三角形中的四心与向量

1、三角形中的四“心与向量平面几何中的三角形四“心,即三角形的内心内角平分线的交点,内切圆的 圆心、重心中线的交点、垂心高线的交点、外心各边垂直平分线的交 点,三角形外接圆的圆心.在引入向量这个工具后,我们可以通过向量来表示 三角形的四“心,这样使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清 楚的熟悉.、重心:unir uuur uuur r例1、O是VABC所在平面上白一点,假设 OA OB OC 0,那么O是VABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心uur uuir uuur ruuur uuiruuurunr uuur【解析】假设OA OB OC 0 ,那么OA OB= OC ,以OA,O

2、B为邻边作平行uuir uuur uuuu,四边形OAC B,设OC与AB交于点D ,那么D为AB中点,有OA OB=OC ,uuur uuur得OC=OC,即C,O,D,C四点共线,故CD为VABC的中线,同理AE,BF亦为VABC的中线,所以O是VABC的重心例2、O是平面上一定点,A, B,C是平面上不共线的三点,动点 P满足uuuruuur uuur uuurOP OA(AB AC),0,那么动点P的轨迹一定通过VABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心uuur【解析】上式可化为APuuur uuuruuur uuur(AB AC),当 (0,)时,由于(AB AC)表示BC边上的中线

3、所在直线的方向向量,故动点P的轨迹一定通过VABC的重J.、Ouuu 2例3、在VABC内,存在一点P ,使PAuuir 2PBuuur 2PC 最小,贝U点P是VABCA.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】利用解析法 设A,B,C三点坐标分别为(xi,0), y2),(x3, y3),点P的坐标为(x, y),uuu 2PAunr 2 PBumr 2PC (x222222xi) (y yi) (x x2)(y y) (x x3) (y 代)3x2 2( xi、2222222x2x3)xxix2x33y2(yiyy3)yyiy y当且仅当x xi x2 x3,y3yiy23unr 2 uur

4、 2时,PA PBuuur 2PC取最小值,即点P是VABC 的重心例4、O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点 P满足 uuur uuurw1r uu(rABACOP OA(-uttr -duur),(0,),那么动点P的轨迹一止通过AB sin B AC sin CVABC 的A.外心B.内心umr 【解析】由正弦定理得AB sin BC.重心D.垂心uuuruuirAC sinC,故可设 AB sin BuuurAC sinC =uuuruuur uuu ab贝U OP OA(-uuurAB sin BuuurAC uuruuuruutr)= OA + (ABAC sin

5、 CUULTAC),- (0,),设UULTUUir UULT UUHTt 一,那么 AP t(AB AC) 2tAM (t (0,),其中 M 为 BC 边的中点,所以A,P,M三点共线,即点P的轨迹是从A点出发经过M点的射线(除去A点),故点P的轨迹一定通过VABC的重心.二、内心：uuu uiur uult例5、三个不共线的向量OA,OB,OC满足uuir uuur AB OA ( uuirABuuu CA uuu ) CAuurOBuurBA(-uuurBAuuuCB uuuu-) CBuuirOCuuuBC(uuu-BCuuu CA -umu-) CA是VABC的A.外心B.内心C.

6、重心D.垂心uuu uuir uiur【解析】由于OA,OB,OC均与VABC的外角平分线垂直,所以O为内心.例6、O是VABC所在平面上的一点,A, B, C所对的边分别为a,b,c,uuu uuuaOA bOBuuur cOCr0 ,那么O是VABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心uuu 由于OAuuurOBuuurb OC cr 0,uuu 所以OAuuu(OAuuur 所以AObcuurAB) buuuAB(a b c) ( cuur (OAuuir AC 石")uurAC)r0,uuu那么 OA(a buuruuurc) AB b AC cr 0,同理可证:例7、uurO

7、PbcuuuAB(-uuu(a b c) ABuuur AC uuur ) AC,所以AO平分 BAC ,BO平分 ABC , CO平分 ACB,从而O为 ABC的内心.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点 P满足uuurOAuuurAB (uuurABuuurAC、 uuur ),AC(0,那么动点P的轨迹一定通过VABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】上式可化为uuurAP (uuu AB uuu ABuuur AC Ac(0,uuiruuur AB AC)时,由于 (ruutrr ruutri)ABAC表示 BAC的平分线所在直线的方向向量,故动点P的轨迹一定

