2017全国高考近四年圆锥曲线题目

1、全国高考近四年圆锥曲线题目.选择题（共14小题）22片1 .已知双曲线C：彳二二1 （a0, b0）的离心率为华，则C的渐近线方a b2程为（）A. y= -k - B. y= I 4 又 一3C. y= x D. y=-卜；222 .已知椭圆E:三+勺的右焦点为F （3, 0）,过点F的直线交椭 J b2圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为（1, -1）,则E的方程为（B.2 /+= 136 27 1D.18A.y=x- 1 或 y= x+1B.(x-1)或 y= (x-1)223 .设椭圆C: 3可+二7=1 （ab0）的左、右焦点分别为Fi、F2, P是C上的点 Jb2PF21F1F2,

2、 /PF1F2=30,则 C的离心率为( .设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A, B两点.若| AF =3| BF , 则l的方程为（）C.5.y=V3 (x- 1)或 y= -V3 (x- 1)D, y= (x- 1)或 y=-1- (x-1)M422椭圆C: -+为-=1的左、右顶点分别为Av A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是-2, - 1,那么直线PA斜率的取值范围是（）A -：岂 B 三岂C.11. D. 一 .乙 946.已知抛物线C: y2=8x的焦点为F,点M （-2, 2）,过点F且斜率为k的直线与C交于A, B两点，若MA血=0,则k二(A.

3、 二 B C. 一 D. 2 227.已知Fi ( - 1, 0), F2 (1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3,则C的方程为()22222B. :，-C.:，- D 32 143 158.设F为抛物线C: y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交于C于A, B两点，则 | AB| 二()AB. 6 C. 12 D. 7 三3229.已知椭圆C: 三=1 (ab0)的左、右焦点为Fi、色，离心率为乂旦，” b23过F2的直线l交C于A、B两点，若ARB的周长为4/3,则C的方程为()2=1B.+110 .已知双曲线C的离心率为2,焦点为F

4、1、F2,点A在C上，若| RA| 二2| EA| ,则 cos/ AF2F1=()A - B - C.- D.434(a0, b0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离11 .双曲线C:4-4二1 / b2为日，则C的焦距等于(A. 2 B, 2 二 C. 4 D.12.设F为抛物线C: y2=4x的焦点，曲线y* (k0)与C交于点P, PF!x轴，X贝 U k=()A.B. 1C.D. 2222213 .已知O为坐标原点，F是椭圆C:一段=1 (ab0)的左焦点，A, B分 a b别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF!x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过

5、OE的中点，则C的离心率为(A14 .已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为 工，E的右焦点与抛物线C: y2=8x2的焦点重合，A, B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=()A. 3 B. 6C. 9D. 12二.填空题(共2小题)15 .已知g(x) =1+x2+2a1nx在1, 2上是减函数，则实数a的取值范围为.216 .已知F是双曲线C: x2-二二1的右焦点，P是C的左支上一点，A (0,676).3 8 APF周长最小时，该三角形的面积为 .三.解答题(共5小题)17 .已知抛物线C: y2=2x的焦点为F,平彳T于x轴的两条直线I1, I2分别交C于 A, B两点，交C的准线

6、于P, Q两点.(I)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR/ FQ;(H)若 PQF的面积是 ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.18 .设圆x2+y2+2x- 15=0的圆心为A,直线I过点B (1 , 0)且与x轴不重合，I 交圆A于C, D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(I )证明| EA+| EB为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线G,直线I交G于M , N两点，过B且与I垂直的直 线与圆A交于P, Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.v219 .在直角坐标系xOy中，曲线C: y=-与直线I: y=kx+a (a0)交于M, N 两点.(I

7、 )当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程.(H)y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有/ OPM=/ OPN?(说明理由)2 2厂20 .已知点A (0, -2),椭圆E:8且t=1 (ab0)的离心率为与，F是椭a b/圆的焦点，直线AF的斜率为型I, O为坐标原点.3(I )求E的方程；(n)设过点A的直线l与E相交于P, Q两点，当 OPQ的面积最大时，求l 的方程.21 .已知抛物线C: y2=2px (p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ| .(I )求C的方程；(H )过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交

