空间向量与立体几何

1、实用文案第三讲空间向量与立体几何一、规律与方法总结1 .两条异面直线所成角的求法设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为日,那么s4降0=艮耳其中华为异面直线a,b所问问成的角.2 .直线和平面所成角的求法如下图,设直线l的方向向量为e,平面ot的法向量为n,直线l与平面a所成的角为中,两向理e与n的夹角为日,那么有sin邛=cos日=理,或者sin中=cosB. .leln3 .二面角的求法利用向量求二面角的大小,可以不作出平面角,如下图,m,n即为所求二面角的平面角.对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.如下图,二面角口一1P,平面a的

2、法向量为ni,平面向量P的法向量为n2,=e,那么二面直角a-1-P的大小为8或冗一8.类型一利用空间向量证实空间位置关系例1如下图,向量直三棱ABC-ABiC中,ABC为等腰三角形,/BAC=90,且AB=AA,DE、 分别为BA、CC、BC的中点.标准文档证实：如图建立空间直角坐标系A-xyz,令AB=AA=4,那么A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),Bi(4,0,4).(1)取AB中点为N,那么N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),DE=-(2,4,0),NC=-(2,4,0),DE/NC,NC仁平面ABQDBZ平面ABGBF=(-2,

3、2-4),EF=(2,-2,-2),AF=(2,2,0).BFLEF=(-2)2(-2)(-4)(-2)=0,B1F_LAF,即B1F_LAF,又AF.FE=F,二B1F_L平面AEF.变式拓展在直三棱柱ABC-ABC中,/ABC=90,BC=2CC=4,点E在线段BB上,且EB=1,D、E、G分别为CC、CB、CA的中点.求证：(1)BIDL平面ABD平面EGF/平面ABD证实：(1)如下图,以B为坐标原点,BABCBB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,那么B(0,0,0,),D(0,2,2),B(0,0,4)T设BA=a,那么A(a,0,0),所以BA=(a,0,0),BD

4、=(0,2,2),实用文案(1)DE/平面ABCBFAEE二B1F.LEF,即BiF_LEF.=(-2)222(-4)0=0.1.BID=(0,2,-2)=0+44=0,即BID-LBA,BID-LBD,因此BD_L平面ABDa、,、皿,aT-1rE(0,0,3),G(a,1,4),F(0,1,4),那么EG=(一,1,1),EF=(0,1,1),BQLEG=0+22=0,22即因此B1DEGE结合(1)可知平面EGF/平面ABD标准文档实用文案类型二利用空间向量求线线角、线面角例2如图,四棱椎P-ABCD的底面为等腰梯开,AB/CD,ACBD垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点.(1)证

5、实：PELBC(2)假设/APB4ADB=6(5,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.解：以H为原点,HAHB,HP分别为x,y,z轴,线段HA的长为单位长,建立空间直角坐标系如图,那么A(1,0,0)B(0,1,0).、一、一一一 T1m-(1)证实：设C(m,0,0),P(0,0,n)(mv0,n0),可得PE=(1,U,n),BC=(m,1,0).22(2)由条件可得m=Y3,n=1,故C(Y3,0,0),D(0,233P(0,0,1).设n=(x,y,z)为平面PEH的法向量,那么二niHPy可以取n=(1,J3,0).由威=(1,0,1),可得cos(PA,n=变式拓展12.如图,

6、在四棱锥P-ABCD中,PA1面ABCDABBC,ABAD,且PA=AB=BC=AD=12-13xy4.,即,久,6因此(1)(2)(1)求PB与AD所成的角.求直线PD与面PAC所成的角的余弦值.1*PA=AB=BC=AD=1,2P(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0).PB-(1,0,-1),CD=(-1,1,0).cos；(PB,CD)=-100/2L.2标准文档标准文档实用文案(PB,CD)=120,PB与CD所成的角为600.PD=(0,2,1),AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),设m=(x,y,z)是平面PAC的一个法向量那么穆即(Z露,即x

7、=-y,z=0.x=1,那么m=(1,-1,0),设直线PD与面PAC所成的角为日,sine身PD0,.cos1-5即直线PD与PAC所成角的余弦值为,15O5类型三利用空间向量求二面角例3如图,AEC是半径为a的半圆,AC为直径,点E为AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FB=FD=、.5a,FE=,6a.(1)证实：EBFD;(2)点Q,R分别为线段FE,FB上的点,使得一22一FQ=-FE,FR=FB,求平面83平面RQD所成二面角的正弦值.(1)证实：；E为AC中点,AB=BCAC为直径,EB_LAD.EEF2=6a2=(=(、5a)2a2=BF2BE2,

