空间位置关系地判断与证明

1、模块框架里面的基木性质 对平面的进一步认识 口，力空间问题 截面问题空间外宣关系的判断与i咀,对空间位置关系的判断平行关条的.判的气止明1垂立关系的判断与证明平行与垂直关系综&证明且!呦归高考要求空间中的线 面关系要求层 次重难点空间线、面的位置关系B 理解空间直线、平面位置关系的定 义，并了解如下可以作为推理依据的公 理和定理.公理1 :如果一条直线上的两点 在一个平面，那么这条直线上所有的点 在此平面.公理2 :过/、在同一条直线上的 三点，有且只有一个平囿.公理1,公理2,公理3, 公理4,定理*A公理3:如果两个不重合的平囿 有一个公共点，那么它们有且只有一条 过该点的公共直线

2、.公理4:平行于同一条直线的两 条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边 与另一个角的两边分别平行，那么这两 个角相等或互补.以立体几何的上述定义、公理和 定理为出发点，认识和理解空间中线面 平行、垂直的有美性质与判定.理解以下判定定理.如果平囿外一条直线与此平囿的 一条直线平行，那么该直线与此平面平 行.如果一个平面的两条相交直线与 另一个平囿都平行，那么这两个平囿平 行.如果一条直线与一个平面的两条 相交直线都垂直，那么该直线与此平囿 垂直.如果一个平囿经过另一个平囿的 垂线，那么这两个平向互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明.如果一条直线与一个平面平行， 经过该直线的任一个平囿与此

3、平囿相 交，那么这条直线就和交线平行.如果两个平行平囿同时和第三个 平面相交，那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平囿的两条直线平 行.如果两个平囿垂直,那么一个平 面唾直于它们交线的直线与另一个平面 垂直.能运用公理、定理和已获得的结 论证明一些空间位置关系的简单命题.*公理1:如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面.公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.且HQe知识内容1 .集合

4、的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子 集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：点A在直线l上，记作：A l ;点A不在直线l上，记作A l ;点A在平面 ，记作：A ;点A不在平面 ，记作A ;直线l在平面 （即直线上每一个点都在平面），记作l ;直线l不在平面 （即直线上存在不在平面的点），记作l ;直线l和m相交于点A ,记作1Plm A,简记为l 口 m A ;平面 与平面 相交于直线a ,记作 。 a .2 .平面的三个公理： 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点都在这个平面.图形语言表述：如右

5、图:符号语言表述：A l,B l,A ,B l公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面, 也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面.图形语言表述：如右图，符号语言表述： A,B,C三点不共线有且只有一个平面使 A ,B ,C . 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且 只有一条过这个点的公共直线.图形语言表述：如右图：符号语言表述：A P P|a, A a .如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面 的交线.3 .平面基本性质的推论：推论1:经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面.推

6、论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面.4 .共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面，那么我们说它们共面.教师备案1.公理1反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一 个平面有公共点，那公共点要么只有一个， 要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面.2 .公理2可以用来确定平面， 只要有不在同一条直线上的三点， 便可以得到一 个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的. 要强调这三点必须不 共线，否则有无数多个平面经过它们.确定一个平面的意思是有且仅有一个平面.3 .公理3反应了两个平面的位置关系， 两个平面（一般都指两个不重合的平面） 只要有公共点，它们的交

7、集就是一条公共直线. 此公理可以用来证明点共线或 点在直线上，可以从后面的例题中看到.4 .平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到.推论1与2直接在直线上取点，利用公理1与2便可得到结论，推论3是由平行的定义得到存在性的，再由公理2保证唯一性.线线关系与线面平行1 .平行线：在同一个平面不相交的两条直线.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.公理4 （空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角 相等.2 .空间中两直线的位置关系：共面直线：平行直线与相

8、交直线；异面直线：不同在任一平面的两条直线.3 .空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形.这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线.如右图中的空间四边形 ABCD ,它有四条边 AB,BC,CD,DA ,两条对角线 AC,BD .其中AB,CD; AC,BD; AD,BC是三对异面直线.AC4 .直线与平面的位置关系:直线l在平面 ：直线上所有的点都在平面，记作 l ,如图；直线l与平面 相交：直线与平面有一个公共点 A；记作1。 A,如图;直线1与平面 平行：直线与平面没有公共点，记作1/ ，如图.5 .直线