8、于M、 N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.全国高考近四年圆锥曲线题目参考答案与试题解析一.选择题（共14小题）1. （2013?新课标I）已知双曲线 C:与三二1 （a0, b0）的离心率为亚, q q2则C的渐近线方程为（）A. y= I B. y= iC. y= x D. y= i【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2,而渐近线方程为y=x,代入可 a得答案.22【解答】解：由双曲线C：三三二1 （a0, b0）,a2 b2则离心率e人出运延，即4b2=a2, a a 2故渐近线方程为y= -x=x, a 2故选：D.【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线

9、方程，属基础题.222. （2013渐课标I）已知椭圆E: 2y+*l（ab0）的右焦点为F （3, 0）,aZ b2过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为（1, - 1）,则E的方 程为（）2 22 2A x,y . o x ,y 1A 瓦 TT B 区:一 2 22 2_ X V_ X VC万TT D河一【分析】设A （xi, yi）,B（X2, y2）,代入椭圆方程得a22 X2 +a,利用差法y2 11 - b2可得4，+红22.2二o.利用中点坐标公式可得 Xi+X2=2, yi+y2=-2, a23. （20i3渐课标H）设椭圆C:彳+%=i（ab0）的左、右焦点分别

10、为Fi、 a b W b2X 二|二0，化为利用斜率计算公式可得 心口二七也=士上=_!.于是得到町-合 1-3 2a2=2b2,再利用c=3=jm，即可解得a2, b2.进而得到椭圆的方程.【解答】解：设 A (xi, yi), B (X2, y2),22代入椭圆方程得红+Ll-i22，a b2_ 2 ”2 “2相减得1 二o,b2, xi+X2=2, yi+y2= 2,；|产1一方-1-0 1I -工21-32得6乂骨: 0,化为 a2=2b2,又 c=3=Ja2_b?,解得 a2=i8,b2=9.22椭圆E的方程为十4-二1io y故选D.【点评】熟练掌握 总差法”和中点坐标公式、斜率的

11、计算公式是解题的关键.F2, P是C上的点PF2，FiF2, /PFiF2=30,则C的离心率为(A.【分析】设|PE|二x,在直角三角形PFF2中，依题意可求得|PF|与|FiF2| ,禾用 椭圆离心率的性质即可求得答案.【解答】解：|P5|=x, - PFFiF2, /PFF2=30, .|PR|=2x, |FiF2|= ：x,又 |P印+| PFd=2a, | FiF2| =2c2a=3x, 2c= ;x,C的离心率为：eN=Y. 2 a 3故选D.【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得| PF|与| PF2|及| FiF2|是关键，考查理 解与应用能力，属于中档题.4. (2013渐课标

12、H)设抛物线C: y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|二3|BF| ,则l的方程为(A. y=x- 1 或 y= x+1 B.(x-1)或 v=T (x- 1)C. y=V3 (x- 1)或 y= V3 (x- 1) D.(x- 1)或 v=-与(x- 1)【分析】根据题意，可得抛物线焦点为 F (1, 0),由此设直线l方程为y=k (x T),与抛物线方程联解消去x,畤/_y_k=0.再设a (x1，y1)，B (x2,y2), 由根与系数的关系和| AF =3| BF ,建立关于y1、y2和k的方程组，解之可得k值， 从而得到直线l的方程.【解答】解：:抛物线

13、C方程为y2=4x,可得它白焦点为F (1, 0),设直线l方程为y=k (x-1)t fy=k(x-l) t r 一 k o由4 2消去 x,-y-k=0一山4设 A (xn y), B (x2, y2), 可得 y1+y2工，y1y2= 4(*)v | AF| =3| BF| ,.yi+3y2=0,可得 yi = - 3y2,代入（*）得2丫2/且一3y22= 4, k消去y2得k2=3,解之得k=V3直线l方程为y=/s （x-1）或y=-（x-1）故选：C【点评】本题给出抛物线的焦点弦 AB被焦点F分成1: 3的两部分，求直线AB的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与

