第二章--误差与不确定度-本章要点：

1、第二章第二章 误差与不确定度误差与不确定度 本章要点：本章要点： u误差的概念与表示方法误差的概念与表示方法 u随机误差、系统误差和粗大误差的随机误差、系统误差和粗大误差的特性和处理方法特性和处理方法 u测量不确定度的概念和评定方法测量不确定度的概念和评定方法 u 测量数据处理的方法测量数据处理的方法 本章是测量技术中的基本理论，搞测量就得本章是测量技术中的基本理论，搞测量就得与误差打交道。与误差打交道。 2.12.1 误差的概念与表示方法误差的概念与表示方法 误差误差= =测量值测量值- -真值真值 例如，在电压测量中，真实电压例如，在电压测量中，真实电压5V5V，测得的电压为，测得的电压为

2、5.3V5.3V，则，则 误差误差= 5.3V - 5V = +0.3V = 5.3V - 5V = +0.3V 真值真值为为“表征某量在所处的表征某量在所处的条件条件下下完善完善地地确定确定的量值的量值”。真值真值是一个理想的概念。是一个理想的概念。真值客观存在，却难以获得。真值客观存在，却难以获得。 实际值实际值-实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际值作为真值使用。值作为真值使用。“实际值实际值”“约定真值约定真值”。 2.1.1 2.1.1 测量误差测量误差 例如：例如：现在是什么时间？现在是什么时间？ 能准确地报出北京时刻吗？能准确地报出

3、北京时刻吗？2.1.3 2.1.3 误差的表示方法误差的表示方法 相对误差相对误差 绝对误差绝对误差 1.1.绝对误差：绝对误差： 定义：被测量的定义：被测量的测量值测量值x x与其与其真值真值A A0 0之差，称为绝对误差。之差，称为绝对误差。 在实际测量中：在实际测量中： “约定真值约定真值”“实际值实际值”= = A A 表示表示 修正值：与绝对误差大小相等，符号相反的量值称为修正值，修正值：与绝对误差大小相等，符号相反的量值称为修正值，一般用一般用C C表示表示 C C= = x x= =A Ax x 大小大小 正负正负 单位单位 x x = =x xA A0 0 x x= =x xA

4、 A2 2 相对误差：相对误差： 例：例： 用二只电压表用二只电压表V V1 1和和V V2 2分别测量两个电压值。分别测量两个电压值。V V1 1 表测量表测量150150伏，绝对误差伏，绝对误差 x x1 1=1.5=1.5伏，伏， V V2 2 表测量表测量1010伏，伏， 绝对误差绝对误差 x x2 2=0.5=0.5伏伏 从绝对误差来比较从绝对误差来比较 x x1 1 x x2 2 谁准确？谁准确？ x1 11 11 11 1. .5 5= =1 10 00 0% % = =1 10 0% % = =1 1% %U U1 15 50 0 x2 22 22 20.50.5=100% =

5、100% =100% =100% =5%5%U10U10用用相对误差相对误差便于比较便于比较 - -表示相对误差表示相对误差相对误差可以有多种形式：相对误差可以有多种形式： x0 0= =1 10 00 0% %A Ax= =1 10 00 0% %A Axxx x= =1 10 00 0% %xxm mm m=100%100% = S%= S%真值相对误差真值相对误差 实际值相对误差实际值相对误差 测量值（示值）相对误差测量值（示值）相对误差 满度（或引用）相对误差满度（或引用）相对误差 常用常用因通常因通常 A A0 0、A A、X X X X 故常用故常用X X方便方便测量值相对误差测量

6、值相对误差 x x与满度相对误差与满度相对误差S%S%的关系：的关系： xxxxxxx xxxxm mm mm mx xm mm m= = 1 10 00 0% %= = 1 10 00 0% %= = 1 10 00 0% %= = S S% %xxm mx x= =S S% %测量值测量值x x靠近满量程值靠近满量程值x xmm相对误差小相对误差小电工仪表将满度相对误差分为七个等级：电工仪表将满度相对误差分为七个等级： 等级等级一一二二三三四四五五六六七七S%S%0.10.10.20.20.50.51.01.01.51.52.52.55.05.0例：检定量程为例：检定量程为100A100A

7、的的2 2级电流表，在级电流表，在50A50A刻度上标准表刻度上标准表读数为读数为49A49A，问此电流表是否合格？，问此电流表是否合格？ 解：解： x x0 0=49A =49A x x=50A =50A x xmm=100A=100Ax xx0 0m mm m- -5 50 0- -4 49 9= = 1 10 00 0% %= = 1 10 00 0% %= =1 1% % 2 2% %1 10 00 0（二级表）（二级表） 2.1.4 2.1.4 误差按性质分类误差按性质分类随机误差随机误差 系统误差系统误差 粗大误差粗大误差 随机误差随机误差-不可预定方式变化的误差（同不可预定方式变

