上海高二数学矩阵及其运算有详细答案

1、矩阵及其运算一.初识矩阵 (一)引入：uur引例1：已知向量OP1,3 ,如果把OP的坐标排成一列，可简记为引例2: 2008年北京奥运会奖牌榜前三位成绩如下表:我们可将上表奖牌512128363836 ;2321282x3:将方程组3x4x（二）矩阵的概念1、上述形如2、在矩阵中,b1b2bn奖项 国家(地金牌银牌铜牌中国512128美国363836俄罗斯2321283y2ymz4znz若将常数项增加进去,5136232138212836 、28水平方向排列的数组成的向量中未知数x, y, z的系数按原来的次序排列则可简记为:可简记为这样的矩形数表叫做矩阵。耳e2,an称为行向量;垂直方向排

2、列的数组成的向量称为列向量；由m个行向量与n个列向量组成的矩阵称为n阶矩阵，m n阶矩阵可记做51Am n,如矩阵1为2 1阶矩阵，可记做 A21;矩阵363232138212836为3 3阶矩阵，可记做A3 3。28有时矩阵也可用 A、B等字母表示。3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n阶矩阵Am n中的第i (i m)行第j ( j n)21 o0 0，人为一个2 3阶零矩阵。0 05、当一个矩阵的行数与列数相等时,这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n行（列），可称此51方阵为n阶方阵，如矩阵 3621 2838 36、均为三阶方阵。在一个 n阶方阵中，从左2321 28上

3、角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1,其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵110,_八_为2阶单位矩阵，矩阵 00 100为3阶单位矩阵。6、如果矩阵 同阶矩阵, A B 。A与矩阵B的行数和列数分别相等，那么A与B叫做同阶矩阵；如果矩阵A与矩阵当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做相等的矩阵，B是记为7、对于方程组2x3x3y2ymz 14z 2中未知数x, y,z的系数按原来的次序排列所得的矩阵4xnz 44 ,我们叫做方程组的 系数矩阵；而矩阵 312叫做方程组的 增广矩阵。51 21 28列数可用字母a。表示，如矩阵 36 38 36第3行第

4、2个数为a3223 21 284、当一个矩阵中所有元素均为 0时，我们称这个矩阵为 零矩阵。如00阶段 姓名第1组第2组第3组第4组总成绩张娟娟26272928110朴成贤29262628109一 2 x例2、已知矩阵A, B2x a 2b2a且A B ,求a、b的值及矩阵A。 y（三）、应用举例：例1、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的各阶段成绩 表：（1）将两人的成绩各阶段成绩用矩阵表示；（2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。例3、写出下列线性方程组的增广矩阵:2x 3y 1(1) ;4x y 6(2)2x2y3y3z2z 5 0(2)例4、已

5、知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组:(1)例5、已知矩阵sincos为单位矩阵，且sincos, ，求 sin 2的值。（四）、课堂练习：1、请根据游戏“剪刀、 则为0）。石头、布”的游戏规则，作出一个3阶方阵（胜用1表示，车用 1表示，相同2、奥运会足球比赛中国队所在 中国平新西兰1 ： 1 巴西胜新西兰5 : 0（1）试用一个4阶方阵表示这C组小组赛单循环比赛结果如下:巴西胜比利时1 ： 0中国负巴西0 : 34个队之间的净胜球数;（2）若胜一场可得3分，平一场得1分，负一场得0分,中国负比利时0 ： 2比利时胜新西兰0 ： 1（以中国、巴西、比利时：新西兰为顺序排列）试写出一个4

6、阶方阵表示各队的得分情况；（排列顺序与（1）相同）（3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（ 各队名次。二、矩阵的三种基本变换1）、（2）两个矩阵确定（一）、复习引入：弓I例、根据下列增广矩阵，写出其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程组解的关系,从中你能得到哪些启发?(1)(2)1(3)1(4)(二)32136、矩阵的三种基本变换(5)新课讲解:1361(6)013(1)(2)(3)通过上面练习，我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换：互换矩阵的两行；把某一行同乘（除）以一个非零的数；某一行乘以一个数加到另一行。显然，通过以上三个基本