14、圆锥曲线的位置 关系等知识，属于中档题.225. (2013?:纲版)椭圆C:3-+为-二1的左、右顶点分别为Ai、A2,点P在C上 J；V且直线P今斜率的取值范围是-2, - 1,那么直线PA斜率的取值范围是()A y. -I E二,C;D十22【分析】由椭圆C:3-+4-二1可知其左顶点Ai (-2, 0),右顶点A (2, 0).设2P (X0, V0)(xOw2),代入椭圆方程可得 一U一二年.利用斜率计算公式可得kwk.，再利用已知给出的kn:的范围即可解出1 A, 1 出L rII i.a*X2 .2【解答】解：由椭圆C:号+好二1可知其左顶点Ai (-2, 0),右顶点A (2,

15、 0).设 P （刈，yO） （x0w2）,则-二 1,得3 J故选B.斜率的计算公式、不等式的性质等【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、 是解题的关键.6. (2013双纲版)已知抛物线 C: y2=8x的焦点为F,点M (-2, 2),过点F且斜率为k的直线与C交于A, B两点，若瓦而=0,则k=()A. 丁 B 三 C. 一 D. 2 22【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k (x-2),代入抛物线方程，利用证而二(xi+2, yi-2) ?(X2+2, y2-2) =0,即可求出 k 的值.【解答】解：由抛物线C: y2=8x得焦点(2, 0),由题意可知：斜率k存在，设直线AB

16、为y=k (x- 2),代入抛物线方程，得到k2x2- (4k2+8) x+4k2=0, 0,设 A (xi, yi), B (x2, y2).xi+x2=4+, xix2=4.g-.yi+y2=, , y1y2-i6, k又 v. 1=0,MAMB= (x+2, yi 2) ? (xz+2, y22) =7-+4 =0 k? k. k=2.故选：D.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系， 考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题.7. (2013双纲版)已知Fi (-1, 0), F2 (1, 0)是椭圆C的两个焦点，过 F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3

17、,则C的方程为()C.2 x T222A 二一一B.2 y 13 2 122【分析】设椭圆的方程为 号+%二1，根据题意可得 行手=1.再由AB经过右焦点F2且垂直于x轴且|AB|二3算出A、B的坐标，代入椭圆方程得二1, a b2两式联解即可算出a2=4, b2=3,从而得到椭圆C的方程.22【解答】解：设椭圆的方程为 三,a2 b2可得 c=./a2_b2=1,所以 a2-b2=1.AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|二32 (-)2可得A (1,2)，B (1,-旦)，代入椭圆方程得 三二二1，22a2 b2联解，可得a2=4, b2=322椭圆C的方程为=1故选：C【点评】本题给

18、出椭圆的焦距和通径长， 求椭圆的方程.着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题. (2014渐课标II)设F为抛物线C: y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30的直 线交于C于A, B两点，则|AB|二()AB. 6 C, 12 D. 7 二【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|.【解答】解：由y2=3x得其焦点F (旦，0),准线方程为x=-旦.44则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30的直线方程为y=tan30 (x-a)3过(x43代入抛物线方程，消去y,彳316x2- 168x+9=0.设 A

19、 (xi, yi), B (x2, y2)贝U x1+x2=、=一1三 二所以 | AB| =x1+x2+=+ 故选：A.【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算， 利用离心率的定义和余弦定理是解 决本题的关键，考查学生的计算能力. =12二 1 ： 1 ：故选：C【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用, 运用弦长公式是解题的难点和关键.229. (2014双纲版)已知椭圆C:号声r=1 (ab0)的左、右焦点为Fi、F2, /b2离心率为叵,过F2的直线l交C于A、B两点，若 AF1B的周长为4的，则C 3的方程为(=1B+y2=1CD 122+ -1 =14【分

