全国高中数学联赛福建预赛试题

1、年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案(考试时间：2015年5月24日上午9: 0011: 30,满分160分)、填空题(共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上)x 4 * 一一 、一 21 .设集合 A x 0, x Z ,从集合 A中随机抽取一个兀素 x,记 x ,则随机变x 3量的数学期望E 。【答案】5【解答】A 4,3,2, 1,0, 1, 2 ,随机变量 的取值为0, 1, 4, 9, 16。易得，的概率分布列为014916P1221177777L c 1 , 22 c 1 “ 1E 0 1 4916 5o77777

2、2.已知f(x) x g(x),其中g(x)是定义在R上，最小正周期为2的函数。若f(x)在区间2,4上的最大值为1,则f(x)在区间10,12上的最大值为 。【答案】9【解答】依题意，有 f(x 2) (x 2) g(x 2) x g(x) 2 f(x) 2。 f (x)在区间2,4上的最大值为1,f (x)在区间4,6上的最大值为3,在区间6,8上的最大值为5,在区间8,10上的 最大值为7,在区间10,12上的最大值为9。223. F,、F2为椭圆C：与 1 (a b 0)的左、右焦点，若椭圆 C上存在一点P,使得 a bPFi PF2,则椭圆离心率e的取值范围为 。2、,2【答案】)1

3、2【解答】设A为椭圆C的上顶点，依题意有F1AF2 90 。一一c.222 c21V2F2 Ao45 , 1。c a c , ,e 1。ba2 222224 .已知实数x, y, z满足x 2y 3z 24 ,则x 2y 3z的最小值为 。【答案】12【解答】由柯西不等式，知(x 2y3z)2(1 x7272y出心)12(扬2(石)2(x22y23z2)144。xx 2y 3z 12 ,当且仅当一 12y - 3y，即x y z2时等号成立。,23x 2y 3z的最小值为 12。2 x 5.已知函数f (x) x cos,数歹U an 2的前100项之和§00 。【答案】102001

4、00【解答】依题意，有T100f (n)22n 1中，an,2 c246-一 一 -一 一 * .f (n) f (n 1) ( n N ),则数列 an_222_8 L 981004(3 7 L 99)3 994 255100。§002Tl00 f (1) f (101) 2 5100 0 0 10200。6.如图，在四面体 ABCD 中，DA DB DC 2, DA DB , DA DC , 且DA与平面ABC所成角的余弦值为，6。则该四面体外接球半径3【解答】如图，作DO 面ABC于O,连结AO,并延长交BC于点连结DE 。则DAE是DA与平面ABC所成的角，cos DAE 3

5、 DADADB DC 2, DA DB , DA DC , 面DBC ,。为AABC的外心，且 AB ACDA6DE, E为BC中点，结合cos DAE 一 知,3AE 6BE .AB2 AE2BC 2BE 272 , DB DC。DA、 DB、DC两两互相垂直，四面体外接球半径RJ3。7.在复平面内，复数Zi、Z2、Z3的对应点分别为Zi、Z2、Z3。若4 I I Z2uuu。乙B uuur OZ2 0,又OPZ2对应的点为P。由Zi2,因此,2 1 OZ3Z31知，点Z3在以P为圆心,1 ,即4|的取值范围是1,3。1为半径的圆上。8.已知函数f(x) eX(xX .ae )恰有两个极值点

6、Xi, X2 ( XiX2),则a的取值范围为ZiZ2 Z31 ,则 Z3的取值范围是【答案】1,3【解答】设Z1 x1 y1i , z2 x2 y2i ( i为虚数单位)， 一 uuu uuirI ZiZ2V2 , OZi OZ2 0,2222ccxiyix2y22 , X1X2y1y20,ZiZ2IJ(Xiyi)2(X2y2)2&yi2x2y；2仪也yy?)2。一1【答案】(0,1)2【解答】f (x) eX(x aex) ex(1 aex) (x 1 2aex)ex o依题意，f (x) (x 1 2aex)ex 0有两个不同的实根。g(x) x 1 2aex,贝U g (x)

