2020年全国研究生考试数学三真题

1、2020考研数学三真题及解析(完整版)一、选择题：18小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.上设= b,则lim呵上二也.廿 x-a，廿 x-aA. bsinaB. bcosaC.b sinf(q)D. b cos f(a)答案：B解析：<. sin f(x) -sin a . /(.v) - a , hm= hm-cos 乒 bcos a.Z x - a a x - a(其中介于/(X)与a之间),选B' f( 产】n|1+x|八”"(-l)(x-2)第二类间断点个数A.l B.2C

2、.3D.4答案：c峰析：,v = 0,.r = 2,.v= l,.v=-l 为间断点1r /、v eUn l + x | . e"ln|l+x| e hi | x+l e lini/(.r) = Innhm !' = -hm -!'=jol)(x -2) i -2v2 i x 2x=0为可去间断点i /、e"ln|l + x|hm f (x) = hm= sx = 2为第二类间断点lini f (x) = lim 2" I = olim f(x) = lim 011n 11+ W =5广®-1)(< - 2)X=1为第二类间断点1l

3、im f(x) = lim - ln|l+W_口一】一i(e"-l)(x-2)x=-1为第二类间断点3,设奇函数在(，,”)上具有连续导数，则人，8$。+八川4是奇函数B.J； cos/。)+/'")力是偶函数C.£cos/*(z)+/(r)pr 是奇函数D.£'cos/'(0+/W 是偶函数答案:A解析：F(x)=Jcos/W+/，WdrF x) = cos/(.r) +/'(*)由/(X)为奇函数知，/'(X)为偶函数.cos /(.V)为偶函数.故Fx)为偶函数.E(x)为奇数选AXX4设哥级数W>a(

4、x 2)的收敛区间为(-2, 6),则X.(x + 1)2”的收敛区间为 If1A. (2 6)B.(3, 1)C.(5 3)D. (-17, 15)答案：B解析：由于 lin】(+1)%-1=1而 a=p= 1 = 1877a IffX Q'R4lim1 = p = p= J. R = 4. 21720T84；.尺=展=2,故所求收敛域为（3, 1）,.,.选 B.5.设4阶矩阵,4 = （%）不可逆，a?的代数余子式42/0，%4为矩阵A的列向量 组,/为/的伴随矩阵，则，4% = 0的通解为A.X = ki（f + k2Q + kaB.x = kq+k2q + k3qC.x =

5、klq+k2q + kD.x = kq + k2cf + kyq答案：c解析：,/J不可逆：=0412工°«4） = 37（W ） = 1:,力、=0的基础解系有3个线性无关的解向量.,* A A =| J | £= 0.H的每一列都是力 = （）的解又 4?二0«,q,q线性无关4' = ° 的通解为“=#«+# 7 + *#,故选 C.6,设4为3阶矩阵，以为力的属于特征值1的线性无关的特征向量，6为4的属于/（1 0 0）的特征向量，则尸l/Pn 0-10的可逆矩阵?为、0 0 1,A.（+%q,-q）B.+q,q,-q

6、）C（4+%-q,q）D.（q+Q,-q,0）答案：D解析:Aq = q. Aq =afi o 0）v rAP=l 0 -1 0 1ooiP的1, 3两列为1的线性无关的特征向量P的第2列为4的属于-1的特征向量一见,.尸= （qiq,-q,0）,选D7.设48,。为三个随机事件，且尸口）=尸（月）=尸（O = L ,p（ab）= o,p（ac）=4P（BC） = L，则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为1243212答案：D解析：P( ABC) = P( ABUC)=尸( - PA(BUC)玉X+ 丫)N(O,1).3二、填空题：974小题，每小题4分，共24分,请将答案写在答题纸指定的位

7、置上9.设二二arctan.vy + sin(.v + y),则 d = |同=.L.解析：dz = - d.v + - dyox dx乏=y+ cos(.r+ y),三 =n- 13x 1 +xy + sin(.v + y)2dx (Ojc)-=rx+ cos(x+ y), -="l方1+盯+ sin("加i妙(。:. =(n-l)dx-dv(M io,曲线x + y + e% = 0在点（0,-1）处的切线方程为.解析:1+/ + £外（2? + 2封'）=0洛x = 0,y = l代入得y=i =k.y + 1 = l（x- 0）即y =11.。表示