8、化的误差（同随机变量随机变量）系统误差系统误差-按一定规律变化的误差按一定规律变化的误差粗大误差粗大误差-显著偏离实际值的误差显著偏离实际值的误差2.1.5 2.1.5 测量结果的评价测量结果的评价 系统误差系统误差 小，准确度高小，准确度高 A A或或A AX Xi iX Xi i随机误差随机误差 小小 ，精密度高，精密度高 A AA A或或X Xi i系统误差和随机误差都较小，称精确度高系统误差和随机误差都较小，称精确度高 A A或或X Xi iX Xi i x= x= + + + ( + (粗大误差粗大误差) )2.1.6 2.1.6 不确定度不确定度 不确定度是建立在误差理论基础上的一

9、个不确定度是建立在误差理论基础上的一个新概念新概念。 在传统误差理论中，总想确定在传统误差理论中，总想确定“真值真值”，而真值却又难以确定，而真值却又难以确定，导致测量结果带有不确定性。导致测量结果带有不确定性。 国际上开始寻求以最佳方式估计被测量的值，引入了不确定度的国际上开始寻求以最佳方式估计被测量的值，引入了不确定度的概念。概念。不确定度愈小不确定度愈小，测量结果的质量愈高，测量结果的质量愈高，愈接近真值愈接近真值，可信，可信程度愈高。程度愈高。A AX=AX=Axxx偏离真偏离真值的大值的大小小总想总想确定确定“真真值值”误差误差Y=yY=yU UU U被测量可被测量可能分散的能分散的

10、程度程度真值所真值所处范围处范围的估值的估值不确定度不确定度y2.2 2.2 随机误差随机误差 2.2.1 2.2.1 定义与性质定义与性质 测量术语测量术语：“等精度测量等精度测量”在相同条件（同一人、同一仪器在相同条件（同一人、同一仪器同一环境、同一方法）下，对同一量进行重复测量，称为等精度同一环境、同一方法）下，对同一量进行重复测量，称为等精度测量。测量。 随机误差随机误差定义定义：在等精度测量下，误差的绝对值和在等精度测量下，误差的绝对值和符号都是不定值，称为随机误差，也称偶然误差、符号都是不定值，称为随机误差，也称偶然误差、或然误差，简称随差。或然误差，简称随差。 随机误差概念随机误

11、差概念-不可预定方式变化的误差（同随机变量）不可预定方式变化的误差（同随机变量）举例：举例：对一电阻进行对一电阻进行n n=100=100次等精度测量次等精度测量表表 2.22.2 按大小排列的等精度测量结果按大小排列的等精度测量结果 测量值测量值x xi i（ ）相同测值出现次数相同测值出现次数mmi i相同测值相同测值出现的概率出现的概率P Pi i=m=mi i/n/n9.959.952 20.020.029.969.964 40.040.049.979.976 60.060.069.989.9814140.140.149.999.9918180.180.1810.0010.002222

12、0.220.2210.0110.0116160.160.1610.0210.0210100.100.1010.0310.035 50.050.0510.0410.042 20.020.0210.0510.051 10.010.01P P( (x x) ) x x0 0 随机误差性质：服从随机误差性质：服从正态分布正态分布，具有以下，具有以下4 4个特性个特性： 对称性对称性绝对值相等的正误差与负绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等；误差出现的次数相等； 单峰性单峰性绝对值小的误差比绝对值绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多；大的误差出现次数多； 有界性有界性绝对值很大的误差出现的绝对值

13、很大的误差出现的机会极少，不会超出一定的界限；机会极少，不会超出一定的界限； 抵偿性抵偿性当测量次数趋于无穷大，当测量次数趋于无穷大，随机误差的平均值将趋于零。随机误差的平均值将趋于零。 2.2.2 2.2.2 随机误差的统计处理随机误差的统计处理 随机误差与随机变量的类同关系随机误差与随机变量的类同关系 1.1.数学期望数学期望 设设x x1 1，x x2 2，x xi i，为离散型随机变量为离散型随机变量X X的可能取值，相应的可能取值，相应概率为概率为p p1 1，p p2 2，p pi i，其级数和为其级数和为 若若 绝对收敛，则称其和数为数学期望，记为绝对收敛，则称其和数为数学期望，

14、记为E E( (X X) ) iipxiiipxXE1)(1iip（2.132.13）x x1 1p p1 1+ +x x2 2p p2 2+x xi ip pi i+= += iiipx1（2.122.12） 在统计学中，在统计学中， 期望与均值是同一概念期望与均值是同一概念1211nniixxxxxnn（2.142.14） 算术平均值算术平均值与被测量的真值最为接近，由概率论的大数定律与被测量的真值最为接近，由概率论的大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值可知，若测量次数无限增加，则算术平均值 x必然趋于必然趋于实际值实际值。 2.2.方差、标准差方差、标准差方差是用来描述随机变量