7、变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后 一个列向量给出了方程组的解。（三）、应用举例：例1、已知每公斤五角硬币价值132元，每公斤一元硬币价值 165元，现有总重量为两公斤的硬币,总数共计462个，问其中一元与五角的硬币分别有多少个？（来自网上“新鸡兔同笼问题”例2、用矩阵变换的方法解三元一次方程组例3、运用矩阵变换方法解方程组:ax2x4x7x5x3y 2 y b3y2y2y3z54的解。(a、b为常数)说明:(1)符合情况i)时，方程组有唯一解，此时两个线性方程所表示的直线相交；(2)符合情况ii)时，两个线性方程所表示的直线平行，此时方程组无解；(3)符合情况ii

8、i)时，两个线性方程所表示的直线重合，此时方程组有无穷多解。(四)、课堂练习：用矩阵变换方法解下列问题:(1)若方程组 x y 2的解x与y相等，求k的值。(k 1)x (k 1)y 4(3)解方程组:第二次称量(2)有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的天平恰好平衡, 如果每只祛码质量均为 5克，每只黑球和白球的质量各是多少克？三、矩阵运算(对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什 么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容1 .相等定义如果两个矩阵A30 mn(1)(2)则称矩

9、阵行、列数相同，即 对应元素相等，即 A与矩阵B相等,m s, na。bj (P；=1,2,，m； j = 1,2,，n ),(由矩阵相等定义可知, 矩阵记作 A = B同等式表示两个n矩阵相等，等价于元素之间的 m n个等式.)例如,“ a11A=321a12a13a22a23那么A = B,当且仅当311 = 3 , 312 = 0,313 = -5a2i = -2322 = 1C= G1 G2C21c22C11, C12,C21,C22取什么数都不会与矩阵B因为B C这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵 C中的元素 相等.2.加法定义2.3设A20，Bbiij s p是两个m n矩阵,则称

10、矩阵a2n6nb2nC二ana2i3b21a12 a22bl2b22为A与B的和，记作am1bm1am2bm2amnbmnaijbij.)（由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算同样，我们可以定义矩阵的减法:B = A + (- B ) = aijbj称D为A与B的差.例1设矩阵A =34-，求 A + B, A - 1例2、矩阵Acoscostantantan tan101(0, 2)，(2,)，求sin 恐的值。矩阵加法满足的运算规则是什么?3.数乘为任意实数，则称矩阵C 0为数定义2.4 设矩阵Aa.ij m n '与矩阵A的数乘，其中Cijaj (i

11、 1,2, ,m;j 1,2, n),记为C = A.特别地，当 =-1（由定义2.4可知，数 乘一个矩阵A,需要用数 去乘矩阵A的每一个元素 时， A = - A,得到A的负矩阵.）3例3设矩阵A =475 ,用2去乘矩阵A,求2A.数乘矩阵满足的运算规则是什么?对数k , l和矩阵A = aH, B = bii满足以下运算规则:ij m nij m n1.数对矩阵的分配律：k （ A + B ） = kA + kB；例4设矩阵A =50 , B=832 ，求 3A - 2 B.7例5 .给出二元一次方程组a1x b1ya2x b2yc1存在唯一解的条件。C24.乘法某地区甲、乙、丙三家商场

12、同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵A表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量(单位：台),用B表示两种家用电器的单位售价(单位：千元)和单位利润(单位：千元)：III单价利润20102511183.5 B=50.81.2III用矩阵C = cj 3 ,表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，那么C中的元素分别为3 2总总收利入润20 0.8 10 1.225 0.8 11 1.218 0.8 9 1.2c11g2203.5105C =c21c22=253.5115C31c32183.59512028142.5133.210825.2其中，矩阵C中的第 行第j列的元素是矩阵 A