7、1 2aex, g(x) 0 有两个不同的实根。0,则 g (x)1 , g(x)为增函数，g(x) 0至多1个实根，不符合要求。0,则当xg(x)在区间In 时,2a1,In -g (x) 0; x上为增函数,g(x)9.已知围为g(x)的最大值为时,g(x)g(ln2a12a) x 1 2aexIn时,2a1In ,In 。2ag (x) 0。上为减函数。时，g(x) x 1 2aex11当且仅当g(ln)In 0,即2a2ag(x) 0 的两根为 x1, x2 ( x1 x2)。0, f (x) 0; x x2时，g (x) 0X为f (x)的极小值点,1a的取值范围为(0,) 2f(x

8、)2时,g(x)0恰有2个不同的实根。则x x1时,f (x) 0。g(x)0, f (x) 0; x1 x x2 时,x2为f(x)的极大值点。1 ”一，符合要求。2【解答】设x10,4f(f(x1)f(x)由 x f(x)集B的子集。若A2 x nx若 x f(x)x f(f(x) 0所以,10.若 sin 9【答案】4f(x)f(0)x04时,n 4。sin2f(f(x)f(f(x)4nA,x f(x)则 f (x1) m0 o2、f(x nx)02 x02 x0知,方程nx0nx0n的取值范围是° nsin 一92x1(x22 x4。2x1、2 nx)nx°,得nn

9、x10。,222n(x nx) (x nx)(x0的解集A是方程x2 i0。【解答】由cos(2sin sin)cos(cos2sin 一 9sin 181 tan2cos)cos(sin3cos一 cos一1818nx n)。nx 0的解0,4 。4,则正整数n9sin , cos() °的最小值为)cos cos sin sin ,知2sin sin cos 91818cos18n(2n 1)2sin sin cos91818上述各式左右两边分别相加，得cos31822(sin sin L99nsin)sin cos 91818cos318。1, 4.(2n 1)2 -tan s

10、in cos cos291818(2n 1)(2n 1)cos 0 ,1818正整数n的最小值为4。18k ( k2(2n 1) cos cos cos181818Z), n 9k 4 ( k Z )。二、解答题(共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程)11.求函数y 2x4x28x 3的最小值。【解答一】由 4x2 8x 30,得函数的定义域为1.一或x23一,24x 4.4x2 8x 3上为增函数。1- x § 时，2一 1 一当x 时，f2f(x)的最小值为f(3)2,、c 4x 4(x) 2 4x2 8x 33。2 10分4(1 x) c 4(1 x)八j20

11、 °,4(x 1)2 12(1 x)记 y f (x) 2x "x2 8x 3,则 f (x) 2 ,824x2 8x 33 一 3当 x 时，易知 f (x) 0。f (x) 2x V4x 8x 3 在一，2215分综合得，函数2x4x2【解答二】函数化为y(2x 2)8x 3的最小值为1。J(2x 2)2 1 2。20分,2由(2x 2)1 ,一时,22x 21 ,可设2xsin9且。)sin1. 21sin1 cossin12 2 ,当tan 2f (x)在，工上为减函数，x 时，f(x)的最小值为f g) 1 0103x 时，y取最小值 3。2r 1即x 1时,2综

12、合得,0时，yy取最小值1。函数y 2x1 sin一11 2.2 sin74x28x3的最小值为或换元后利用导数求解。【解答三】由y 2x)4x2 8x 3，得(y24xy 4x4x28x2x)2 y2 3 4y 8依题意,因此,y2 32y 4(y4y 83)(y 1)12y。将y 1代入方程y 1在函数函数y 2x1 cossin1。4x22(y 2)2x J4x2 8x 3,解得 x2x V4x8x3的值域内。J4T8x3的最小值为1。12.已知过点P(0,1)斜率为k的直线l交双曲线C : x28x(1)求k的取值范围;(2)若【解答】(1)F2为双曲线C的右焦点,设l方程为y kx

13、1 o且AF2BF26,2 tan- 2,当15分20分3,103。2015分1于A、B两点。求k的值。2v3kx1,得(3 k2)x212kx 4。直线i与双曲线c有两个不同的交点,3 k2 0 4k2 16(3 k2) 0k的取值范围为(2, J3)k 2,且 k(2)设 A(x ,%), B(x2,y2)(曲，利(向,2)。皿2k则 x1 x2 H，x1x23 kAF27(x1 2)22Vix2 4x1(3x；3)(2x1 1)(2 x2 1) 4x1x22(x1 x2)163 k2k2 3 时，(2x, 1)(2 x21) 0,42。又 F2(2,0)3 k2x1 14k3 k2BF2