15、可能值对期望的分散的特征值。方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值。 随机变量随机变量X X的方差为的方差为X X与其期望与其期望E E（X X）之差的平方的期望，）之差的平方的期望，记为记为D D（X X），即），即 2D( )=E -E(X)XX（2.152.15） 例：两批电池的测量数据例：两批电池的测量数据 n nX X0 0X Xx xi in nX X0 0X Xx xi i测量中的随机误差也用方差测量中的随机误差也用方差 )(2x来定量表征：来定量表征： n22ii=11 (x)=(x-x)n式中式中 i( - )x x是某项测值与均值之差，称为是某项测值与均值之差，称

16、为剩余误差剩余误差或或残差残差，记作记作 ii=( - )v x x。将剩余误差平方后求和平均，扩大了。将剩余误差平方后求和平均，扩大了离散性，故用方差来表征随机误差的离散程度。离散性，故用方差来表征随机误差的离散程度。标准差标准差方差的量纲是随机误差量纲的平方，使用不方便。为了与随机方差的量纲是随机误差量纲的平方，使用不方便。为了与随机误差的量纲统一，常将其开平方，用标准差或均方差表示，记误差的量纲统一，常将其开平方，用标准差或均方差表示，记作作n2ii=11=(x -x)n（2.162.16） 应当指出，剩余误差应当指出，剩余误差 i i应包含系统误差应包含系统误差 和随机误差和随机误差

17、i i，因这里，因这里只讨论随机误差，故认为系统误差已消除，即只讨论随机误差，故认为系统误差已消除，即 Vx xiiii=+ = = -正态分布正态分布 在概率论和误差理论的研究中，已充分论证了绝大多数随机误差在概率论和误差理论的研究中，已充分论证了绝大多数随机误差的分布规律都可以用正态分布来描述，正态分布的概率密度函数的分布规律都可以用正态分布来描述，正态分布的概率密度函数为正态分布为正态分布 221-(x-)p(x)=exp22当知道正态分布的两个基本参数：算术平均值当知道正态分布的两个基本参数：算术平均值 x和标准差和标准差 ，该，该正态分布的曲线形状则基本确定。正态分布的曲线形状则基本

18、确定。 P P( (x x) ) x x0 0给出了给出了 x = 0时，三条不同标准差的正态分布曲线：时，三条不同标准差的正态分布曲线： 123 。标准差小，曲线尖锐，说明测量误差小的数据。标准差小，曲线尖锐，说明测量误差小的数据占优势大，即测量精度高。占优势大，即测量精度高。x x( ( ) )0 0 1 1 2 2 3 3 1 12 23 3本书附录本书附录A A给出了正态分布在对称区间的积分表。其中给出了正态分布在对称区间的积分表。其中xx xxxx-E( )-Z=( )( )ak=（2.182.18）式中式中k k为置信因子，为置信因子，a a为所设的区间宽度的一半。为所设的区间宽度

19、的一半。 K=1K=1时，时， K=2K=2时，时， K=3K=3时，时， P P( (x x ) ) 0 0. .9 95 54 45 5P P( ( x x ) )0 0. .9 99 97 73 3P P( (x x ) ) 0 0. .6 68 82 27 7图图2.7 2.7 正态分布下不同区间出现的概率正态分布下不同区间出现的概率 2.2.3 2.2.3 有限次测值的算术平均值和标准差有限次测值的算术平均值和标准差 上述正态分布是（上述正态分布是（n n）下求得的，但在实际测量中只能进行）下求得的，但在实际测量中只能进行有限次测量有限次测量1.1.有限次测量的算术平均值有限次测量的

20、算术平均值 对同一量值作一系列等精度独立测量，其测量列中的全部测量对同一量值作一系列等精度独立测量，其测量列中的全部测量值的算术平均值与被测量的真值最为接近。值的算术平均值与被测量的真值最为接近。 设被测量的真值为设被测量的真值为 ，其等精度测量值为，其等精度测量值为x x1 1，x x2 2，x xn n，则，则其算术平均值为其算术平均值为 n12nii=111x= (x +x +.+x )=xnn（2.192.19） 由于由于 x的数学期望为的数学期望为 ，故算术平均值就是真值，故算术平均值就是真值 的无偏估计值。的无偏估计值。实际测量中，通常以算术平均值代替真值。实际测量中，通常以算术平

