梁的弯曲变形与刚度

1、第 7 7 章梁的弯曲变形与刚度2 2第 7 7 章梁的弯曲变形与刚度7?77?7 梁的刚度7.7.17.7.1 梁的刚度条件计算梁的变形的主要目的是为了判别梁的刚度是否足够以及进行梁的设计.工程中梁的刚度主要由梁的最大挠度和最大转角来限定,因此,梁的刚度条件可写为：:Wmax兰W9max乞日7-10其中,Wmax=|WXh,GmJXh分别是梁中的最大挠度和最大转角,W,如分别是许可挠度和许可转角,它们由工程实际情况确定.工程中通常以度表示,而许可挠度通常表示为:w(1是梁长m是大的自然数m件,而转角的刚度条件是次要的刚度条件.7.7.27.7.2 刚度条件的应用与拉伸压缩及扭转类似,梁的刚度

2、条件有下面三个方面的应用(1)(1)校核刚度给定了梁的载荷,约束,材料,长度以及截面的几何尺寸等,还给定了梁的许可挠度和许可转角.计算梁的最大挠度和最大转角,判断其是否满足梁的刚度条件式(7 7 畀 5)5)上述两个刚度条件中,挠度的刚度条件是主要的刚度条和式(7-16)(7-16), ,满足那么梁在刚度方面是平安的,不满足那么不平安.很多时候工程中的梁只要求满足挠度刚度条件式(7-15)(7-15)即可,而梁的最大转角由于很小,一般情况下不需要校核.(2)(2)计算许可载荷给定了梁的约束,材料,长度以及截面的几何尺寸等,根据梁的挠度刚度条件式(7 7 畀 5)5)可确定梁的载荷的上限值.如果

3、还要求转角刚度条件满足的话,可由式(7-16)(7-16)确定出梁的另一个载荷的上限值,两个载荷上限值中最小的那个就是梁的许可载荷.(3)(3)计算许可截面尺寸给定了梁的载荷,约束,材料以及长度等,根据梁的挠度刚度条件式(7-15)(7-15)可确定梁的截面尺寸的下限值.如果还要求转角刚度条件满足的话,可由式( (7-16)7-16)确定出梁的另一个截面尺寸的下限值,两个截面尺寸下限值中最大的那个就是梁的许可截面尺寸例7?21如图7?41(a)所示的梁,其长度为大挠度不超过梁长的1/300时,试确定梁的许可载荷.L=1m,抗弯刚度为El=4.9105Nm2,当梁的最FF图7-41例7-21-F

4、一-一、,FL3处,也就是原梁的最大挠度在A点,为：WmaxVvmax3臼根据刚度条件有:3FLLw(b)2 2匚1 1?inn(b)所示的变形过程,等价于图7?(c41(c)所示的悬臂梁.梁的最大挠度在自由端BEl4.910Nm所以3?得：F2100L100X1m2r=4.910N=4.9kN故梁的许可载荷为：F=4.9kN7.7.3提升梁刚度的方法如前所述,梁的变形与梁的弯矩及抗弯刚度有关,而且与梁的支承形式及跨度有关.如图 7-427-42 所示.所以,在梁的设计中,当一些因素确定后,可根据情况调整其它一些因素以到达提升梁的刚度的目的,具体方法如下：抗弯刚度梁长图7?42影响梁变形的因(

5、1)(1)调整载荷的位置,方向和形式目的是降低梁的弯矩,这与提升梁的强度的方法相同C(2)(2)调整约束位置,增强约束或增加约束梁的变形通常与梁的跨度的高次方成正比,因此,减小梁的跨度是降低变形的有效途径.,如图 7-43(a)7-43(a)所示,工程中常采用调整梁的约束位置或增加约束来减小梁的跨度( (图 7-437-43( (b),(c),b),(c),还可以增强梁的约束减小梁的最大挠度(图 7?437?43(d)(d)(3)(3)提升梁的抗弯刚度选用弹性模量大的材料可提升梁的刚度,但采用此种方法是不经济的,即弹性模量大的材料价格较高.选择合理的截面形状可提升梁的刚度,如采用工字形,箱形或

6、空心截面等,增加截面对中性轴的惯性矩,既提升梁的强度也增加梁的刚度.但必须指出： 小范围内改变梁截面的惯性矩,对全梁的刚度影响很小,由于梁的变形是梁的各段变形累积而成,但此种情况对梁的强度影响很大.(a)(c)图743提升梁的刚度的举措7.87.8 梁的简单超静定问题如果梁弯曲时,仅由平衡方程无法求出梁的支反力,或由截面法无法求出梁的内力,那么这种问题称为梁的超静定问题,相应的梁称为超静定梁.如果平衡方程比未知数(可以是支反力,内力或梁的几何尺寸)少一个,那么称为一次超静定问题或简单超静定问题；少 n n 个那么称为 n n 次超静定问题,相应的梁称为一次超静定梁或 n n 次超静定梁.典型的

7、超静定梁如图 7-447-44 各图所示.显然,梁的超静定问题关键是求出梁的支反力或内力,从而就可以根据前述过程计算梁的应力和强度或者计算梁7.8.17.8.1 简单超静定梁问题的解法的变形和刚度.超静定梁的典型特征是约束过度,这种过度约束有可能 是 外 部 的 ( 图 7-44(a)-(d),7-44(a)-(d), 也 有 可 能 是 内 部 的 ( 图7-44(e)(f)7-44(e)(f) )o o 过度的约束称为多余约束,如图 7-47-45 5 所示,一次超静定梁通常有一个多余约束,而 n n 次超静定梁通常有 n n 个多余约束.AB?1、多余约束多余约束多余约束多余约束(b)二