8、通过VABC的内心.三、外心:uuui2例8、设O为VABC所在平面上一点,假设OAuuui2OBuuLT2OC,那么O是VABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心LUT2 UUUT2 UUUT 2【解析】假设OA OB OC ,UUU 2那么OAUUIT 2OBUULT 2uurOC ,即 OAUUUTOBUULTOC ,那么O是VABC的外心.例9、.是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点 P满足UUUT UULTUUT ob ocOPUULT/ AB(-UUtTAB cosBUUUTACUULT ACcosC),那么动点P的轨迹一定通过VABC的A.外心B.内心C.重心D.

9、垂心【解析】UUIT UULTOB OCBC的中点,当 0,时,UUUT/ AB(-UtfcFAB cosBUULTACUUUTAC cosCUUIT表小垂直于BC的向量,所以点P在BC的垂直平分线上,故动点P的轨迹一定通过VABC的外心.四、垂心:例10、在同一平面上有VABC及一点O满足关系式:UUU2 UULT 2OA BCUUUT2 UUU 2 UULT2OB CA OCUULT 2AB,那么O是VABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】UHT2 ULUT2OA BCULL12 OBUUT 2 CAULM 2 OCUULT 2 ABUUU 2 UUIT2(OA OB )UUIT

10、 2 (BCUUT2CA ) 0UULT (OAUULTOB)UUT(OAUULTOB)UUUT (BCUUUCA)UULT UUU(BC CA)UULT (OAUULTOB)UUTBAUUIT UULTBA (BCUUUCA) 0UUIT UUITBA (OAUUUT UUITOB BCUUUCA) 0UUTBAUULT(2OC)UUITBAUULTOCUUUTLULT UUUT,同理 AO BC , BOUUUTAC ,故.是VABC的垂心.例11、设O为VABC的外心,UUT UUU平面上一点P使OP OAUUIT UULTOB OCVABC 的A.外心B.内心C.重心D.垂心uumuu

11、t uuir【解析】OP OA OBuuurOCuuirOPuuirOAuuirOBuuurOCuuurAPuuirOBuuirOCunr uuur unrAP BC (OBuuurOC)unr BCuuir (OBuuurOC)UULT (OCuuuOB)uiur 2OCuiur 2OB而O为VABC的外心,故uutr uuur uuuBP AC,CPUULTAB ,故点例12、O为空间中一点,动点uuir (OPunr uiurOA) (ABuiurAC) 0 ,A.外心B.内心uuruuuulut OCuuirOB ,imr uiuruuur即 AP BC =0, APP是VABC的垂心

12、.UULTBC ,同理P在A,B,C三点确定的平面的平面内且满足那么点P的轨迹一定通过VABC 的uuiruuir【解析】由于(OP OA) (AB AC)的轨迹一定通过VABC的垂心.例13、P是VABC所在平面上一点,VABC 的A.外心B.内心uuuPAuuurPBUULT uuurPB PCuuurC.重心D.垂心uuirPAuurPBuuirPBuuuPCuuur uiur0 ,所以 AP CB=0UULT ,即APuuuCB ,故点PuuuPC PA ,uuu uuurPA PBUUTPBuuurPCuuu uuirPA PBC.重心uiurPBuurPBuurPCuuurPCuu

13、uPA ,那么P是D.垂心uuu (PAunrPC)UUT UUTPB CA 0uuirPBuuuCA ,同理可证uuurPCuuiruuuAB, PAuuur BC ,所以P是VABC的垂心.例14、O是平面上uuirOPuuuOAuuur/ AB(-UtLTAB cosBJEM ,uuir ACA,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足uttrAC cosC),(0,),那么动点P的轨迹一定通过VABC 的A.外心B.内心C.重心D.垂心uuur【解析】上式可化为APunrAB(-uutrAB cosBuuurACunrAC), cosC(0,),所以uuur imrAP BCuuur )BCuuur/ AB(-uuur|AB cosBuuurACutuFAC cosCunr uuur ,AB BC (-uuurAB cosBuuur