三角形的证明详细知识点、例题、习题

1、第一章三角形的证明、全等三角形（1）定义：能够完全相等的三角形是全等三角形。（2）性质：全等三角形的对应边、对应角相等。（3）判定：SAS、SSS ASA、AAS、HL注：SSA,AAA不能作为判定三角形全等的方法，判定两个三角形全等时，必 须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角证题的思路：找夹角（SAS）已知两边找直角（HL）找第三边（SSS若边为角的对边，则找任意角（AAS）“ 工a找已知角的另一边（SAS）已知一边一角边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA）已知两角找两角的夹边（ASA） 找任意一边（AAS）例题解析:L I安期中考）如图】所示，出知

2、川：三（：匚乙心帆那幺潦加一个条件后.仍无 法姓定也步=的是（）A. jlA - LC B. ADCB（1 HE - OFI）. 眈工 如囹2折而，匚黜4闫"九 哪么靠加下列一个条件后，仍无黑判定力倒：5&必昭的是< ）A. CH = IL £= £ DAC C,上HCA - jLZXXTZ g H = / a = WP支如网M所指点仇E分别在W "匕（I ）巳知Qicr, CD = HE.求证f 婚; Ml（2）4副翡-9 y7r记为必 rm 记为. f吊一厂 记为您 隈捕条n：C, ”战之为结恰向成欷幽儿讲加第件士.以为技论构成由Jff

3、i工命器是命名2俯命题，（选胖"我"或底"皑人二、等腰三角形1 .性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.2 .判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.3 .推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即 “三线合一”）.4 .等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60° ;等边三角形是轴对 称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.5 .含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，

4、如果一个锐角等于30° ,那么它所对的直角边等于斜边的一半.例题解析：个阻白三 号展三南寿A4,如圉4所示.在4 4敌；中.启用,4C. 二=*'秣口. f方分利是甑冷帕角平力魂，州田中的耳«（三例混有<）件.5个B. 4Tt . 3 T氏工十 工 如图5啕账* JLAJTC,匚虫方的平分钱懵交于F.过户作所疗困、文制干 牌事交/匚FE（1）建出图中的尊臊；角擢；12）叫 rr. ce之间存在看怎样的关摹？（证则他的发疆.困f识由三等边三角形,6 .两卢岛中号)三个厚通二;曲解的依，如圉相所示.若上3=y吃 则£1*7 "/2 =/ 7 .

5、如图7所阳.&期死为期进三防脂. >是例：雄痘统匕一点,8 平分/一Z/lt fc； CD HE.求UA A 4加;为苦通三翁格一照四田才三、.直角三角形1 .勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2 .命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3 .直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边 的平方和等于斜边的平方”,应该说成“三角

6、形两边的平方和等于第三 边的平方”例题解析业 已知% % c为由/WC的三边,旦清整Id -状/剜此三角静为 ()善.等腰三痛形L近角三丽影4c,藩腰直削二轴形口节醒三m彩或宜角三用形/K10,如图8所示I帝根占八两；中*力3 =4。,4口比窿边上的通.看/Ocmt 12cmt 购才/> rm、/，H.(就弗中考)如酊* 3金斑：中期=配于点艮上枇：" D C千点S4"与HF：交手点，速推(X(1)求证：HF = iAE;工(2)老6.员求#抒的自/ !>四、线段的垂直平分线1,线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判

7、定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2,三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相 等3,如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点 A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧，两 弧交于点M、N;作直线MN ,则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释： 注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理，注意二者的应用范围；利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.例题解析VuiRlfifi 荐段的里直平分线性质虱判定A1人如图10所示*在AdHC中，川月的垂位平分线交dC干点必 如果 人KT,

8、 RC=4.则的因长为(A. 9B. 7* . EU S1>+无法畸定用213 .如喝口所示, ABC申，±8=2士E, 4。上8c于U.求证-4丹十府兰隧.U it14 如黑12所示.4。挞用日。的角平分级. 陶，心。尸/帽.你认XMR与后F有什久 位置美系？说明理亚五、.角平分线1 .角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分 线上2 .三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相 等.3 .如何用尺规作图法作出角平分线 要点诠释：注

9、意区分角平分线性质定理和判定定理，注意二者的应用范围；几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形例题解析：IN I退州中彳如图14所示，和中.二仪F3,平分2£4队 交以十点3过点。作0E 148点上（L）求证:4皿344皿（2）若士3二物.CD = lt求用的长.用M【课堂练习】1、AABC 中，/ A ： / B ： / C=1 ： 2 ： 3,最小边 BC=4 cm,最长边 AB 的长是 ( )A.5 cm B.6 cm C.、5 cm D.8 cm2、如图，已知/ 1 = /2,则不6能使ABDACD的条件是（）A. AB = ACB