20、析】利用AFiB的周长为473,求出a=V5,根据离心率为叵,可得c=1, 3求出b,即可得出椭圆的方程.【解答】解：. AF1B的周长为4A!,.AFB 的周长=| AF1|+| AF2|+| BR|+| B&| =2a+2a=4a, 4a=4 叵 a=一二).离心率为孚, 1-1c=1一 , c , a 3bF02-产&，2 2椭圆C的方程为十二=1.3 2故选：A.【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能 力，属于基础题.10. (2014双纲版)已知双曲线 C的离心率为2,焦点为Fi、F2,点A在C上, 若 | FiA| =2| F2A| ,贝U cos/

21、 AFi=()A 工 B. 一 C.- D 士4343【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论.【解答】解：:双曲线C的离心率为2,一 e= - _ -1, 即 c=2a,a点A在双曲线上，则 | FiA| T F2A =2a,又 | FiA| =2| F2A| ,.解得 | FiA| =4a, | F2A| =2a, | FiF2| =2c,2小+恒金-|肛| m7FT?77i-理 得 cos /AF2Fi=_4c* 2ii. (20i4双纲版)双曲线C: -r=i (a0, b0)的离心率为2,焦点 白 b-12a22X2aX2c-= 2 o 2-3 a到渐近线的距离

22、为相,则C的焦距等于()A. 2 B. 2 三 C. 4 D. 4 三【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到 结论.22【解答】解：二： -=1 (a0, b0)的离心率为2,” b2e=A-2，双曲线的渐近线方程为y=不妨取y业工，即bx-ay=0,a- aa则 c=2a, b=7c2-a2=V3a，:焦点F (c, 0)到渐近线bx - ay=0的距离为相，解得c=2,则焦距为2c=4, 故选：C【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算， 利用双曲线的离心率以及焦点到直 线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础.12. (2016渐课标II)设F为抛

23、物线C: y2=4x的焦点，曲线y上(k0)与C交于点P, PFx轴，则k=()1 _ 只 _ _A. - B. 1 C. D. 22 2【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质， 可得k化【解答】解：抛物线C: y2=4x的焦点F为(1, 0),曲线y* (k0)与C交于点P在第一象限，x由PF, x轴得：P点横坐标为1, 代入C得：P点纵坐标为2,故 k=2,故选：D反比例函数的性质，难度中档.【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质,2213. (2016渐课标出)已知 O为坐标原点，F是椭圆C:号+%=1 (ab0) 整b2的左焦点，A, B分别为C的左

24、，右顶点.P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(D.二A1【分析】由题意可得F, A, B的坐标，设出直线AE的方程为y=k (x+a),分别令x=-c, x=0,可得M, E的坐标，再由中点坐标公式可得 H的坐标，运用三点 共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值.【解答】解：由题意可设F ( -c, 0), A (-a, 0), B (a, 0),令乂=-c,代入椭圆方程可得y= b ； 一=,可得 P ( - c, 二)， a设直线AE的方程为y=k (x+a),令 x=- c,可得 M ( -

25、c, k (a- c),令 x=0,可得 E (0, ka),设OE的中点为H,可得H (0,幽)，Cj由B, H, M三点共线，可得kBH=kBM, ka即为=止,_a _c_a化简可得空三，即为a=3c, a+c 2可得e=l. a 3故选：A.【点评】本题考查椭圆的离心率的求法， 注意运用椭圆的方程和性质，以及直线 方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档14. (2015渐课标I)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为-1, E的右焦点与抛物线C: y2=8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=()A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

26、【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出 A, B坐标，即可求解所求结果.【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为-1, E的右焦点(c, 0)与抛2物线C: y2=8x的焦点(2, 0)重合，22可得c=2, a=4, b2=12,椭圆的标准方程为：-,15 12抛物线的准线方程为：x=- 2,x=-2由，J / ，解得 y=3,所以 A (-2, 3), B (-2, - 3).+ 二 116 12 1| AB| =6.故选：B.【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力.二.填空题(共2小题)15.已知g (x)