13、第行元素与矩阵B第j列对应元素的乘积之和矩阵乘积的定义设A=aij是一个ms矩阵，B= bj是一个sn矩阵，则称m n矩阵C = cj为矩阵 A与 B 的乘积，记作 C= AB 其中 Cij = ai1b1 j + a2b2 j + + a s bs j =(= 1, 2,m j = 1,2,，n ).(由矩阵乘积的定义可知：)(1) 只有当左矩阵A的列数等于右矩阵 B的行数时，A B才能作乘法运算AB；(2) 两个矩阵的乘积 AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵 A的行数，它的列数等于右矩阵 B的列数;(3) 乘积矩阵AB中的第 行第j列的元素等于 A的第 行元素与B的第j列对应元素的乘积之和，

14、故简称行乘列的法则.8 ,计算AB10例7设矩阵A=由例6、例7可知当乘积矩阵 AB有意义时,求AB和BABA不一定有意义；即使乘积矩阵 AB和BA有意义时,例6设矩阵A=AB和BA也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时， 一定要注意乘法的次序， 不能随意改变.在例6中矩阵A和B都是非零矩阵(A O B O ),但是矩阵A和B的乘积矩阵AB是一个零矩阵 (AB = Q,即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵 .因此，当AB= Q不能得出A和B中至少有一个是零 矩阵的结论.一般地，当乘积矩阵 AB= AC且A O时，不能消去矩阵 A而彳#到B= C这说明矩阵乘法也不满 足消去律

15、.那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢?一 八 0 11,例8：已知A，矩阵B ，求AB。1 02“2 、一，1 ，-解：AB ,这可以看作向重 经过矩阵变换为向重12对称。变换后的向量与原向量关于直线_10练习：已知A,矩阵B01,(1)求AB; (2)说明矩阵 A对向量B产生了怎样的变换。练习：计算下列矩阵的乘法b1b2(1) (a1a2 L 4) L2 ; (2)bna2L(bb2 Lbn)。例9、已知矩阵Af(x) , B x 1 x , Cx,若A=BC求函数f(x)在1,2 上的最小值. 2a例10：将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式2x y 3z 12x y 1(1); 4x 2y 3

16、z 1。4x 3y 72x y 4z 1例11：若ABBA,矩阵B就称为与 A可变换，设 A,求所有与 A可交换的矩阵例 12、A1 0 12 0 ,求 Ak (k 2,3, ).111.0. n *练习：设A 0 ，求A2、A3，猜测An（n N ）并证明。5.转置矩阵转置的定义把将一个m n矩阵a1a2a1na21a22a2nam1am 2amn的行和列按顺序互换得到的n mt阵，称为A的转置矩阵，记作A ,即a11 a21am1Aa12 a22am2A =an a2namn简记为由定义2.6可知，转置矩阵 A的第 行第j列的元素等于矩阵 A的第j行第 列的元素, A的（，j）元=A的（j

17、 ,）元矩阵的转置满足下列运算规则：1. （A） = A;2. （A B） =A + B ；3. （kA） = kA , （k 为实数）；4. （AB） =B A .高二A数学讲义第十八讲（130812）课后作业（本试卷共19题，时间45分钟，满分100分）班级：姓名：一、选择题（每小题4分，共15个小题，共60分）1、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件是 C、充要条件D 、既不充分又不必要条件2x 3y 2升日2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组，其中正确的是（x 2y 1232 x 2D 、12 1 y 11420 ,且2A 3X

18、B,则矩阵X5324、点A (1 , 2)在矩阵02对应的变换作用下得到的点的坐标是1-0 0a 口人 °5、已知是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，那么 a+b= .0 2b6、若点A，.2 a(2,2、 cos）在矩阵sinsin对应的变换作用下得到的点为（1 , 0）,那么acos7、若点A在矩阵2对应的变换作用下下得到的点为（22, 4）,那么点A的坐标为8、已知cos sincossin129、设A为二阶矩阵,其元素满足,a a ij ji0 i=12,j=12,且a12 a212,那么矩阵人=A+AB=11、一个线性方程组满足,系数矩阵为单位矩阵，解为1行3列的矩阵

19、（1,2, 1）,那么该线性方程组12、计算：若矩阵Acos60sin60sin60cos6012322 ，则 AB12113、计算：'114.线性方程组,增广矩阵是x y 6 0对应的系数矩阵是3x 5y 4 015、已知矩阵21 , B ( 1,2),30 ,则(AB)C2二、简答题1.已知A,分别计算A2、A3,猜测An (n 2, n）；2.3.4、3x2x已知矩阵2y 11f(x)sin x cosx 2sin x , Ccosx,若A=BC求函数sin xf(x)在叼将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解上的最小值.老师讲义130812)2013年暑期高二A数