8、产量，成本。（。）=100+13。，单价P,需求量。（尸）=金"一 2,则工厂取得利 尸+3润最大时的产量为.玉X+ 丫)N(O,1).3二、填空题：974小题，每小题4分，共24分,请将答案写在答题纸指定的位置上9.设二二arctan.vy + sin(.v + y),则 d = |同=.L.解析：dz = - d.v + - dyox dx乏=y+ cos(.r+ y),三 =n- 13x 1 +xy + sin(.v + y)2dx (Ojc)-=rx+ cos(x+ y), -="l方1+盯+ sin("加i妙(。:. =(n-l)dx-dv(M io,曲

9、线x + y + e% = 0在点（0,-1）处的切线方程为.解析:1+/ + £外（2? + 2封'）=0洛x = 0,y = l代入得y=i =k.y + 1 = l（x- 0）即y =11 .。表示产量，成本。（。）=100+13。，单价P,需求量。（尸）=金"一 2,则工厂取得利 尸+3润最大时的产量为.解析:L = QP-C(Q)=。/部乡-31一 100.130I )=800£_ 60_ioO。+ 21(0)=丝竺四=0;.0 二 812 .设平面区域D = j (x,y) 2 4 y w 4-U, 0工工41 则。绕y轴旋转所成旋转体体积为2

10、个解析:2141 、一 "J024 y2。+“1 4一_1 1力13.行列式_1 1 01 一1 0 Q解析:0-11fl0-110a1-1 _ 0a1-1-11a01-10a0a-1 + a2二 0a1-11a00aa-2 1 =q 2-1 = - 4a2.0 0a14.随机变量X的概率分布?x = k= J« = L2,3，y表示x被3除的余数，则 玖丫）=.解析：PY= 0=<X=3p，=l,2.L1Py=l = PX=3k+l,=0,l,2.L=5 kQ -x 1PY= 2 =PX=3k+2,k= 0,1, 2. L =T721 xE（y）=i-J>+2

11、E 火o NAO1 1 1 188=8-7明过程或演算步骤.15 .已知。力为常数,三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证(1Y b'J e与二，当-s时为等价无穷小，求,乩1=lim 喉b x【解】1 = linr- ix b1fja 、 I=lim 乖."»1_Ib w->x r= lim na，+1、_8 -re 17/ In 11 | 1 L v n) =1 lim ".，1_ 11占 -x e | 11 IiMi"=bu« 叩；Ii ).41:0.a=i Wib =-： 2

12、16.求二元函数/(x,y) = Y + 8/ - g的极值解析：.求一阶导可得df ,)二二3-ydx也24 o o一 一 一一 e求二阶导可得当 x = o,y = o时./ = 0 5 = -1。= 0-4C 32Vo故不是极值.当* = 1 ” = 1时F«6124 = 1.8 = -1.。=4.炉>0幺=1>0故，1 ,且极小值16 12)16 12 J 16J U2 J 1221617若' + 2/ + 5卜=0,/(0)=1,/'(0)=-1,则 (1)求了(工)n 4 =求 力i解析：(1) V,+ 2.y' + 5y = 0 的特

13、征方程为 r? + 2r + 5=0/.r12=-l± 2i:.y(x) = e-J(f cos 2x + c sin 2x)y'(.v) = p-、(c cos 2x + c sin 2x) + e-x (-2c sin 2.v + 2c cos 2.v) 1212.><o)= i,y(o)= -i :.G= l,c2=0:.y(x) = e Acos 2x =E7«dx=fe-cos2rdx+ 1 e- d cos 2xN/r=-| cos2xde"v = -cos2.v-e-" 网rW-2fXe-xsin2.vdxJ rbT-e