27、 =Ux2+2a1nx在1, 2上是减函数，则实数a的取值范围为上【分析】求函数的导数，利用g (x) &0在1, 2上恒成立，结合参数分离法 进行求解即可.【解答】解：g (x) +x2+2a1nx在1, 2上是减函数等价为g(x) &0在1, 2上包成立，即 g (x) = -+2x+-0,i X即&JL- 2x,K J则 a-x2,设f （x） =-k - x2,则f （x）在1, 2上是减函数，f（X）min=f （2） =Y=-工，22即a| AF|+| AF|+2 （A, P, F三点共线时,取等号）,2直线AF的方程为 二十乌一二1与x2-3=1联立可得y2+6V6y- 96=0

28、,-3 W6 8.P的纵坐标为2港，.APF周长最小时，该三角形的面积为6述-,X6X2加=L.故答案为：12二【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关键.三.解答题（共5小题）17. （2016?新课标田）已知抛物线C: y2=2x的焦点为F,平彳T于x轴的两条直线11, l2分别交C于A, B两点，交C的准线于P, Q两点.(I)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARII FQ;(H)若 PQF的面积是 ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【分析】(I)连接RF, PF,利用等角的余角相等，证明/ PRAM PQF,即可证 明 AR/ FQ;(n)利用

29、 PQF的面积是 ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求 AB中点的轨迹方程.【解答】(I )证明：连接RF, PF,由 AP=AF BQ=BF及 AP/ BQ,彳AFF+/ BFQ=90 , ./ PFQ=90,.R是PQ的中点,RF=RP=RQ .PAR AFAR丁 / PARW FAR / PRA2 FRAvZ BQF+Z BFQ=180- / QBF=Z PAF=2/ PAR丁 / FQB玄 PAR丁 / PRA& PQF, .AR/ FQ.(H)设 A (xi, yi), B(X2, y2),F (1, 0),准线为 x= l, pq吾| pqi =4-1 yi y2l，设直

30、线AB与x轴交点为N,&abf= I | FN| yi y2 ,.PQF的面积是 ABF的面积的两倍， .2| FN| =1, Xn=1 ,即 N (1, 0).(2V1二2巧设 AB 中点为 M (x, y),由? 得 yU=2 (x1-X2),力二 22即 y2=x 1.k-1 yAB中点轨迹方程为y2=x- 1.【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力, 属于中档题.18. (2016渐课标I )设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B (1, 0) 且与x轴不重合，l交圆A于C, D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(I )证明| EA+|

31、 EB为定值，并写出点E的轨迹方程；(n)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交G于M , N两点，过B且与l垂直的直 线与圆A交于P, Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【分析】(I)求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性 质，可得EB=ED再由圆的定义和椭圆的定义，可得 E的轨迹为以A, B为焦点 的椭圆，求得a, b, c,即可得到所求轨迹方程；(II)设直线l: x=my+1,代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN| , 由PQ，l,设PQ: y=-m (x-1),求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得 | PQ| ,再由四边形的面积公式，化简整理，运用不

32、等式的性质，即可得到所求 范围.【解答】解：(I)证明：圆 x2+y2+2x-15=0 即为(x+1) 2+y2=16,可得圆心A ( - 1 , 0),半径r=4,由 BE/ AC,可得/ C=/ EBD,由 AC=AD 可得/ D=/ C, 即为/ D=/ EBD即有EB=ED 则 | EA|+| EB =| EA+| ED| =| AD| =4, 故E的轨迹为以A, B为焦点的椭圆，且有 2a=4,即 a=2, c=1, b=y7=方，22则点E的轨迹方程为工+2=1 （yw0）;43(H )椭圆 Ci： +=1,设直线 l: x=my+1, 4 3由 PCU1,设 PQ： y=- m

