江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期期末数学试题

1、"、F?是C的左、右焦点，则/¥；用的周长为（）A 45n-81n 35A. 一B. 18C. D.2427 .由0, 1, 2, 3, 4, 5这6个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为（）A. 288B. 360C. 480D. 6008 .已知是平面a外的两条不同直线，它们在平面a内的射影分别是直线"，匕'（" 与"不重合），则下列命题正确的个数是（）若ab,则d。'；若"_1_九 则"_!_/；若则 a。：（4）若则A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、多选题9.如城镇小汽车的普及率为75%

2、,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是（）243A.这5个家庭均有小汽车的概率为二一102427B.这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为7T64c.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车Q 1D.这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为三12810.若随机变量4N（0,l）, O（x） = p（4<x）,其中x>0,下列等式成立有（）A. 0（-X）= l-°（R）C. P（"<力=2人力一111.在正三棱锥A BCQ中，侧棱长为3,中点，则下列命题正确的是（）3A. EF

3、与AO所成角的正切值为二2c. A8与面ACQ所成角的余弦值为这12B. °（2x） = 2°（x）D.P（闾>x） = 2-。（x）底而边长为2, E, F分别为棱AB, CD的2B. EF与A。所成角的正切值为二37D. AB与而ACO所成角的余弦值为§12 .如图，矩形A8C。中，A3 = 8, BC = 6, E, F, G, 分别是矩形四条边的中点，R，s, T是线段。尸的四等分点，R, S', 丁是线段CF的四等分点，分别以HE，EG 为X，y轴建立直角坐标系，设ER与GR'、ER与GT'分别交于乙，4，ES与GS'

4、;、ES与GT'交于“2,七丁与GT'交于点N,则下列关于点乙，乙，M2,2222与两个椭圆:口 :+= 1, 口：±二+=1的位置关系叙述正确的是() 16 9329A.三点匕，M, N在口，点在工上B.乙，M不在上，右,N在|上C.点在2上，点。，L?, M|均不在2上D.4，M在口上，A7?均不三、填空题13 .采用随机数表法从编号为01, 02, 03,，30的30个个体中选取7个个体，指 定从下而随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码, 则选取的第6个个体号码是.03 47 43 86 36 16 47 80 45 6911 14

5、 16 95 36 61 46 98 63 7162 33 26 36 7797 74 24 67 62 42 81 14 57 2042 53 32 37 32 27 07 36 07 5224 52 79 89 7314 . 一个球的直径为2,则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为.2215 .已知双曲线:一二=1 (a>0, b>0)的右焦点为F,由F向其渐近线引垂线，垂 a- b足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为.四、双空题16 .已知+ x + + X9) = 40+. +“9 ,则% .”=-五、解答题17 .为了 了解居民消费情况，某地区调查了 1

6、0000户小家庭的日常生活平均月消费金额, 根据所得数据绘制了样本频率分布直方图，如图所示，每户小家庭的平均月消费金额均 不超过9千元，其中第六组、第七组、第八组尚未绘制完成，但是已知这三组的频率依次成等差数列，且第六组户数比第七组多500户,求第六组、第七组、第八组的户数，并补画图中所缺三组的直方图；若定义月消费在3千元以下的小家庭为4类家庭，定义月消费在3千元至6千无的小 家庭为B类家庭,定义月消费6千元以上的小家庭为C类家庭，现从这10000户家庭中 按分层抽样的方法抽取80户家庭召开座谈会，间A, B, C各层抽取的户数分别是多少?18 .在直三棱柱 ABCAB'C'中

7、，AC = BC = , Z4C3 = 90。，CC, = 2 , M, N分别是 A4、BG 上的点，且 BM:MA = BN:NC = 1:2.求证:MN 平面4CGA：求平面MN4与平而ABC1所成锐二面角的余弦值. 2219 .已知椭圆££ +亮=1（“>0>0）过点A（2），且它的右焦点为求椭圆石的方程；过A且倾斜角互补的两直线分别交椭圆E于点8、C（不同于点A）,且AC = 148 ,求直线AB的方程.20.农机公司出售收割机，一台收割机的使用寿命为五年，在农机公司购买收割机时可 以一次性额外订购买若干次维修服务，费用为每次100元，每次维修时公司维