20、学讲义第十八讲（ 矩阵及其运算一.初识矩阵 （一）引入：，引例1：已知向量uurOP1,3,如果把OP的坐标排成一列，可简记为引例我们可将上表奖牌512128363836 ;232128奖项 国家（地由金牌银牌铜牌中国512128美国363836俄罗斯2321282x 3y mz 1引例3:将方程组3x 2y 4z 2中未知数x,y,z的系数按原来的次序排列，可简记为4x y nz 42 3m3 24;若将常数项增加进去，则可简记为:4 1 n(二)矩阵的概念2 3m32441 n51 21 28，一 11、上述形如、36 38 36323 21 283m1242这样的矩形数表叫做矩阵。1n

21、42、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量a),a2, an称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量b1b2称为列向量；由m个行向量与n个列向量组成的矩阵称为m n阶矩阵，m n阶矩阵可记做bn2836为3 3阶矩阵，可记做A332851 21Am n,如矩阵1为2 1阶矩阵，可记做 A21；矩阵36 3823 21有时矩阵也可用 A、B等字母表示。3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n阶矩阵Am n中的第i (i m)行第j ( j n)51 21 28列数可用字母aij表示，如矩阵 36 38 36第3行第2个数为a32 21。23 21 28，人， 工,-0000，人4、当一个矩

22、阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为 零矩阵。如为一个2 3阶零矩阵。0 0 0上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为5、子-个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为5121282方阵为n阶方阵，如矩阵 363836、32321284方矩阵，简称方阵，一个方阵有n行(列)，可称此3 m2 4 均为三阶方阵。在一个 n阶方阵中，从左1 n1,其余元素均为零的方阵，叫做 单位110, 一八，二八二矩阵。如矩阵为2阶单位矩阵，矩阵 00 106、如果矩阵 A与矩阵B的行数和列数分别相等，那么0 01 0为3阶单位矩阵。0 1A与B叫做同阶矩阵；如果矩阵 A与矩阵B是同阶矩阵，当且仅当

23、它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A B 。对于方程组A与矩阵B叫做相等的矩阵，记为2x 3y mz 13X 2y 4z 2中未知数x, y,z的系数按原来的次序排列所得的矩阵4x y nz 43m224 ,我们叫做方程组的 系数矩阵；而矩阵 31n43m1242叫做方程组的 增广矩阵。1n 4、各阶段第1组第2组第3组第4组总成绩p张娟娟262729；28110朴成贤29262628109(三)、应用举例：例1、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的各阶段成绩 表：(1)将两人的成绩各阶段成绩用矩阵表示；(2)写出行向量、列向量，并指出其实际意义。左26

24、 27 29 28 110解：(1)29 26 26 28 109ur(2)有两个行向量，分别为：a126 27 29 28 110 ,uuua229 26 26 28 109 ,它们分别表示两位运动员在决赛各阶段各自成绩；ir26uu 27ur 29uuu 28ur 110有五个列向量，分别为b,b2,b3,b4,b529262628109它们分别表示两位运动员在每一个阶段的成绩。2 x例2、已知矩阵A, B2x a 2b2aB ,求a、b的值及矩阵A。x , 口ax y 2 , /口 x解：由题息知：解得：2x yy例3、写出下列线性方程组的增广矩阵：b 2aa 2b解得:14(1)2x

25、3y 14x y 6x 2y 3z 2 0(2)x 3y 2z 5 02x y z 3 0(2)1左2解：（1）4例4、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组:(2)(1)解：（1）2x3y2y(2)例5、已知矩阵sincos2x3y3xy2z2zsin为单位矩阵，且的值。解：由单位矩阵定义可知:cossincossincos.2sinsinO2（四）、课堂练习:1、请根据游戏则为0）。“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个3阶方阵（胜用1表示，车用 1表示，相同0解：1（2）若胜一场可得3分，平一场得1分，负一场得0分, 列顺序与（1）相同）中国负比利时0 ： 2比利时胜新西兰0 ：