8、次超静定梁(c)三次超静定梁(a)一次超静定梁图7-45超静定梁的多余约梁的超静定问题的解法与拉压及扭转超静定问题的解法类似,即：a a列出梁的整体或部分平衡方程,判别梁是否是超静定梁以及其超静定次数.b b在多余约束处列出梁的变形协调方程.c c在多余约束处列出梁的物理方程.d d将物理方程代入协调方程得到补充方程,即可求解多余约束处的反力 或内力 .一旦梁的内力求出后,即可按梁的正常过程计算梁的应力和变形,从而可解决超静定梁的强度和刚度问题.很多时候梁是否超静定梁以及其超静定次数可直观判断.而梁在多余约束处的反力往往只需要变形协调方程和物理方程即可求解,因此,实际求解梁的简单超静定问题时,

9、具体方法就是在多余约束处应用叠加法.其步骤如下：1 1 确定简单超静定梁的某个约束为多余约束图 7-467-46a a, ,解除该约束代以未知反力图 7-467-46b bo o 解除多余约束后的静定梁称为静定基图 7-467-46c co o2,2,简单超静定梁现简化为梁上实际载荷和多余约束处的未知反力共同作用下的静定梁图 7-467-46b bo o 根据叠加法,该静定梁可分解为两个梁的叠加：一是实际载荷作用在静定基上的情况,也就是原超静定梁直接去掉多余约束后得到的梁,假设其在多余约束处产生的挠度或转角为( (图 7-46(d)7-46(d) )o o 二是多余约束处的未知反力作用在静定基

10、上的情况,假设其在多余约束处产生的挠度或转角为酿(图 7?467?46(e)(e) )o o 由叠加法可算出图 7?467?46(b)(b)所示的梁在多余约束处的挠度或转角为？仲3 3 如果简单超静定梁在多余约束处存在的实际挠度或转角为田(图 7?467?46(f),(f),那么由叠加法,应有变形协调条件：?Sx伊二(7-11)(7-11)直接求解该方程,即可得到多余约束处的反力.4 4 利用梁的整体平衡方程可求出梁的其它支反力,从而可计算梁的内力,应力或变形,也可计算问题.梁的强度和刚度来(c)(c)静定基Xj(b)(b)BlP PQ Q(f,女氽约束图7?46简单超静定梁的解法的方向,假设

11、某个方向的挠度或转角规定为正的话,那么其反方向的挠度或转角就为负.另外,如图 7-477-47 所示,根据叠加法,未知反力作用在静定基上在多余约束处产生的挠度或转角 f f 可以写成标准的形式,为：f f 频), ,其中“是单位力作用在静定基上在多余约束处产生的挠度或转角.所以,式(7?11)(7?11)可写为：必须注意,挠度或转角等有两种可能门11X1/F-1(7-12)(7-12)上式称为简单超静定梁的正那么方程,是求解各种简单超静定问题的根本方程.图7-47未知反力产生的挠度或转角y(a(b(b) )(b)第-种简化方式静定基图7?48静定基的不同选择占B八、可简化为不同形式的静定梁的叠

12、加.静定基的选择不一样如图 7-47-4 所示的超静定梁, ,其静定基就有两种不同时,相应的变形协调方程也不一样.的选择,一种选择为悬臂梁,是将右边支座看成是多余约束；另一种选择为简支梁,是将左边支座的转动约束看成是多余约束.通常静定基选择的原那么是越简单越好.例7-22如图7-49a所示,己知梁的抗弯截面系数为W,抗弯刚度为EI,许用应力为二,梁长为L,载荷集度为q.1作梁的剪力图和弯矩图并求梁的许可载荷.2求梁的最大挠度所在的位置.3还必须注意,静定基的选择并不是唯一的,即超静定梁为提升梁的承载水平,可将右边支座提升少许,求支座提升的最正确值以及此种情况下梁的许可载荷,梁的承载水平提升了多

13、少？R(bqL-xR解：1作梁的剪力图和弯矩图并求梁的许可载荷7-49(b)所示.多余约束处的实际挠度为零,即?tr=0,所以有:空一=03EI8EI未知约束反力在多余约束处产生的挠度为：RL3:1xo3EI梁的剪力图和弯矩图如图7?50所示.qL2.3E0.6L9qL23ql81285qL3EIj向上考虑梁的整体平衡可求11固定端处的反力为RA向上也逆时针mA实际载荷在多余约束处产生的挠度为IFqL48EI图7?50例7-22梁的剪力图和弯矩r图7-51例7-22支座提升后梁的剪力图和弯矩梁在距离固定端0.6L处有一极值弯矩max9qL2128而梁的最大弯矩在固定端为max乎所以,由梁的强度

14、条件有：8max那么梁的许可载荷为:0】一Lq飞二max2梁的最大挠度所在的位置阖设最大挠度的位置离固定端的距离为示.由右段梁的平衡,有：因最大挠度所在处的转角为零,所以由叠加法左边梁在白由端的转角为矩处.3九6臼qx2EIMAoEl代入上式整理后得(o,1)区间的解为：15?3316(3)支座提升的最正确值以及此种情况下梁的许可载荷.由图7?54(d)所示,此时多余约束处有实际挠度RL3qL43EI8EI支座处的支反力为:3EI1F和2F分别是实际载荷作用在静定基上时在1号和2号多余约束处所产生的位移.特别要注意,多余约束反力人和2可以是集中力也可以是集中力偶,而式7-19中的两个协调方程可以是线位移的协调方程也可以是角位移的协调方程.式7/3还可以写成矩阵形式：?11、GJ(7-14)22FJ式7畀3或式7/4称为二次超静定结构问题的正那么方程；是一线性代数方程组,宜接求解即可得到未知反力Xi和Xz