8、修人员均 上门服务，实际上门服务时还需支付维修人员的餐饮费50元/次：若实际维修次数少于 购买的维修次数，则未提供服务的订购费用退还50%；如果维修次数超过了购买的次数, 农机公司不再提供服务，收割机的维修只能到私人维修店，每次维修费用为400元，无 须支付餐饮费；一位农机手在购买收割机时，需决策一次性购买多少次维修服务.为此，他拟范收集、整理出一台收割机在五年使用期内维修次数及相应的频率如下表：维修次数6789频率0.3030.20.10.1(1)如果农机手在购买收割机时购买了 6次维修，在使用期内实际维修的次数为5次，这 位农机手的花费总费用是多少?如果实际维修的次数是8次，农机手的花费总

9、费用又是多少？农机手购买了一台收制机，试在购买维修次数为6次和7次的两个数据中，根据使用 期内维修时花费的总费用期望值，帮助农机手进行决策.21 .如图，3c是边长为3的正三角形,。,七分别在边A&AC上，且8。=人石=1，(2)求四棱锥A BDEC的体积.22.抛物线M: V =8x的焦点为F,过焦点厂的直线/(与"油不垂直)交抛物线M于点A,B, A关于x轴的对称点为4.求证:直线过定点，并求出这个定点；若AB的垂直平分线交抛物线于C,D,四边形A.CBD外接圆圆心N的横坐标为19,求直线A8和圆N的方程.参考答案1. B【解析】【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再求出弦长

10、即得解.【详解】由题得抛物线的焦点坐标为（二,。），42当x=；时，所以），2=吟吁,所以ly*所以弦长为:x2 = c/=2.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解学 握水平.2. C【分析】先根据曲线y = &尸 2犬_ 与*轴有两个交点得到a > 1且a工0,再根据充分不必要条件的定义得解.【详解】当a=0时，x =-；,曲线y = a/ - 2x -1与x轴有一个交点；当aWO时，因为曲线y = ad 2x 1与x轴有两个交点，所以 A=4+4" >0,. >一1.所以。>一1 且由于选择

11、支是充分不必要条件，所以选择支对应的集合是（-1,。）=（0,一）的真子集，只有选项C满足题意.故选：C【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，考查二次函数的零点问题，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平.3.B【分析】设某地区每年七月份刮台风为事件A,设某地区每年七月份下大雨为事件B,则该地区七月份9既刮台风又下大雨为事件AB，由题得P(8IA) = 5,化简即得解.【详解】设某地区每年七月份刮台风为事件A,设某地区每年七月份下大雨为事件B,则该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB,39所以10 P(A)9 3 27 所以尸(A8) = x1= .10 5 50故选：B【点睛】本题主要考

12、查条件概率的计算,由题得尸(4)=不P(8IA) =正, i二还=整5意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4. C【分析】求出P(X = 2),P(Y = 2)，即得解.【详解】c2 c1r1由题得 P(x=2) = 产.P(y = 2) = 产，所以 P(X = 2) + P(Y = 2)= GKoYCo.Co故选：C.【点睛】本题主要考查超几何分布概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5. D【分析】先求出样本中心点，代入回归直线方程即得解.【详解】由题得7=2+4+6+6+7 _5= 5,所以样本中心点为（4,5）, 所以5=4a+l,所以a=l.故选：D.【点

13、睛】本题主要考查回归直线方程的样本中心点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6. A【分析】9先求出IP81=-,再利用双曲线的几何性质求出尸"鸟的周长.【详解】 由题得 c = 116 + 9=5,9 因为P点的横坐标为5,所以P居_L片居，所以I尸居1=,4941所以 IP" 1= +2x4=,449 4145所以aPK居的周长为了+丁+io=k.4 42故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7. A【分析】根据题意，首先分析末位数字，易得末位数字可以为1、3、5,可得其取法数目，其首位数 字不能为0,可得其取法

14、数目，再选3个数字，排在中间，有A；种排法，由分步计数原理，计算可得答案【详解】根据题意，末位数字可以为1、3、5,有出种取法，首位数字不能为0,有A：种取法，再 选3个数字，排在中间，有用种排法，则五位奇数共有A；A；A；=288,故选：A.【点睛】本题考查排列、组合的应用，解题时注意题干条件对数的限制，其次还要注意首位数字不能 为0,属于基础题.8. B【分析】（1）直接判断得解：（2）举出一个反例“'/即可判断错误；（3）举出一个反例，。/相交即可判断错误：（4）举出反例，a, b不垂直即可判断错误.【详解】（1）若。6,则'，是正确的;若则a'_L/是错误的，因