26、1（以中国、巴西、比利时、新西兰为顺序排列）试写出一个4阶方阵表示各队的得分情况；（排2、奥运会足球比赛中国队所在 中国平新西兰1 ： 1 巴西胜新西兰5 : 0（1）试用一个4阶方阵表示这C组小组赛单循环比赛结果如下:巴西胜比利时1 ： 0中国负巴西0 : 34个队之间的净胜球数;（3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分, 各队名次。同积分看净胜球，试根据（1）、（2）两个矩阵确定“3解：(1)2(2)3， 一 一，一 一、，（3）名次为巴西、比利时、中国、新西兰。3二、矩阵的三种基本变换（一）、复习引入:弓I例、根据下列增广矩阵，写出其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程

27、组解的 关系，从中你能得到哪些启发？(1)(2)(3)1(4)0132 2113661 08(5)八 113066(6)1 0 80 1 13解：这些方程组为2x y 33x 2y 2133x 2y 2 x 2y 22x y 322x y 331x 2y16y136x 8113；x 8y 13这些增广矩阵所对应的线性方程组的解都是相同的。（二）、矩阵的三种基本变换 新课讲解：通过上面练习，我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换：（1）互换矩阵的两行；（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成

28、单位矩阵，这时增广矩阵的最后 一个列向量给出了方程组的解。（三）、应用举例：例1、已知每公斤五角硬币价值 132元，每公斤一元硬币价值 165元，现有总重量为两公斤的硬币,总数共计462个，问其中一元与五角的硬币分别有多少个？（来自网上“新鸡兔同笼问题”）x y 462解：设一元硬币有 x个，五角硬币有 y个，则根据题意可得:x 0.5y165 13211462则该方程组的增广矩阵为A11,设、分别表示矩阵 A的第1、2行，对矩2165 264阵A进行下列变换:-加到5不变11462-11462332 一'1166165 26458404621323不变1 1 462（1）加到 1 0

29、 1100 1 3520 1 352由最后一个矩阵可知:x 110y 352答：一元硬币有110个，五角硬币有 352个。4x 3y z 5例2、用矩阵变换的方法解三元一次方程组7x 2y z 4 的解。5x 2y 3z 8431 5解：此方程对应的增广矩阵为:7214523 84315加到1150972143加到721145238不变264020设此矩阵第1、2、3行分别为、，对此矩阵进行下列变换:（2）加到（5）加到不变11 5 0 97 2 1400162 6 0 16、不变2132132032431竺430 10 436加到cc32“0 0瓦（13）加到432016不变105交换、不变

30、32437436643此方程组的解为32437436643说明：1、利用矩阵基本变换，将矩阵的每一个行向量所对应的方程只有一个变量;2、在变换过程中，实际为加减消元的过程,化简运算。此过程中应根据数字的特点，运用适当的程序进行例3、运用矩阵变换方法解方程组:ax 3y2x y2（ a、b为常数） b解：此方程组对应的增广矩阵为:,设、分别表示此矩阵的第1、2行,对此矩阵进行下列变换:3加到不变0 2 3bi)当 a 6 0,6时，以上矩阵可作如下变换:不变2 3ba 6b(1)不变2 3ba 64 aba 6（2）加到不变此时方程有唯一解ii)当 a 66时，若23b20即b 时, 3iii)

31、当 a 66时且b2 3ba 6ab 42 3ba 64 aba 6方程组无解;2时，方程组有无穷多解，它们均符合36x3y 2 0。说明：（1）符合情况i）时，方程组有唯一解，此时两个线性方程所表示的直线相交；（2）符合情况ii）时，两个线性方程所表示的直线平行，此时方程组无解；（3）符合情况iii）时，两个线性方程所表示的直线重合，此时方程组有无穷多解。（四）、课堂练习：用矩阵变换方法解下列问题：(1)x若方程组（ky 2 1)x(k1)y的解x与4y相等，求k的值。解:2k解得1，口,由题息知:kk求得：k2。有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的天平恰好