21、均值代替真值。2.2.有限次测量数据的标准差有限次测量数据的标准差贝塞尔公式贝塞尔公式 上述的标准差是在上述的标准差是在n n的条件下导出的，而实际测量只能做到的条件下导出的，而实际测量只能做到有限次。当有限次。当n n为有限次时，可以导出这时标准差为为有限次时，可以导出这时标准差为 xx xn2ii=11s( )=( - )n-1（2.202.20） 这就是贝塞尔公式。由于推导中不够严密，故这就是贝塞尔公式。由于推导中不够严密，故 )(xs被称为被称为标标准差的估值，也称实验标准差。准差的估值，也称实验标准差。3.3.平均值的标准差平均值的标准差 在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对同一

22、量值分在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对同一量值分mm组组进行测量，每组重复进行测量，每组重复n n次测量，则每组数列都会有一个平均值，次测量，则每组数列都会有一个平均值，由于随机误差的存在，这些平均值并不相同，围绕真值有一定由于随机误差的存在，这些平均值并不相同，围绕真值有一定分散性。这说明有限次测量的分散性。这说明有限次测量的算术平均值还存在着误差算术平均值还存在着误差。当需。当需要更精密时，应该用算术平均值的标准差要更精密时，应该用算术平均值的标准差 x来评价。来评价。 已知算术平均值已知算术平均值 x为为 nii=11=nxx n m 1 2 m n m 1 2 m 1 1 x

23、x11 11 x x21 21 x xm1m1 2 2 x x1212 x x22 22 x xm2m2 . . . . n n x x1n1n x x2n2n x xmnmn 1( )s x1x2( )s x( )ms x2xnxs( )s( )=nxx在概率论中有在概率论中有“几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量方差之和随机变量方差之和”的定理，可进行下面推导的定理，可进行下面推导nn222222ii12n22i= 1i= 1111s(x)=s(x)= s( x)= s(x)+s(x)+.+s(x)nnn)()()()(222212xxx

24、xn )(1)(1)(2222xnxnnxnxx)()(因因 故有故有 所以所以 当当n n为有限次时，用标准差的估值即可，则为有限次时，用标准差的估值即可，则 nxsxs)()(（2.212.21） 结论结论：（：（2.212.21）式说明，算术平均值的标准差是任意一组）式说明，算术平均值的标准差是任意一组n n次次测量样本标准差的测量样本标准差的 n分之一。即算术平均值的标准差估值分之一。即算术平均值的标准差估值 )(xs比样本标准差的估值比样本标准差的估值 )(xs比样本标准差的估值比样本标准差的估值 )(xs小小 n倍，倍， 表明了各组平均值再平均以后数值更集中了。这是由于随机误表明了

25、各组平均值再平均以后数值更集中了。这是由于随机误差的抵偿性，测量次数越多，抵消程度越大，平均值离散程度差的抵偿性，测量次数越多，抵消程度越大，平均值离散程度越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。所越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。所以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差。以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差。意义意义：（：（2.212.21）式给实际测量带来了方便，人们只要测量一组）式给实际测量带来了方便，人们只要测量一组数据，求得标准差，将其除以数据，求得标准差，将其除以 ，则相当于得到了多组数据，则相当于得到了多组数据n的算术平均值的标准差。的

26、算术平均值的标准差。归纳归纳：有限次测值的算术平均值和标准差有限次测值的算术平均值和标准差计算步骤：计算步骤：(1)(1)列出测量值的数据表列出测量值的数据表 (2)(2)计算算术平均值计算算术平均值 1211nniix xxxxnn ()iivxx221111( )()11nniiiis xxxnn(3)(3)残差残差 (4)(4)标准差的估计值标准差的估计值（实验标准差）（实验标准差） ( )( )s xs xn(5)(5)算术平均值标准差的估计值算术平均值标准差的估计值 第一次课到此第一次课到此作业：作业：9 9、1010、1111例例2.6 2.6 对某信号源的输出频率进行了对某信号源

27、的输出频率进行了8 8次测量，得测量值次测量，得测量值 ix的序列的序列( (见表见表2.3) 2.3) 。求测量值的平均值及标准偏差。求测量值的平均值及标准偏差。 表表2.3 2.3 例例2.62.6所用数据所用数据iv序号序号1 12 23 34 45 56 67 78 8x xi i (kHz) (kHz)1000.821000.821000.791000.791000.851000.851000.1000.34341000.1000.78781000.1000.91911000.1000.76761000.1000.82820.060.060.030.030.090.09-0.42-0