15、为"、/有可能平行或者相交：（3）若a'JLb',则若是错误的,因为a, b有可能相交、异而:(4)若则是错误的，因为a, b可能不垂直.【点睛】本题主要考查空间直线位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9. ACD【分析】利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率研究每一个选项判断得解.【详解】3 由题得小汽车的普及率为二,4A.这5个家庭均有小汽车的概率为（二）s =所以该命题是真命题：410243 1135B.这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为= U，所以该命题是假4 4512命题：C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题：3

16、381D.这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为C：（7）4（7）+ （：）5=二，4 44 128所以该命题是真命题.故选：ACD.【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率和互斥事件的概率，意在考查学生对这些知识的理解掌握 水平.10. AC【分析】根据随机变量g服从标准正态分布n（o），得到正态曲线关于g=°对称，再结合正态分布的密度曲线定义次x） =, X>O）,由此可解决问题【详解】随机变量自服从标准正态分布N（0,l），正态曲线关于4=0对称，.W") = P4令，X>。)，根据曲线的对称性可得：A.(-x) = >x) = 1

17、-a),所以该命题正确；B. eQx)=惟42x),2 叭 X)= 2惟 4 X),所以。(2x) = %(x)错误；C. P(lI<x)=P(-x<<x) = l-2-x) = 1 -2 1 -a-) = 2x)-1,所以该命题正确：D.尸(I 切> X)=尸(§ > X 或 4 V -x)=l- 0(x) + 火-x) = 1-0(x) +1-0(x) = 2 - 20(x),所以该命题错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11. BC【分析】如图所示，先找出EF与4。所成角再求解，再找出月3与面

18、ACO所成角求解.【详解】(1)设AC中点为G, 8c的中点为，连接EG、FG、AH. DH ,因为 =AG = GC, CF = DF ,斫以 EGHBC, FG/AD,所以/£FG就是直线炉与AO所成的角或补角，3在三角形EFG中，EG = 1, FG = , 2由于三棱锥A BC£>是正三棱锥，BC1DH , BC±AH,又因为A", "Ou平面A。"，AH cDH = H ,所以8C_L平而AO”,.AOu平面AT>”,所以3C_LAO,所以EG_LR7,EG _ 1 _2所以tanN*'G = /g =

19、3 = §,所以A错误B正确.2（2）过点8作8。垂直AE,垂足为O.因为 C£>_L8 /，CDLAF , AF =u 平面 43产，所以CQ_L平而A3尸，;BOu平而A3尸，所以CD_LBO,因为80_LAE, A/n8 = £A£8u平而AC。，所以8O_L平而AC。，所以NB4。就是AB与平面48所成角.9 8 3 47由题得 BF = J5, AF = 2AB = 3» 所以cos/BA。=2-J2 = 12-J2 =所以C正确D错误.故答案为：BC.【点睛】本题主要考查空间异面直线所成的角的求法，考查直线和平面所成的角的求法

20、，意在考查学 生对这些知识的理解掌握水平.12. AC【分析】求出右的坐标，证明。在心上：求出的坐标，证明点在心上.即得解.【详解】由题得E(0, -3), R (1.0),所以直线ER的方程为x += l,.)，= 3x 3.392 3由题得G (03)，R'(4,),所以7 4一，3 ,4 心=丁 =飞所以直线GR'的方程为y =3,16f 3V = X + 396 135联立丫 16,。(一.二7)，乙的坐标满足椭圆a ：上+ 2_ = 1 ,y = 3x-351 5116 9所以乙在加上.由题得ES的方程为g + j = 1,-3x + 2y = -6.32-3由题得G

21、(0,3)7(4二),所以心4 *94169所以直线GT'的方程为)，=一 7 x + 3 ,16联立直线ES和GV方程得忆(三二)，"(当,与满足2：二十=1， 11 11' 11 11329所以点M2在J上所以选项BD错误.由于本题属于多项选择题，所以至少两个答案正确.故选：AC【点睛】本题主要考查直线的交点的求法，考查点和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理 解掌握水平.13. 20【分析】利用随机数表写出依次选取的号码即得解.【详解】 指定从下面随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则 选取的号码依次是：16,11,14,

22、26, 24, 20, 27.所以第6个号码是20.故答案为：20.【点睛】本题主要考查随机数表，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14. 4拒【分析】设底面正方形的边长为2x,棱柱高为2)，则棱柱侧而积5 = 16冲.根据V(2x)2+(2a)2+(2v)2=2.化简得2/ + /=1,进而结合基本不等式可得S的最值. 【详解】设底而正方形的边长为2X,棱柱高为2)，则棱柱侧面积S = 16个.正四棱柱为半径为R的球的内接正四棱柱，- J(2x)2+(2x)2+(2),)2 = 2.即 2x2 + y2 = 1,由基本不等式得：2/+/22"9，0 n JJ + y