33、(x 1),r 2 X=W+1-/口 一 2 ,、 2 八八八由,可得(3m2+4) y2+6my- 9=0,L3x2+4y =12设 M （8，y1），N（X2, v2 ，可得y1 +y2 = 3m4g,y1y2=二一3丁+4则 imni=T!；7?i yy2i心+口 V(3m2+4)2 3id2+4=一 ；=12?1+nT3ih2+4AU PQ的距离为=可11）匚I V1+216-I PQ =2 :- =21+m2 V 1+m2/22则四边形MPNQ面积为SmPQ|?| MN|招? W即 普?12? 空 22 V 1+m23n1+4当m=0时，S取得最小值12,又一t0,可得S【点评】本题

34、考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆 方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式， 考查不等 式的性质，属于中档题.219. （2015渐课标I）在直角坐标系xOy中，曲线C: yi与直线l: y=kx+a （a 4 0）交于M , N两点.（I ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程.（H）y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有/ OPM=/ OPN?（说明理由）7=a2【分析】（I）联立* ,可得交点M, N的坐标，由曲线 S,利用导数 y=4ly 4的运算法则可得：y邑，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程.2（II）存在符合条件的点

35、（0, - a）,设P （0, b）满足/ OPM=/ OPN. M （x1， yi）, N （X2, y2）,直线PM, PN的斜率分别为：ki, k2.直线方程与抛物线方程 联立化为x2 - 4kx - 4a=0,利用根与系数的关系、斜率计算公式可得 ki+k2=kQ+b1.ki+k2=0?直线PM, PN的倾斜角互补？ ZOPM=Z OPN.即可证 a明.y=a【解答】解：（I）联立 不妨取m（2心 a）, N（一浦,励， 差丁2由曲线C： 丫高-可得：y会曲线C在M点处的切线斜率为 选， 其切线方程为：y-a=G-2小)， 2化为 dgx-y-a二 0.同理可得曲线C在点N处的切线方程

36、为： 心工+y+a=O.(II)存在符合条件的点(0, - a),下面给出证明：设 P (0, b)满足/ OPM=/ OPN. M (xn yi), N (x2, 公,直线 PM, PN 的斜率分别为：ki, k2.尸kx+a联立1 / ,化为 x220. (20i4?新课标I)已知点A (0, -2),椭圆E:三得二i (ab0)的离 aZ b?心率为零，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为翠，O为坐标原点.(I )求E的方程；(n)设过点A的直线l与E相交于P, Q两点，当 OPQ的面积最大时，求l 的方程.【分析】(I)通过离心率得到a、c关系，通过A求出a,即可求E的方程；(H)设直线

37、l: y=kx- 2,设 P (xi, yi), Q (x2, y2)将丫=卜乂 2 RA-+yz=l, 利用 0,求出k的范围，利用弦长公式求出| PQ| ,然后求出 OPQ的面积表 达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程.- 4kx- 4a=0, Axi+x2=4k, xix2=- 4a.L 1 - 1 1 1 - 1 一一 ki+k2-1.K x2x j x 2a当b=-a时，ki+k2=0,直线PM, PN的倾斜角互补，丁. / OPM=/ OPN.点P (0, - a)符合条件.【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、 直线 与抛物线相交问

38、题转化为方程联立可得根与系数的关系、 斜率计算公式，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题.【解答】解：（I）设F （c, 0）,由条件知2/,得 修旧 又走,c 3a 22所以a二2 , b2=32-c2=1,故E的方程力-+,二1（6分）（H）依题意当l，x轴不合题意，故设直线l: y=kx- 2,设P（X1, y1），Q（X2, y2）2将 y=kx 2 代入J-+y2二,得(i+4k2)x2- 16kx+12=0,当=16 (4k2-3) 0,即小之 时，ki丝上应IkLW4l+4k2从而L .- ,：. - -Wk2+lW4k2-3l+4k2又点 O到直线 PQ的距离=一，所以 OPQ的面积J：；,OPQ-2 d网1+4 n.设14