8、.EBFB.又又VBFP1BD=B,.EB. .下而下而DF. .:FD干面干面DF,EBFD.解：如图：凌为原点解：如图：凌为原点, ,BE为x轴正方向,BD为y轴正方向轴正方向, ,过作平面过作平面BEC的垂能：建立空同直贿如林系能：建立空同直贿如林系, ,由此得由此得,C(0,a,0),E(a,0,0).E E变式拓展如图,在长方体ABCDAB1GD1中,E,FCF=AB=2CE,AB:AD:AA1=1:2:4.求异历直级求异历直级EF与AD所成角的余弦值；任明任明AF_L平面A1ED；. .求二面自求二面自A-EDF的正弦值.分别是BCCC的点,斛斛: :如下图如下图, ,建立空间直角

9、坐标系建立空间直角坐标系, ,点点A为坐标原点.设AB=1,依题意得D(0,2,0),F(1,2,1),3A1(0,0,4),E(1-,0).2,、T1-I()为得EF=(0,1),A1D=(0,2,4).2标准文档实用文案?FD=FB,BC=CD,.FC_BD.FC=2a-22.FQ=FE,FR=FB,3312T2T252R(0,a,a),RQ=BE=(a,0,0).:RD=(0,-a,a).333333设平面RQD的法向量为n1=(x,y,z)那么那么nLRD=0,n1_RQ=0,n1=(0,2,5).Vcosn5.二29sin(n1M2)=2-1-2929 . .平面平面D与平面RQD所

10、成二面角的正弦值为2,2929所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为, ,、一一,-r-r3()证实：身知AF=(1,2,1),EA1=(-1,4),2ED=(1,1,0),于是AFUEA1=0,AFUED=0.因此AF1EA,AF1ED.又EADED=E,2所以AF_L平面AED.()()设平面设平面EFD的法向量ri._nI/ /土与土与,、人一一u=(x,y,z),那么:圈卷即/不妨令x, ,可得可得u=(1,2,1).2y_.由由( () )可知可知, ,AF为平面AED的一个法向量.千曰7?uAF2于cosu,AF.uAF3r5从而sinu,AF=.3实用文案qpH.于正于正cos

11、所以二面角AEDF的正弦值为o3题型热点交汇如下图：在正方体如下图：在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱是棱DD1的中点.) )求亢统求亢统BE和平面ABB1A所成的角的正弦值；) )在校在校C1D1上是否存在一点F,使BF平面ABE?证实你的结设正方体的屐长为设正方体的屐长为. .如下图如下图, ,以以AB,AD,AA为单位正交基底建立空间直角坐标系.、一一11) )依题超依题超, ,将将B(1,0,0),E(0,1,),A(0,0,0),D(0,1,0),所以BE(-1,1,-),AD=(0,1,0).22标准文档论.解解: :实用文案在正方体ABCD-AiBiCiDi中,由于AD_

12、L平面ABBiA,所以AD是平面ABBiA的一个法向即直线BE和平面ABB1A所成的角的正弦值为-I()()依题依题& &得得A(0,0,i)BA=(=(i,0,i),设n=(x,y,z)是平面ABE的一个法向量,那么由i.所以x=z,y=z,取z=2,得n=(2,i,2).设F是棱CiDi工-xyzZ0.24上的点,那么F(t,i,i)(0tWi).又Bi(i,0,i),所以B1F=(t-i,i,0). .而BiF0平面ABE,于F=0=(-i,0)( (旬白旬白,2t()i)=i=CQ)的中点,这说明在棱CQ!上存在点FIGD)的中点),使BF平面ABE.变式拓展如下图如下图, ,直三棱柱直三棱柱ABCAB1cl中,AB_LAC,D、E分别为AA,BC的中点,DE_L平面BCCi()()设二面角设二面角ABDC为为, ,求求BC与BCD所成角的大小.( () )证实：以为坐祢原点证实：以为坐祢原点, ,射故射故AB为x轴的正半轴,建立坐标系a-xyz、r_i、一一Jb、设B(i,0,0)、C(0,b,0)、D(0,0,c)那么B(i,0,2c)、E(-,21,0),BC=(-i,b,0)由DE_L平面BCC,知DE_LBC量.设直线BE和平面ABB1A所成的角为日,BiF/平面AiBE-BlBicy所以AB=AC标准文档实用文案()()津津; ;设平面BCD