知二求一.解(1)由焦点坐标知焦点在x轴上，且参数c= 4,由P到两焦 点的距离之和是10,得a=5,则b2=9,椭圆的方程为25+92=1.y2(2)由题意得a=2, b=1,且焦点在y轴上，所以椭圆方程为x2= 1.名师点拨求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点 位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件.当 已知椭圆经过两点，

4、求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成 mx2 + ny2=1(m>0, n>0, m#n)的形式有两个优点：(1)列出的方程组中分 母不含字母；(2)不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.跟踪训练求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(3,0), (3,0),椭圆经过点(5,0);(2)两个焦点坐标分别是(0,5), (0, 5),椭圆上一点P到两焦点 的距离之和为26.解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为y2 b2=1(a>b>0).因为 2a=旧 5+ 3 2 + 02 + 勺 5- 3 2+ 02 =10,2c=6,所以 a

5、=5, c= 3,所以 b2= a2 c2=52- 32= 16.一 一 ，一一，一 八、) ，x2 y2所以所求椭圆的标准方程为 亲+*=1.25 16y2 x2(2)因为椭圆的焦点在 y轴上，所以设它的标准方程为02 + 2 =1(a>b>0).因为 2a=26,2c= 10,所以 a= 13, c = 5.所以 b2= a2 c2= 144.所以所求椭圆的标准方程为 卷+若=1.I 69题型二 对椭圆定义的理解思考：在椭圆的定义中应注意哪些问题？提示：在椭圆的定义中，到两定点的距离之和为定值，且大于两 定点的距离.典例2已知两定点Fi(-1,0), F2(1,0),动点P满足

6、|PFi|十|PF2|=2|FiF2|.(1)求点P的轨迹方程；(2)若2 FFF2=120 ,求PF1F2 的面积.思路导引熟练应用定义及参数的关系.解(1)依题意知|FF2| = 2,|PF1|十 |PF2| = 2|FF2| = 4>2= |FF2|,.点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆,且 2a=4,2c=2, .ax2 v2=2, c= 1, b= V3,故所求点P的轨迹方程为+3 = 1.(2)设 m=|PF1|, n = |PF2|,则 m+ n=2a=4.在PF1F2中，由余弦定理，得|FiF2|2= m2+ n22mncos/ F1PF2,4=(m+n)2 2mn(1

7、 +cos120 ,)解得mn= 12.一 11SapFiF2= 2mnsinZ FiPF2=2x 12sin120 = 3/3.名师点拨A由椭圆的定义可知，点的集合P = M|MFi|+|MF2|=2a(其中|FiF2| = 2c)表示的轨迹有三种情况：当a>c时，集合P为椭圆；当a =c时，集合P为线段F1F2；当a<c时，集合P为空集.在利用椭圆 的定义判断有关点的轨迹问题时一定要注意所给常数与已知两定点 之间距离的大小关系.因为椭圆上的点与两个焦点构成一个三角形， 所以可联系三角形两边之和大于第三边来帮助记忆.跟踪训练X2 y2已知椭圆O2 + y2=1(a>b>

8、;0), Fi, F2是它的焦点.过 Fi的直线AB与椭圆交于A、B两点，求4ABF2的周长.解|AFi|十|AF2|=2a, |BFi|十|BF2| = 2a,又ABF2 的周长=|AB|+|BF2|十|AF2|=|AFi|十|BFi|十|AF2| 十 |BF2|=4a,.ABF2的周长为4a.题型三 与椭圆有关的轨迹问题思考：若所求轨迹符合我们学过的某曲线的定义，还需注意什 么？提示：注意所求轨迹在题中还有哪些限制，即是否是完整的曲线.典例3已知圆 M: (x+1)2 + y2=1,圆 N: (x-1)2+y2 = 9, 动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的 方程.

9、思路导引先分析动点的特点.解由已知得圆M的圆心为M(1,0),半径ri=1；圆N的圆 心为N(1,0),半径上=3.设圆P的圆心为P(x, y),半径为R动圆P 与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|+|PN|=(R+ ri) + (2R)=ri+2 = 4.由椭圆定义可知，曲线 C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2,短半轴长为 陋的椭圆(左顶点除外)，其方程为£ +4=1仅？一4 32).名师点拨上解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求 动点轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义，则用待定系数法 求解即可.(2)相

10、关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成 的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的 条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法.跟踪训练已知B、C是两个定点，|BC|=8,且4ABC的周长等于18.求这 个三角形的顶点A的轨迹方程.解以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy,如图所示.由 |BC|=8 可知点 B( 4,0), C(4,0).由 |AB|+ |AC|+ |BC| = 18 得 |AB|+ |AC|= 10>8= |BC|,因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与 两焦点的距离

11、之和2a=10,但点A不在x轴上.由 a= 5, c=4,得 b2 = a2 c2= 25 16= 9.所以点A的轨迹方程为亲+ y= 1(y#0).25 9课堂归纳小结1 .平面内到两定点Fi, F2的距离之和为常数，即|MFi|+|MF2| = 2a,当2a>尸心|时，轨迹是椭圆；当2a=|FiF2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a<|FF2|时,轨迹不存在.2 .求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二 是定义法.3 .用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直 接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设 Ax随堂达标验屿3- - -

12、 A学以致用达标检测,一一 x2 y2i,已知椭圆m+iy6=i上的一点p到椭圆一个焦点的距离为3, 到另一焦点的距离为7,则m等于（）A. 10B. 5C. 15D. 25解析:到两焦点的距离之和为 10,.a=5,则m=a2 = 25, 所以选D.答案DX2y2 “im<3”是“方程m%+3二=1表下椭圆的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件m 1>0解析方程若为椭圆，则3-m>0，即m1<m<2或m1#3 m解析由题意得焦点在x轴上，且c=2,由长轴长为8,知a ,c 一一、一 一,x2 y=4,则b2= 12,所以椭

13、圆方程为16+12=1.“x2 y2m 木16+12 = 14.若方程;x一 十 -J=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m 25 m m+ 9的取值范围是.25m>0解析由题意得m+ 9>0,则8<m<25.m+ 9>25 m答案8<m<255.设P为椭圆X2+y2-= 1上的任意一点，Fi, F2为其两焦点，则 |PFi| PF2|的最大值是解析由已知得 a=3, |PF1|十|PF2|=2a = 6,|PFi| PF2|< |PF1|丁F2|2=9,当且仅当 |PFi|=|PF2|=3 时， 取等号.故|PFi| PF2|的最大值为9.答案9+By2= 1（A>0, B>0, A#B）求解，避免分类讨论，达到了简化运 算的目的.2<m<3,所以1<m<3是方程为椭圆的必要不充分条件，选 B.答案B3 .焦点为(一2,0) , (2,0),长轴等于8的椭圆方程为6.已知椭圆 丽+ 36=1上一点M的纵坐标为2.求M的横坐标；x2 y2、(2)求过M且与§