9、与平面平行的判定定理：如果不在一个平面的一条直线和平面的一条直线平行，那 么这条直线和这个平面平行.符号语言表述：1 ,m ,1 /m1 / .图象语言表述：如右图：6 .直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行.符号语言表述：1/ ,1,。 m 1/m.图象语言表述：如右图：教师备案1.画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行;2 .等角定理证明：已知：如图所示，BAC和 BAC的边AB/AB , AC /AC ,且射线AB与AB同向，射线AC与AC同向.求证： BAC B AC证明：X于 BAC和 B A

10、C在同一平面的情形，在初中几何中已经证明， 下面证明两个角不在同一平面的情形.分别在 BAC的两边和 B A C的两边上截取线段AD、AE和 人口、人£,使八口 AD ,AE AE,因为AD£/A'D',所以AADD是 平行四边形所以 AA/DD .同理可得 AA/VEE ,因此DD /_/EE .所以DD E E是平行四边形.因此DE DE .于是 ADE ADE .所以 BACB AC .3 .根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线 的平行线，得到两条相交直线， 这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面 直线成的角.异面直线所成

11、角的围是 (0,- 24 .线面平行判定定理(l ,m ,l /m l / / ),即线线平面，则线面平行.要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行( l/m),所以它们可以 确定一个平面 ， 与已知平面 的交线恰为m ,若线面不平行，则线面相 交于一点，此点必在两个平面的交线 m上，从而得到l与m相交，与已知矛盾.5 .线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共 面且无交点）.面面平行的判定与性质1 .两个平面的位置关系两个平面 ，平行：没有公共点，记为 / ;画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图:两个平面，相交，有一条交线， p l

12、 .2 .两个平面平行的判定定理：如果一个平面有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.符号语言表述：a ,b，af|b A,a / ,b/ / .推论：如果一个平面有两条相交直线分别平行于另一个平面的两条相交直线，则这两个平面平行.3 .两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号语言表述：/,。 a, P b a / /b.图象语言表述：如右图:教师备案1.画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它,平面被遮住的部分画成虚线或不画.如右图所示：2 .面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的 两个平面相交，则这两条相

13、交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只 能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾.故这两个平面不相交，是平行平 面.3 .面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到.4 .在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化， 要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论.由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解.由于线面与面面问题之间都是互相转化的， 因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题. 本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行

14、，一种方法线线平行线面平行，另一种方法是面面平行线面平行.线面垂直1 .线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直.由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直.2 .直线与平面垂直：概念：如果一条直线和一个平面相交于点O ,并且和这个平面过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直.这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段.垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面的任意一条直线垂直.画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面

15、的平行四边形的一边垂直，如右图.直线l与平面互相垂直，记作l线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平 面垂直.推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.教师备案1 .如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90 .2 .线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化 为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判 断.若 AA' m, AA' n, m要证明判定定理，只能用定义,n B

16、, m,n ,要证 AA'在平面任选一条直线g ,去证AA' g ,结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略.3 .线面垂直的性质定理，可以用同一法证明,如图:m'直线l ,m ,若直线l,m不平行，则过直线l与平面 的交点B作直线 m'/l ,从而有m'.又相交直线 m,m'可以确定一个平面，记f a则因为m,m'都垂直于平面，故m,m'都垂直于交线a .这与在一个平面，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾.故m,m'重合，m/l ,性质定理得证.由同一法还可以证明：过一点与已知平

17、面垂直的直线只有一条.点面距离与线面角（一）主要方法：本板块所学容为点面距离与线面角，求点面距离有两种方法，首先可以通过直接法作面的垂线，其次可以通过体积法转化， 或者将问题转化为与面平行的直线上的点到面的距离；线面角问题属于线面关系的一种，是线面垂直与面面垂直定理的应用.1 .点、斜线、斜线段及射影点在直线上的射影自点 A向直线l引垂线，垂足 A叫做点A在直线l上的射影.点A到垂 足的距离叫点到直线的距离.点在平面的射影自点 A向平面 引垂线，垂足A叫做点A在平面 的射影，这点和垂足 间的线段叫做这点到平面的垂线段.垂线段的长度叫做这点到这个平面的距离.斜线在平面的射影一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直， 这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段，叫做这点到平面的斜线段.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这平面的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面的射影.2 .直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：直线和平面斜交时，线面所成的角是这条直线和它在平面的射影所成的锐角；直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小