10、. BD = CDC. / B=/ CD. / BDA=/CDA3、如上图，点B,C,F,E在同一直线上，1 2,BC FE , 1（填“是”或“不是”）2的对顶角，要使 ABC DEF ,还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需写出一个）.4、已知实数x, y满足|工-4|十正改二°,则以x, y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A. 20或16 B. 20 C. 16 D.以上答案均不对 5、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知 A、B是两格点,如果C也是图中的格点，且使得 ABC为等腰三角形，则点C的个数是A. 6B. 7C. 8D. 9BA图36、一个等腰三角

11、形静的两边长分别为 5或6,则这个等腰三角形的周长是7、等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为8.等腰三角形的顶角为80 0 ,则它的底角是（）A.20B. 50C. 60°D. 809、10、到，在 RtAABC 中/C=90度，/B=2 /A, AB=6cm , WJ BC=如图， RtABC 中， /A= 300 , AB+BC=12cm,贝 U AB=11、如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧, 且 AB=DE, /A=/D, AF=DC.求证：BC / EF. (SAS)12.已知:如图，AB = AD, AC=AE, / BAD =

12、 / CAE.求证:BC = DE.13、已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC/DE, AC = CE, / ACD =/ B求证：ABCCDE14、在ABCt ,AB=CB,/ABC=90,F 为 AB延长线上一点，点 E在 BC上,且 AE=CF.求证:Rt AABERtACBF;CBA15、如图 5,已知 ACXBC, BDXAD , AC 与 BD 交于 O, AC=BD.求证：(1) BC = AD;(2) 4AB是等腰三角形.16、已知：如图，/ A=/ D=9(J , AC=BD求证：OB=OC17、如右图，已知 ABCS ABD嘟是等边三角形，求证：A&CD第

13、一章三角形的证明检测题、选择题（每小题4分，共36分）1、等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为（A、22厘米 B 、17厘米 C 、13厘米 D 、17厘米或22厘米2、卜列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（、等腰三角形的两底角相等B 、等腰三角形是轴对称图形、等腰三角形不是轴对称图形D、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合3、如图 1-Z-1 所示，在 ABC中，AC=DC=DBZ ACD=10O 则 / B 等于（A、50°C、25CD图 1-Z-1B、400BCD 20°ADE图 1-Z-24、如图1-Z-2所示，在ABCt

14、 DEF中,已有条件AB=DE还需要添加两个条件才能使 AB登ADEF 不能添加的条件是A、/B=/E, BC=EFB、BC=EF,AC=DFC> ZA=ZD, ZB=Z E, D>/A=/D, BC=EF5、已知：如图1-Z-3所示,m/ n,等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹的锐角为20A、600B 、30°C 、 40° D 、 450图 1-Z-3ACA 3.8cm B 、7.6cm C、11.4cm D 、11.2cmc*图1-工GaA-*-1图 1Z77、如图 1-Z-5 所示，在4ABC 中，CD 平分/ACB, /A=80&#

15、176; , /ACB=60° , 那么/ BDC=（）A、80°B 、90°C 、100°D 、110°8、如图 1-Z-6 所示，在 RtABC 中，/C=90° , /CAB=60° , AD 平分 / CAB, 点D到AB的距离DE=3.8cm,则线段BC的长为（）B6、如图1-Z-4所示，在 ABC中，/ABC和/ ACB的平分线交于点 E,过点E作MN /BC交AB于M ,交AC于N,若BM+CN=9 ,则线段 MN的长为（）A、6 B 、7 C 、8 D、9AD+*e 耳 NZ c口图 1-7-Wg、如图it-

16、7所示,在平面直角坐标系中，点a在穿一象限，点p在工专让若以p, a也为顶点的三角花是等腰三角形，则满足篌件的点F共有（）a4.2个E. 3个 C” 4个 IX 5个+J第II卷C非选择SL共64分）口白,一-7 二，填空题（每空3分，共24分）/ /1口、加图工-8所示，已知AAHC是等这三角形，+J， E/ ADZBCi CD1AD,垂足为 d E 为 AU 的中点，ADOEFcn3Z则/ACD =° ? AC= cttb "图 j_ j_gpZDAC-° , AA0E 臬一三窜而11、”两直线平行，内错角相等”的逆命题是 12、如图 1-Z-9 ,若 OAD

17、 0 OBC 且 / 0=65 ° , / C=20 ° ,则 / 0AD=0图卜工-1W13、如图1-Z-10是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的 三角形都是直角三角形，若正方形 A、B、C D的边长分别是3、5、2、3,则最 大的正方形E的面积是.14、等腰三角形的一个角是80° ,则它的顶角是 .三、解答题（共40分）15、（12分）已知：如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后.点D与点B重合, 点C落在点C'的位置上.若/ 1 = 60° , AE=1.(1)求/2、/ 3的度数；(2)求长方形纸片ABCD的面积S.16 .已知：如图10, AB=AC, DE /AC,求证： DBE是等腰三角形.1