28、.420.020.020.150.150.000.000.060.06解解: (1): (1)平均值（注意平均值（注意, ,这里采用的运算技巧）这里采用的运算技巧） nii=110.01x=x =1000+(82+79+85+34+78+91+76+82)=1000.76kHzn82110.2155( )0.17517inis xvn(2)(2)用公式用公式 xxvii计算各测量值残差列于表计算各测量值残差列于表2-32-3中中(3)(3)标准差估值标准差估值 ( ) 1.767( )0.628s xs xn(4)(4) x的标准偏差的标准偏差 因整数位不变因整数位不变2.15 对某直流稳压电

29、源的输出电压Ux进行了10次测量，测量结果如下：求输出电压Ux的算术平均值及其标准偏差估值005. 50054. 5)7110941526113(101001. 0000. 5101iU解：解：U Ux x的算术平均值的算术平均值 1012)(91)(iUUiUs101232222222222)10(6 . 1)4 . 6(6 . 46 . 3)4 . 9(6 . 9)4 . 7(6 . 06 . 5)4 . 2(91i10123)10(56. 296.4016.2196.1236.8816.9276.5736. 036.3176. 591iV006. 00062. 0104 .353916标

30、准偏差估值标准偏差估值 残差残差 次数12345678910电压/V5.0035.0115.0064.9985.0154.9965.0095.0104.9995.007残差(103V)-2.45.60.6-7.49.6-9.43.64.6-6.41.62.2.4 2.2.4 测量结果的置信度测量结果的置信度 1.1.置信置信度度与置信与置信区间区间 ( (百分比百分比) ) ( (范围范围) ) 置信度置信度（置信概率）就是用来描述测量结果处于某一（置信概率）就是用来描述测量结果处于某一范围范围内可内可靠程度的量，一般用百分数表示。靠程度的量，一般用百分数表示。 置信区间置信区间，即所选择的这

31、个范围，一般用标准差的倍数表示，即所选择的这个范围，一般用标准差的倍数表示，)(xk如如 给定给定2 2个标准差个标准差 )(2x范围内数据的可信度是百分之几？范围内数据的可信度是百分之几？条件：必须先知道测值的分布，才能讨论置信问题。条件：必须先知道测值的分布，才能讨论置信问题。 P(x)E(x)x0k(x)k(x)置信度置信度？%区间区间2.2.正态分布下的置信度正态分布下的置信度K=1K=1时，时， K=2K=2时，时， K=3K=3时，时， 6827. 0)(xP9545. 0)(xP9973. 0)(xPk k=3=3时，即在以时，即在以3 3倍标准差倍标准差3 3 区间内，随机误差

32、出现的概率为区间内，随机误差出现的概率为99.73%99.73%，而在这个区间外的概率非常小。，而在这个区间外的概率非常小。 图图2.7 2.7 正态分布下不同区间出现的概率正态分布下不同区间出现的概率68.3%68.3%95.4%95.4%99.7%99.7% 3. t3. t分布下的置信度分布下的置信度 （n20n200n200） i3 3s s（x x） 2 2 肖维纳检验法肖维纳检验法（判则不严）（判则不严） a3 3 格拉布斯检验法格拉布斯检验法（理论与实验证明较好）（理论与实验证明较好）maxG Gs s在一组测量数据中，可疑数据应极少。否则，说明系统工作不在一组测量数据中，可疑数

33、据应极少。否则，说明系统工作不正常。正常。 P P( (x x) )E E( (x x) )x x0 0kk( (x x) )kk( (x x) )-3s-3s-a-a- -GGs s3s3sa aGGs s2.3.4 2.3.4 应用举例应用举例 例例 2.12 2.12 对某温度进行多次等精度测量，所得结果列于表对某温度进行多次等精度测量，所得结果列于表2.72.7中，中，试检查数据中有无异常。试检查数据中有无异常。表表2.7 2.7 例例 2.122.12所用数据所用数据序号序号测得值测得值x xi i残差残差v vi i序号序号测得值测得值x xi i残差残差v vi i序号序号测得值

34、测得值x xi i残差残差v vi i1 120.4220.42+0.016+0.0166 620.4320.43-0.026-0.026111120.4220.42+0.016+0.0162 220.4320.43+0.026+0.0267 720.3920.39-0.014-0.014121220.4120.41+0.006+0.0063 320.4020.40-0.004-0.0048 820.3020.30-0.104-0.104131320.3920.39-0.014-0.0144 420.4320.43+0.026+0.0269 920.4020.40-0.004-0.004141

35、420.3920.39-0.014-0.0145 520.4220.42+0.016+0.016101020.4320.43+0.026+0.026151520.4020.40-0.004-0.004(1(1）莱特检验法莱特检验法 ： 从表中可以看出从表中可以看出x x8 8=20.30=20.30残差较大，是个残差较大，是个 可疑数据，可疑数据， 404.20 x033. 0)(xs80.10483 ( )s x411.20 x016. 0)(xs3 ( )0.033 30.0991s x 3 ( )0.016 30.048s x 故可判断故可判断x x8 8是异常数据，应予剔除。再对剔除后