14、-wjr+2fXsin 2.vd e-xJ小T= -e-w%2sin2.re'x"-2 +f cos2.vd.v n;r=-祁+e +e _ 1门j-口5 -1-e_ 1 1一尸"-5 el18 /(v,y) = V ' ' +x/(x,yXvdv 其中D= (x,y) .一+/ «1;”。J 求“ VXx，V)dcr解析:积分区域D如图；/(.v,y) =yVl .v2 +.丫07(工)，)(卜由，屋边积分得“f(x, y)dvdv = jj y4-x2dxdy + J f(x, y)ckd1,"xchdyJJ、弋1- f dv

15、dv = 2£ dvJ0N yy- vdy D=2,忘了.；(1C13=j (l-x2pdv了3 1兀.r = sinr| 2cos4rdz = _。4223兀16J xdvd v = 0所以D3九 =16f(Xiy)=y2+Xlo从而JJ 寸(x, .V)dYdv = Jj xyj _ x'dxdy + JJ - -Y 2dvdvDDD 16=3 n jj rdvdv16 D=3 njvj.rdy 16 o o=3 可】“ 1- x2 dv=. 371 j,ArsifH |2 sin 21 cost tdt16 Jof 2siir/(l- sin2/)d/ 16，3n( 1

16、 it 3 1 彳、 16(2 2 422 J37r25619 ./(.v)在血 2上具有连续导数，M=max|/(.r) |, .v e0, 2(1)证”引0,2(2)若Vxw0,2|/Xv) <,M MM=0解析：硼由M =max|/(x)|, xc0,2知存在cH0,2,使|/(c)|二M , 若ce0,l由拉格朗日中值定理得至少存在一点4w(0 c)，使r(2(c)-“o)_c) cc从而 c c若c8l,2，同理存在左(c, 2)使/(身="2)2-c-c从而 2-c2-c综上，存在攵(0,2)，使1尸(9巨河.(2)若M>0,则c>若2.由/(0)=/(

17、2) = 0及罗尔定理知,存在>0,2),使/'(9=0,当 e(0, c时，“c)-0) = k(x)dxM=l/(c) l=l/(c) -/(0) |< Jr(.Y)|d x < Me,又 “2) -f(c)=j2ff(x)dxA/=|/(c) |=|/(2) -/(c) |<£|/Xx) dx<M(2-c于是 2M < M? + M(2 - c) = 2Af 矛盾.故M=0.20 .设二次型f(x,x)=x2+4xx + 4x2经正交变换=。 化为二次型1 2 1 12 2 g(v,y) = flv2+4yy + by2,其中之八 1

18、211 22(1)求。力的值.（2）求正交矩阵。.解析：1 -2(1)设/=-2 4L J由题意可知04。= Q aAQ = B.：.A合同相似于B1 + 4 = a + b.Ai。之 bab = 4A a =4. b = l(2) >E-A |=22-5222-4.*.J的特征值为0, 5当届0时，解(0E-/)x = 0 .得基础解为210产1当届5时，解(5，-4/=0得基础解为-2又5的特征值也为0, 5当届。时，解(0E-8)x = 0得A110= =a1 -22当法5时,解(5E B)x=0得2 1J1 1对%a警化令。i =rM2T 。 。1 t则。N。=。50i i，0

19、5故乌。月8。丁二8可令。”丁21 .设/为2阶矩阵，?=(3勾，其中a是非零向量且小是力的特征向量.(1)证明尸为可逆矩阵 若片圻40-68 0,求PJP,并判断/是否相似于对角矩阵.解析：(l)a* 0fL4a* 2a.故应设性无关.则 Ma Na) = 2则尸可逆.AP =A(a,Aa)=(4 a落'=3。| I故尸，尸=由 A2a+Aa- 6cr= 0设(4,+4 6E)a= 0(J + 3£)(J-2£)c0由分0得(/?+ / - 6E) x = 0有非零解故 |(4 + 3£XN-2£) |=0得 |= + 3E |= 0 或 |4-2£>0若| (.4 + 3E)伊0则有(A - 200= 0机4a= 2a与题意矛盾故|4+ 3E |= 0同理可得N - 2£ |二 0于是d的特征值为* = -3 1 = 2.乂有2个不同特征值故.4a相似对角化22 .二维随机变量(X,Y)在。:年/) <y < Vl-.v2 上服从均匀分布7