32、平衡,如果每只祛码质量均为 5克，每只黑球和白球的质量各是多少克?第一次称量第二次称量x 2y 53x y 10解：设黑球和白球的质量各为 x、y千克，则由题意知:通过矩阵变换1 2 53 1 108z 1055151125012226x 10 113112 50 6 1 13125103011011解得：黑球每个3千克，白球每个1千克。3x 2y z 0(3)解方程组：x y 2z 55x 7 y3210解：112 5578110 0 1010 2即方程组的解为y2。00 11z1三、矩阵运算(对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什 么条件下可以

33、进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容1 .相等定义如果两个矩阵A aj, B bj 满足：j m n)f s p(1) 行、列数相同，即 ms, np；(2) 对应元素相等，即aij =bj (= 1,2,，3j = 1,2,，n ),则称矩阵A与矩阵B相等，记作A = B(由矩阵相等定义可知，用等式表示两个m n矩阵相等，等价于元素之间的m n个等式.)例如,矩阵A=那么A = B,当且仅当an = 3 ,而ana12a13a21a22a23212 = 0,a13 = -5a21 = -2a22 = 1c G1C12C二C21C22所以无论矩阵C中的元素C11

34、, C12,C21,C22取什么数都不会与矩阵B因为B C这两个矩阵的列数不同, 相等.2.加法定义2.3设Aajmn，Bbj sp是两个m n矩阵，则称矩阵为A与B的和，记作anb11a12bl2an"na21b21a22b22a2nb2nam1bm1am2bm2amnbmnC=C = A + B =aijbij（由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.)同样，我们可以定义矩阵的减法:A + (-a.b.ij ij称D为A与B的差.例1设矩阵A =32例2、矩阵A(0, 2)B,cos costan2)03)2)03)tantantan2101(-,)，

35、求 sin 2的值。3(0,-)22解：由A+B=C知:cos a cos 210tan a1-tan+ tana tan=-1;=7tan(tan tan1 tan tank ,k由于(2, )知:从而sin(2 /)-；cos(10矩阵加法满足的运算规则是什么?3.数乘为任意实数，则称矩阵 C定义2.4设矩阵Aajmn，Gj m n为数 与矩阵A的数乘，其中 队 a。(i 1,2，, m; j 1,2, n),记为(由定义2.4可知，数乘一个矩阵C = AA需要用数去乘矩阵A的每一个元素.特别地，当 =-1时， A = - A,得到例3设矩阵A的负矩阵.)那么，用2去乘矩阵A可以得到4)2

36、1)0141012数乘矩阵满足的运算规则是什么?24B =32 ，求 3A - 2 B.3例4设矩阵A = 5解先做矩阵的数乘运算3A 和 2B,然后求矩阵3A与2B的差.(2)3 0153A = 35313 6318(3)2161)143 A - 2 B=15161418例5 .给出次方程组a1xa2xbyb2yC1c2解：原方程组可以表示成a2存在唯一解的条件。，其中a1 a?c2理可知，当向量a1a2bib2不平行时,向量C1c2可表不成向量aia2是三个列向量，由平面分解定b 岫的线性组合，且系数x、y唯b2,那么对应的方程组有存在唯一解，即aba2bl 。A表示各商场销售这两种家4.

37、乘法某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵用电器的日平均销售量（单位：台）,用B表示两种家用电器的单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元）：III单价利润用矩阵C =其中，矩阵20251810113.5 B=50.81.2IIIQ。表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，那么 3 2120142.5108c11c12203.5105200.8101.2c21C22=:253.5115250.8111.2c31c32183.595180.891.2C =2833.225.2C中的元素分别为C中的第行第j列的元素是矩阵行元素与矩阵B第j列对应元素的乘积之和

38、矩阵乘积的 定义 设A= aj是一个m s矩阵,B=bij 是一个 sn矩阵，则称m n矩阵C = cj(=1, 2,为矩阵A与B的乘积，记作 C= AB其中cj = ah j + a2b2 j + a s bs j =mi j = 1,2,，n ).(由矩阵乘积的定义可知：)(1) 只有当左矩阵A的列数等于右矩阵 B的行数时，A B才能作乘法运算AB;(2) 两个矩阵的乘积 AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵 A的行数，它的列数等于右矩阵 B的列数;乘积矩阵AB中的第行第j列的元素等于 A的第 行元素与B的第j列对应元素的乘积之和,故简称行乘列的法则.例6设矩阵A=810,计算AB解 AB=9