23、?1即S = 16a3<4x/2 »即内接正四棱柱的侧面枳的最大值是4，7，故答案为：4应.【点睛】本题考查的知识点是球的内接多面体和基本不等式，由基本不等式得到与彳后是解答的关 键.15. y/2【解析】f由题意设E（C,O）,相应的渐近线方程为），=x,根据题意得&PF=-色，设尸 ab a代入a得-竺，则P件r.,则线段尸尸的中点为5£+c,代入双曲线方程得=1,即，jl+e1- 4 c a)41e J 4故答案为加.16. 一9 84【分析】求出VW的系数即得解.【详解】设（1M°的通项为J = Gk1产32，令 r=0,则T = OJ0 =

24、 x10;令 r=l,则见=。；。（一1产中二一 10砂,所以"18= lx 1+1 x( 10)= 9 ;令=4,则 Ts = G>6 = 2101；令心则 T6 = #1 严丁= - 252?,令=6,则 T7 = Cx4 = 210/;令 r=7,则 7； = C(T严x3=-l2Qx3,令 r=8,则 Tt) = q>2 = 45/;令 r=9,则 7；。= C1(-产x= -10x,令 r=10,则 4=C；：x° = l；所以 4 = 210x1 252x1+ 210x1 120x1+ 45x1 10x1+ 1x1=84.故答案为：（1）. -9：

25、（2）. 84.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平.17. （1）第六、七、八组的户数分别是:1500户、1000户、500户，直方图见解析：（2）从A, B, C 三类家庭分别抽取的户数分别是18户、48户、14户.【分析】(1)设第六、七、八组的户数分别是X, y, Z,再通过已知求出它们即得解，再求出第六、七、 八组的小矩形高度，补充完整频率分布直方图；(2)求出A类家庭的频率之和、B类家庭的 频率之和、C类家庭的频率之和，即得解.【详解】(1)设第六、七、八组的户数分别是x, y, z,它们的频率之和为:1-(0.0

26、25 x 2 + 0.05 + 0.15 + 0.20 + 0.25) = 0.30,所以这三组的户数之和为:10000 x 0.3 = 3000.由于这三组的频率依次成等差数列，所以x,)，z也成等差数列，2y = x + z,又x + y + z = 3000, x-y = 500,解得:x = 1500, y = l00, z = 500.所以第六、七、八组的小矩形高度分别为:-网=。5, 则上= 0.10, 2B_ = o.O5.100001000010000补直方图(需注明第七组的小矩形高度为0.10,第六、八两组分别用虚线对应0.15和0.05.)(2)A类家庭的频率之和为:0.0

27、25 + 0.05 + 0.15 = 0.225 ；B类家庭的频率之和为:0.20 + 0.25 + 0.15 = 0.60：C类家庭的频率之和为:0.10 + 0.05 +0.025 = 0.175 .故A,5, C类家庭分别抽取的户数分别为:80 x 0.225 = 18 , 80x0.6 = 48 , 80 x 0.175 = 14.答:第六、七、八组的户数分别是：1500户、1000户、500户：(2)从A B, C三类家庭分别抽取的户数分别是18户、48户、14户.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握 水平和分析推理能力.18. (

28、1)见解析；叵21【分析】(1)以c为原点，CA, CB, eq分别为X, y, z轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明MN平面ACG4： (2)利用向量法求平而"汽片与平面4片&所成镜二而角的余弦值.【详解】(1)以C为原点，CA, CB, Cq分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系,如图，则。(0,0,0), 4(1,0,0), 3(0,1,0), G (0,0,2), 4 (1,0,2),与(0,1,2),设M(&X，Z|),因为从麻=24瓦，所以(不1,如zj = 2(1,1,2),124 / 1 2 4333因为C8 = (0,l,0)是平面ACG4的一个

29、法向量,一舁-1且赤丽=x0 + 0x 1 + -1-jxO = 0,故内=了,=1=记得:加匕三弓.所以上丽，又MNu平面ACGA，所以MN平面ACG4.丽心一卜|),丽+”号设平面MNB、的一个法向量为n = (x, y, z),x-y-2 = 0,x + 2z = 0,112ByM -万=-x-) - z = O1 3331?MN n = -x- z = 033令z = l，则x = 2, y = -4,所以=(-2,-4,1). 又平面AMG的一个法向量为oc；=(°，°，2)，设0表示平面MNB1与平面A与G所成锐二面角，n - OCX贝 ij cos 0 =-