36、数据计算得是异常数据，应予剔除。再对剔除后数据计算得 其余的其余的1414个数据的个数据的 i均小于均小于 3 ( )s x ，故为正常数据。，故为正常数据。 （2 2）肖维纳检验法肖维纳检验法 以以n n=15=15查表查表 2.52.5得得 k k=2 .13=2 .13Ks(xKs(x)= 2.13 )= 2.13 0.033= 0.07 0.033= 0.07 80.07故用肖维纳检验法故用肖维纳检验法 8也是异常数据，剔除后也是异常数据，剔除后再按再按n n=14=14查表查表2.52.5得得k k=2.10=2.10 ( )2.10 0.0160.034ks x i均小于均小于 )

37、(xs，故余下的均为正常数据。，故余下的均为正常数据。 （3 3）按）按格拉布斯检验法格拉布斯检验法 取置信概率取置信概率 P Pc c=0.99=0.99，以，以 n n=15=15查表查表2.62.6得得 GG=2.70=2.70G Gs=2.7s=2.70.033=0.090.033=0.09 8，剔除，剔除x x8 8后重新计算判别，后重新计算判别，得得n n=14=14，p pc c=0.99=0.99下下GG值为值为 2 26666G GS S 2.66 2.66 0.016 0.016 0.040.04 可见余下数据中无异常值。可见余下数据中无异常值。 2.42.4 系统误差系统

38、误差 上面所述的随机误差处理方法，是以测量数据中不含有系统上面所述的随机误差处理方法，是以测量数据中不含有系统误差为前提。误差为前提。 实际上，测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系统实际上，测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系统误差数值还比较大。误差数值还比较大。 对系统误差的研究较为复杂和困难，研究新的、有效的发现和对系统误差的研究较为复杂和困难，研究新的、有效的发现和减小系统误差的方法，已成为误差理论的重要课题之一。减小系统误差的方法，已成为误差理论的重要课题之一。 2.4.1 2.4.1 系统误差的产生原因系统误差的产生原因 系统误差是系统误差是由固定不变的或按确定规律变

39、化的因素所造成由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成，这些误差因素是可以掌握的。这些误差因素是可以掌握的。1.1.测量装置方面的因素测量装置方面的因素 仪器机构设计原理上的缺点，如指针式仪表零点未调整正确；仪器机构设计原理上的缺点，如指针式仪表零点未调整正确；仪器零件制造和安装不正确，如标尺的刻度偏差、刻度盘和仪器零件制造和安装不正确，如标尺的刻度偏差、刻度盘和指针的安装偏心、仪器各导轨的误差、天平的臂长不等；仪器指针的安装偏心、仪器各导轨的误差、天平的臂长不等；仪器附件制造偏差，如标准环规直径偏差等。附件制造偏差，如标准环规直径偏差等。 2.2.环境方面的因素环境方面的因素 测量时的实际温

40、度对标准温度的偏差、测量过程中温度、湿度测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中温度、湿度等按一定规律变化的误差。等按一定规律变化的误差。 3.3.测量方法的因素测量方法的因素 采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差。采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差。 4.4.测量人员方面的因素测量人员方面的因素由于测量者的个人特点，在刻度上估计读数时，习惯偏于某一由于测量者的个人特点，在刻度上估计读数时，习惯偏于某一方向；动态测量时，记录某一信号有滞后的倾向。方向；动态测量时，记录某一信号有滞后的倾向。2.4.2 2.4.2 系统误差的检查和判别系统误差的检查和判别 系统误差（简称

41、系差）的特征是：系统误差（简称系差）的特征是： 恒定系差恒定系差-多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变；多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变；变值系差变值系差-条件改变时，误差按一定的规律变化。条件改变时，误差按一定的规律变化。 1.1.恒定系统误差的检查和处理恒定系统误差的检查和处理 恒定系差（恒差）常用的判断方法有以下几种恒定系差（恒差）常用的判断方法有以下几种 1)1)改变测量条件改变测量条件 测量条件指测量者、测量方法和环境条件等，在某一测量条件下有许多恒差测量条件指测量者、测量方法和环境条件等，在某一测量条件下有许多恒差为一确定不变值，如改变测量条件，就会出现另一

42、个确定的恒差，例如，对为一确定不变值，如改变测量条件，就会出现另一个确定的恒差，例如，对仪表零点的调整仪表零点的调整。 2)2)理论分析计算理论分析计算凡属由于测量方法或测量原理引入的恒差，只要对测量方法和测量原理进行凡属由于测量方法或测量原理引入的恒差，只要对测量方法和测量原理进行定量分析定量分析，就可找出，就可找出系差的大小。（分压比校准）系差的大小。（分压比校准）3)3)用高档仪器比对、校准用高档仪器比对、校准 用高档仪器定期计量检查，可以确定恒差是否存在，如电子秤校验后，则知用高档仪器定期计量检查，可以确定恒差是否存在，如电子秤校验后，则知其是偏大还是偏小。用校准后的修正值（数值、曲线

