保险第六章习题

1、【例6.1】李明今年20岁，如果他能活到60岁，它将能从保险公司得到1000元的一次性给付。设年利率为6%，试写出这笔给付在李明20岁时的现值。解：李明从20岁活到60岁的概率是，从20岁到60岁死亡的概率为（），如果活到60岁，他可以获得1000元给付，死亡则没有给付。因此，他获得给付的期望值为： 【例6.2】设n>t，证明并解释下面两个式子：（1）（2）证明：（1）（2）将两边同乘以，得： 【例6.3】张华今年30岁，从今年起，只要他存活，可以在每年年初获得1000元的生存给付，假设年利率为9%。计算这一年金的精算现值。解：这是一个每年给付1000元的终身生存年金，每一次给付经过折现

2、后在30岁时的价值总和合即为这笔年金在30岁时的精算现值。因此，给付的现值是： 【例6.4】某人今年45岁，花费10000元购买了一份年金产品，保单承诺从下一年开始，每年可以领到等额的给付，已知利率i=5%,一句附表中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，试计算每年可以领取的金额。解：这是一个期末负终身年金的例子，题目中已经给出了这份年金购买时的现值，要求计算年金每次的给付额。设每次的给付额为p，有 而 故 P=661.03（元）【例6.5】王明在40随时购买了一份年金产品，承诺在未来20年内，如果他存活，则可以在每年年初领取1000元的给付，一旦死亡，则给付立即停止

3、。20年期满，保单自动中止，无论20年后是否存活，不再继续给付。以附表中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，假设预定利率为i=6%，使计算这笔年金的精算现值。解：其精算现值为： =11882.82（元）【例6.6】某人在30随时购买了一份年金，约定的给付为：从51岁起，如果被保险人生存，每年可以得到5000元的给付，直到被保险人死亡为止。设年利率为6%，存活函数为，试计算这笔年金在购买时的精算现值。解：由存活函数可得生存概率： 又因为 因而这笔年金的精算现值为： =12358.09（元）【例6.7】对于（30）的从60岁起每年年初6000元的生存年金，预定利率为6%

4、，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，求保单的趸缴净现值。解：有公式（6.13），保单的趸缴净保费为： =10787.38（元）【例6.8】某人在35随时购买了一份年金产品，这份年金将从他60岁退休起的25年内，每年年初给付5000元生存年金。给定利率为6%，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合），计算这一年金的精算现值。解：其精算现值为： =11683（元）【例6.9】某30岁的人投保养老保险，保险契约规定，如果被保险人存活的60岁，则确定给付10年年金，若被保险人在6069岁间死亡，由其指定的受益人继续领取，知道领取满十年为止。如果被

5、保险人在70岁仍然存活，则从70岁起以生存为条件得到年金。如果年仅每年年初支付一次，一次支付6000元，预定利率为6%，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）资料，计算保单趸缴净保费。解:趸缴净保费为： 【例6.10】如果一个x岁的人获得了一份每年1单位元的连续年金，试用随机变量y表示给付变量的现值。（1） 用（x）的余寿随机变量T的函数表示y（2） 利用y是T的函数这一条件计算年金的精算现值（3） 死亡给付1单位元终身寿险的精算现值的随机变量是Z，给付Y也Z之间的关系。（4） 利用（3）中的关系，用表示解：（1） （2） （3）因为 所以 （4） 【例6.11】已知某人

6、的生命具有常数死亡力，设利息力，试计算:(1)(2)超过的概率.解：(1)已知死亡力，则 （2） 【例6.12】在例6.7中，若年金每月支付一次，求趸缴额。解：趸缴净保费为： 【例6.13】某保单提供从60岁起每月500元的生存年金，如果被保险人在60岁前死亡，则在死亡年末给付10000元。设预定利率为6%，如果某人30岁时购买了这种保单，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，求这一年金的精算现值。解：这一保单包括年金与寿险两种保险形式，其精算现值是两种保险精算值之和，其中年金精算现值与例6.12相同。 【例6.14】若某人30岁购买从60岁起支付的生存年金，契

7、约规定：在被保险人60-69岁时，每年的给付额为6000元，70-79岁每年的给付额为7000元，80-89岁每年的给付额为8000元。在预定利率6%下，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合），计算保单的趸缴净保费。解：这是一个变额年金，其趸缴净保费为： 【例6.15】某人在50随时购买了一份终身生存年金，给付从51岁开始，每年一次，给付额在第一年为5000元，第二年为5500元，第三年为6000元，即给付额每年增长500元。计算这笔年金的精算现值。解：我们可以把这个年金看做是一个每年支付4500元的等额年金加上一个以500元开始每年增长500元的等差递增年金。其精算现

8、值为： 如果已知 则 【例6.16】某人在40岁时购买了一份10年期变额年金，从41岁起，每年的给付额依次为10000、8000、6000、4000、2000、2000、4000、6000、8000、10000元。假设预定利率为6%，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，计算这一年金的精算现值。解：只是一个等差递增年金和一个递减年金的组合，前5年是递减年金，后5年是递增年金，其精算现值为： 应用转换函数： 则 所以 【例6.17】某人在30岁时购买了从60岁起领取的生存年金，60岁的领取额为10000元，以后每年的领取额在上年的基础上增加4%。在利率4%下，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，计算这一年金的精算现值。解：这一年金在被保险人60岁时的精算现值为： 年金在被保险人30岁时的现值为： 18某人40岁时投保了3年期1000元定期寿险，保险金在死亡年末赔付，利率为0.05,求现值。（）19设，利息强度为常数，求 与Var(L)。20已知x岁的人购买保额1000元的完全离散型终身寿险的年保费为