30、n °G卜2x0 + ( Y)x+1x2 yJ2AJ" + (-47+x221【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间角的冲算，意在考查学生对这些知识的理解学 握水平和计算能力.19. (1)- + 2_ = 1; (2)3工23，_4 = 0或工6, + 4 = 0 82【分析】a2 b2 = 6,(1)由条件知 41，解方程即得解：(2)设直线48:一1 = (1-2),利用弦长公r + k=1gb-式求出AB|, |AC，根据AB|二2|AC|得解.【详解】a2-b2 =6,(1)由条件知( 41r+ =1Ur lra2 =8x2 v2解得:，c ,所以椭圆E

31、的方程为:+ = 1./厂=282 (2)设直线AB: y-=k(x-2),将直线A8的方程代入椭圆方程:产+4/一8 = 0得:/+4«-2)+ 11-8 = 0,即(x-2儿(x + 2) + 4X(x-2) + 8Z = 0, 解得：x = 2或y号子.故四卜 正可 T =4gFxxM4K+1同理 |AC| = 41+(M)2 悬=4 标给.因为|A目= 2|AC|,所以4，1天得m = 2x4ji化简得:|24+ 1| = 2|2%-1|,解得:A = |或'，3,、1所以直线A5的方程为:y-1 =-(%-2)或y-l =一(工一2) 26即 3x-2y-4 = 0

32、或x-6y + 4 = 0.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理 解掌握水平和分析推理计算能力.20. （1）800元，1700元；（2）选订购7次维修较划算【分析】（1）根据已知条件直接求出购买6次维修，而实际维修次数为5次时的维修总费用，购买 6次维修，而实际维修次数为8次时的维修总费用：（2）先求出购买维修次数为6次和7次 的总费用期望值，再帮助农机手进行决策.【详解】（1）购买6次维修，而实际维修次数为5次时的维修总费用为：6x100-50+5x50 = 800（元）：购买6次维修，而实际维修次数为8次时的维修总费用为：6x100+5

33、0x6+2x400 = 1700（元）.购买6次维修时：实际维修次数为6次时的维修总费用为:6xl00 + 6x50 = 900伉）：实际维修次数为7次时的维修总费用为:900 + 400 = 1300（元）：实际维修次数为9次时的维修总费用为:1700 + 400 = 2100（元）.综合（1）的计算，订购维修次数6次时的维修总费用概率分布表：维修次数56789维修总费用。800900130017002100P0.30.30.20.10.1E（0） = 800x0.3+900x0.3+1300x0.2 + 1700x0.l + 2100x0.l = 1150（元）:若订购维修次数为7次时，维

34、修总费用的概率分布表为：维修次数56789维修总费用。850950105014501850P030.30.20.10.1E（刍）=850乂0.3+950乂。3+1050><0.2 + 1450乂0.1 + 1850乂0.1 = 1080（元）.因为七（4）>七倡），所以选订购7次维修较划算.【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和 分析推理能力.721 .见解析；石8【分析】（1）先证明。E_L4C和4C_LA£,则A'C_L平而八4'。£即得证；（2）先求出A'和S四边形bdec，即

35、得四棱锥A' 3Z）£C的体积.【详解】在A4Z）石中,AD = 2, AE = , ZDAE = 60 >所以 06 = AD2 + AE2 -2AD- AEcosZDAE = 22+ 12-2x2xlxcos60 = 3 ,所以OE2+AE2=4 = A£>2，ZAED = 90 ,即O£«LA£，DE上EC；翻折后，DE上 A'E，DE工EC,又 EAcEC = E, £4', ECu平面 A EC，所以0E_L平而AZC，且NA'EC = 6O ,又A'Cu平而AEC,所以。

36、£ LAC:在AA'EC中，4£ = 1, EC = 2, ZA'EC = 60 ,与证明ZAED = 90°同理可得:NEA'C = 90所以AC ± AfE：由于及= ArE, OEu平面AED,所以A'C_L平而A,OE.(2)由(1)可知平面力ZC，又DEu平面BDEC,所以平面8OEC，平面A'EC.在平面A EC内过H作AfH 1EC于H,由于平而A'ECc平而BDEC = EC ,AH u平而AEC y所以A'H _L平而BDEC,/T又 A'H = A'Esin6(T = 2=-x32 - -x2xlxsin60所以匕，用瓯=aS四边形BDEC , A'H = JJx g =-33 4 Z o【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明和空间几何体的体枳的计算