39、87 102 9 ( 1) (7)4 9 0 ( 7)2 ( 8) ( 1) 104 ( 8)10252636323 9 5 ( 7)3 ( 8) 5 10826在例6中，能否计算BA>由于矩阵B有2歹U,矩阵A有3行，B的列数 A的行数，所以BA是无意义的例7设矩阵A=2, 求AB和BA 1解AB=2 24 ( 1)2 (12 2(1)1 (2) 4 1 _ 0 02) 2 10 0(2) 1 2 4 ( 2) 22 1 114 1222 2 42 2BA=11121由例6、例7可知，当乘积矩阵 AB有意义时,BA不一定有意义；即使乘积矩阵AB和BA有意义时,定要注意乘法的次序,在例6

40、中矩阵A和B都是非零矩阵(A O BO),但是矩阵A和B的乘积矩阵AB是一个零矩阵(AB = Q,即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB= Q不能得出A和B中至少有一个是零矩阵的结论般地，当乘积矩阵 AB= AC且A O时，不能消去矩阵A而彳#到B= C这说明矩阵乘法也不满AB和BA也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时,不能随意改变足消去律.那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢?矩阵乘法满足下列运算规则：1. 乘法结合律2. 左乘分配律(AB C= A(BC;A (B + C) = AB+ AC右乘分配律3. 数乘结合律例8:已知解：AB(B + C) A = BA

41、+ CAk (AB)= (k A) B = A (k B),其中 k 是一个常数.这可以看作向量1-，求 AB。2经过矩阵变换为向量2 。变换后的向量与原向量关于直线1对称。练习:已知(1)求 AB;(2)说明矩阵 A对向量B产生了怎样的变换。练习:计算下列矩阵的乘法(1)(aa2an)b1 b2 La2 L(b1b2bn)°bnan解：略解(1)列;例9、已知矩阵f(x)2a,若A=BC求函数f(x)在1,2 上的最小值解：.BC=x=x22a2a(1x) , Af(x)f(x) x22ax 2a (xa)22a a21,2函数f(x)在1,2上的最小值为f(2)4 2a .当1w

42、av2时，函数f(x)在1,2上的最小值为f(a) 2a a2.当a<1时，函数f (x)在1,2上的最小值为f(1)1 f (x)min 2a2a2a(a(1 a(a2)2)1)点评：(1)本题运用了行矩阵与列矩阵的乘法规则及两个矩阵相等的充要条件;(2)求含参数的二次函数在闭区间上的最值问题，通常需要分类讨论例10:将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式2x y 1(1),4x 3y(2)解：（1）例11：若ABBA,矩阵解：设与A可交换的矩阵BAa11a!1&212、2x4x2xa21a21a22y2y(2)3z3z4zB就称为与 A可变换,anABA2,则AB a22a11,

43、求所有与 A可交换的矩阵B。a12a22a11a11a110a11am解:A2BA,得 a21a12a22a21a11,解得 a12a210a11a22a21a22a12取任意实数时，所得的矩阵与A可交换。(k2,3,)022可以利用数学归纳法证得:Ak20k练习：设A，求A2、A3,猜测An(n）并证明。解：A2 AAA3A2AAn1 n e ,，一 ,用数学归纳法证明。0 15.转置矩阵转置的定义把将一个m n矩阵a!1a!2a1nA a21A =a22a2n的行和列按顺序互换得到的 n mg阵，称为A的转置矩阵，记作A ,即am1am2amna11a21am1A =%a22am2a2namn由定义2.6可知，转置矩阵 A的第 行第j列的元素等于矩阵 A的第j行第 列的元素，简记为A的（，j）元=A的（j ,）元矩阵的转置满足下列运算规则：1. (A) = A;2. (A B) =A + B ;3. （kA） = kA , （ k