14、k2 4k3 k22x2 1 。10分13AF2BF22x 12x2 1(2xi 1) (2x2 1)| 2XiX22 . (Xi x2)2 4x1x24 . 3 . 4 k23 k2由af2k23 k2AF22kk2由AF2bf21, k4、3，4 k26,得23 k6 ,解得k2 1或k2(舍去)。15分4 时，(2x1 1)(2x2BF22K1) 02x2 1(2x1 1) (2x2 1)| 2 x1x2BF26,2k3 k236,斛得k 2或k 或k213,均不符2合，舍去。此时, 综上可得，满足条件的k不存在。k的值为1或1。20分13 .如图，I、D分别为 为AD与BC的交点。AI

15、(1)求证：AADABC的内心、旁心,GEGF '(2)若M为EF中点，求证:(旁心：三角形旁切圆的圆心， 它两个内角的外角平分线的交点。)AE/ DMBC与圆I、圆D相切，切点分别为E、F , G它是三角形一个内角的平分线和其【解答】则用AD(1)设圆I、圆D的半径分别为r、R,(作IPAB于 P, DQ AB于Q,由条件知,A、IE/ DF ,I、D三点共线，IEGE IE roGF DF R则M里二)AD DQ RBC, DF BC。AIGEAD(2)由GFAI10AD即一AGAD GDAGGE GF GE GF里得里9GD AD GDGEGFAD GD AG M为EF中点， G

16、F GE MF MGGEGF GE15分(ME MG) 2MG ,AGGE2DG结合 EGA2MGMGD ,可得AE/ DM。另解：设ID的中点为NGEGM EGAA MGD 。因此， GEA则由IE/ DF为EF中点知，GMD。20分MN / IE / DF ,且1 MN (DF 2,AI由ADIE)。巴，可得DFAIIEAIIEAD AIDF IE2DN2MNIE15NM分又 AIEDNM o AIE s、DNM , EAI AE/ DM 。MDN o20分14.在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形。求以点I（2015,7【答案】不妨设点201

17、5）为内心且直角顶点在坐标原点O的整点直角三角形A在第一象限。OAB的个数。xOItan 7,直线 OA 的斜率 k°A tan(一)4tan 11 tankOBA、B 为整点，设 A(4ti ,3ti) , B(3t2,4t2），其中t1, t2为正整数。OA5tOB5t2。 OAB内切圆的半径r I OI2OAOBABAB2 (|OAABOB2r )2OA5、. 2OB20155 2015。(5t1(t1设t1x5t2t2 22015xy由OA2 5 2015)22015)22015xt2 y 2015y2r, OB3 54 个。OA 25t12OB25t2 o o_22015，

18、则(x y ) (x20152,2r 知，x10分(x 2015)( y2015,_22015)_2(y 2015)。2015) 2 20152 2 52132 312。 15分y 2015为正整数，又2 52 132 312的正因20分符合条件的（x,y）有54组。符合条件的三角形有 54个。15.若对任意的正整数 m ,集合 m ,m2,L ,m 99的任意n （n 3）元子集中,总有3个元素两两互素，求 n的最小值。1时）的67元子集:【答案】考察集合 1,2, 3 L ,100 （ mP 2，4 6 L ，100，3 9 15，L ，99 （偶数与被 3 整除的奇数） 。显然 P 中不存在 3 个两两互素的元素。 n 67不符合要求。5分引理： 对任意的正整数 m ，集合 m ，m 1， m 2 ， m 3， m 4 ， m 5 的任意 5元子集中，总有 3 个元素两两互素。引理的证明：设集合 A是集合 m,m 1,m 2,m 3,m 4,m 5的一个5元子集。m , m 1 , m 2, m 3, m 4, m 5这6个数中，3奇3偶，恰有1个5的倍数。若A中含有3个奇数，则这3个奇数必两两两互素，结论成立。若A中元素为2奇3偶。由于3个偶数中至多有1个为3的倍数，至多有1个为5的倍数。因此， 3 个偶数中必有1