43、、公式或表格）来检查其是偏大还是偏小。用校准后的修正值（数值、曲线、公式或表格）来检查和消除恒差。和消除恒差。 4)4)统计法统计法（排除随机误差，剩下即系统恒差排除随机误差，剩下即系统恒差） 下面分析恒定系统误差对测量结果的影响。下面分析恒定系统误差对测量结果的影响。 设一系列重复测量值为设一系列重复测量值为x x1 1，x x2 2，x xn n，测量值中含有随机误差，测量值中含有随机误差 i i 和恒定和恒定系统误差系统误差 ，设被测量的真值为，设被测量的真值为x x0 0，则有，则有iixx0当当n n足够多时，足够多时， 01nii010)(11xnnxnxnxniii01nii上式

44、表明，当测量次数上式表明，当测量次数n n足够大时，随机误差对足够大时，随机误差对 x的影响可忽略，而系统的影响可忽略，而系统中。利用修正值中。利用修正值 C C= = 可以在进行平均前的每个测量值可以在进行平均前的每个测量值x xi i误差误差 会反映在会反映在x中扣除，也可以在得到算术平均值后扣除。对于因测量方法或原理引入的中扣除，也可以在得到算术平均值后扣除。对于因测量方法或原理引入的恒定系差，可通过理论计算修正。恒定系差，可通过理论计算修正。 2. 2. 变值系差的判定变值系差的判定 常用的有以下两种判据：常用的有以下两种判据： 1)1)剩余误差观察法剩余误差观察法 （a a）剩余误差

45、大体上正负相间，且无显著变化规律，可认为不存在系统误差；）剩余误差大体上正负相间，且无显著变化规律，可认为不存在系统误差； （b b）剩余误差有规律的递增或递减，且在测量开始与结束误差符号相反，则）剩余误差有规律的递增或递减，且在测量开始与结束误差符号相反，则 存在线性系统误差；存在线性系统误差；（c c）变值系统误差剩余误差符号有规律地由正变负，再由负变正，且循环交替）变值系统误差剩余误差符号有规律地由正变负，再由负变正，且循环交替 重复变化，则存在周期性系统误差；重复变化，则存在周期性系统误差； （d d）则同时存在线性和周期性系统误差。若测量列中含有不变的系统误差，）则同时存在线性和周期

46、性系统误差。若测量列中含有不变的系统误差， 用剩余误差观察法则发现不了。用剩余误差观察法则发现不了。 vv0 0n n图图2.13 2.13 变值系差示意图变值系差示意图(c)(c)n nvv0 0n nv v0 0n nv v0 0(a)(a)(b)(b)(d)(d)2) 2) 累进性系差的判别累进性系差的判别马利科夫判据马利科夫判据 图图2.13(a)(b)2.13(a)(b)表示了与测量条件成线性关系的累进性系统误差，如由于蓄电表示了与测量条件成线性关系的累进性系统误差，如由于蓄电池端电压的下降引起的电流下降。在累进性系差的情况下，残差基本上向一池端电压的下降引起的电流下降。在累进性系差

47、的情况下，残差基本上向一个固定方向变化。个固定方向变化。 马利科夫判据是常用的判别有无累进性系差的方法。具体步骤是：马利科夫判据是常用的判别有无累进性系差的方法。具体步骤是： 将将n n项剩余误差项剩余误差 i按顺序排列；按顺序排列； 分成前后两半求和，再求其差值分成前后两半求和，再求其差值DD 当当n n为偶数时为偶数时 2/112/ninniiiD当当n n为奇数时为奇数时 nniiniiD2/ ) 1(2/ ) 1(1若若 则说明测量数据存在累进性系差。则说明测量数据存在累进性系差。0D（2.412.41） iii前一半前一半 后一半后一半 3)3)周期性系差的判别周期性系差的判别阿贝阿

48、贝赫梅特判据赫梅特判据周期性系差的典型例子是当指针式仪表度盘安装偏心时，会产生这种周期性周期性系差的典型例子是当指针式仪表度盘安装偏心时，会产生这种周期性系差。系差。 如图如图 2.142.14（a a）所示，如钟表的轴心在水平方向有一点偏移，设它的指针在）所示，如钟表的轴心在水平方向有一点偏移，设它的指针在垂直向上的位置时造成的误差为垂直向上的位置时造成的误差为 ，当指针在水平位置运动时，当指针在水平位置运动时 逐渐减小至零，逐渐减小至零，当指针运动到垂直向下位置时，误差为当指针运动到垂直向下位置时，误差为-，如此周而复始，造成的误差如图，如此周而复始，造成的误差如图2.142.14（b b

49、）所示，这类呈规律性交替变换的系统误差称为周期性系统误差。）所示，这类呈规律性交替变换的系统误差称为周期性系统误差。 0 0 9090180180 270270 0 0t t(a)(a)(b)(b)图图2.14 2.14 周期性系差实例周期性系差实例 以 钟 表以 钟 表为例为例阿贝阿贝赫梅特判据赫梅特判据 具体步骤是具体步骤是： 把测量数据把测量数据I I 项剩余误差项剩余误差 i按测量顺序排列；按测量顺序排列； 将将 两两相乘，然后求其和的绝对值两两相乘，然后求其和的绝对值i11113221.niiinn（2.422.42） 用贝塞尔公式求方差用贝塞尔公式求方差 niinxs12211)(

50、 再与方差相比较，若再与方差相比较，若 12111 ( )niiinsx（2.432.43）则可认为存在周期性系统误差。则可认为存在周期性系统误差。 存在变值系统误差的数据原则上应舍弃不用。存在变值系统误差的数据原则上应舍弃不用。但是，若虽然存在变值系差，但是，若虽然存在变值系差，而剩余误差最大值处于允许范围以内，则测量数据可用。而剩余误差最大值处于允许范围以内，则测量数据可用。第第2 2次课到此次课到此作业：作业：1313、1414、1717、1818、1919、20202.4.4 2.4.4 等精度测量结果的数据处理（等精度测量结果的数据处理（重点内容重点内容） 当对某被测量进行等精度测量

51、时，测量值中可能含有系统误差、随机误差和当对某被测量进行等精度测量时，测量值中可能含有系统误差、随机误差和粗大误差，为了给出正确合理的结果，应按下述基本步骤对测得的数据进行粗大误差，为了给出正确合理的结果，应按下述基本步骤对测得的数据进行处理。处理。1)1)对测量值进行修正，列出测量值对测量值进行修正，列出测量值x xi i 的数据表的数据表2)2)计算算术平均值计算算术平均值 3)3)列出残差列出残差 4)4)按贝塞尔公式计算标准差的估值按贝塞尔公式计算标准差的估值 11niixxn()iivx x211( )1niis xn()()s xs xn5)5)按莱特准则按莱特准则 3 ( )is

52、 xmaxGs( )Axks x，或格拉布斯准则，或格拉布斯准则 粗大误差；若有粗大误差，应逐一剔除后，重新计算粗大误差；若有粗大误差，应逐一剔除后，重新计算 ，检查和剔除，检查和剔除和和s s，再判别，再判别x直到无粗大误差；直到无粗大误差； 6)6)判断有无系统误差，如有应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量；判断有无系统误差，如有应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量； 7)7)算术平均值标准差的估计值算术平均值标准差的估计值8)8)写出最后结果的表达式，即写出最后结果的表达式，即 式中式中k k为置信因子，可查表为置信因子，可查表2.42.4。 例例2.14 2.14 对某电压进行

53、对某电压进行1616次等精度测量，测量数据次等精度测量，测量数据x xi i中已记入修中已记入修正值，列于表正值，列于表2.82.8中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。序号序号测量值测量值x xi i(V(V) )残差残差v vi i残差残差v vi i序号序号测量值测量值x xi i(V(V) )残差残差v vi i残差残差v vi i1 1205.30205.300.000.00+0.09+0.099 9205.71205.71+0.41+0.41+0.50+0.502 2204.94204.94-0.36-0.36-0.27-0.27101

54、0204.70204.70-0.60-0.60-0.51-0.513 3205.63205.63+0.33+0.33+0.42+0.421111204.86204.86-0.44-0.44-0.35-0.354 4205.24205.24-0.06-0.06+0.03+0.031212205.35205.35+0.05+0.05+0.14+0.145 5206.65206.65+1.35+1.35-1313205.21205.21-0.09-0.090.000.006 6204.97204.97-0.33-0.33-0.24-0.241414205.19205.19-0.11-0.11-0.02-0.027 7205.36205.36+0.06+0.06+0.15+0.151515205.21205.21-0.09-0.090.000.008 8205.16205.16-0.14-0.14-0.05-0.051616205.32205.32+0.02+0.02+0.11+0.11解：解：(1)(1)求出算术平均值求出算术平均值 30.205161161iixx(2)(2)计算计算 xxvii列于表中列于表中, ,并验证并验证 01niiv(3)(3)计算标准偏差估值计算标准偏差估值: : 4434.