近世代数期末考试题库完整

1、世代数模拟试题一一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中 只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无 分。1、设A=B=R（实数集），如果A至U B的映射中：x-x+ 2, WxR,则中是从A至U B的 （c ）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AXB中 含有（d ）个元素。A、 2B、 5C、 7D、 103、在群G中方程ax=b , ya=b , a,b6G都有解，这个解是（b ）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一

2、定唯一的D、相同的（两方程解一样）4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ）A、不相等B、0 C、相等 D、不一定相等。5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）A、倍数 B、次数C、约数 D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。1、设集合 a4-1。1； b=42,则有 bma =。2、若有元素e 6 R使每a 6 A,都有ae=ea=a ,则e称为环R的单位元。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。4、偶数环是整数环的子环。5、一个集合A的若干个-变换的乘法作成

3、的群叫做 A的一个变换全。6、每一个有限群都有与一个置换群 同构。7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1,元a 的逆元是a-1。8、设I和S是环R的理想且11s三R,如果I是R的最大理想，那么 。9、一个除环的中心是一个-域-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换。和七分别为:二;2345678产45678判断.和弋的奇偶性，并把.和6417352823187654写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩 阵之和。奇1、解：把仃和工写成不相杂轮换的乘积：二三(1653)(247)(8). =(123

4、)(48)(57)(6)可知仃为奇置换，七为偶置换。 。和可以写成如下对换的乘积：二二(13)(15)(16)(24)(27)=(13)(12)(48)(57)B(A A) C(A A)2解：设A是任意方阵，令2,2,则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且A = B+C。若令有A = B1+C1,这里bdC1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B-B1=C1-C,而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0,即：B =B1 , C =C1 ,所以，表示法唯一。3、设集合 Mm=0,12,m-1,m(m 1),定义Mm 中运算 ”为 a+m b=(a+b)(modm),则 (Mm, +的

5、是不是群，为什么？四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、设G是群。证明：如果对任意的XWG,有x2=e,则G是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商 域。2111.一 21、对于G中任意元x, y,由于(xy) =e,所以xy = (xy) =y x =yx (对每个x,从x =e 可得x=x ) o2、证明在F里 _j i a _ab = b a = (a,b R, b = 0) bQ =：所有 a a,b w R,b #0)有意义，作F的子集 l 婕Q显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二一、单项选择题二、

6、1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集(c )是子群A、nB、C、&aD、Qaa2、下面的代数系统（G, *）中，（d ）不是群A、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？ （ b ）A、a*b=a-bB、a*b=maxa,bC、 a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设 、。3 是三个置换，其中叫=（12） （23） （13） , %=（24） （ 14）,。3= （1324）,则。3= （ b ） 2_2一 一A、。1B、6 6 C、仃 2 D、仃2 仃15、任意一个

7、具有2个或以上元的半群，它（a ）。A、不可能是群B、不一*定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-变换全 同构。2、一个有单位元的无零因子-交换环-称为整环。3、已知群G中的元素a的阶等于50,则a4的阶等于-25-。4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与-模n乘余类加群-同构。5、A=1.2.3 B=2.5.6那么 AnB=-2-。6、若映射平既是单射又是满射，则称邛为-双射 。7、a叫做域F的一个代数元，如果存在F的-不都等于林-a0,a1,，an使得 a0 .

8、 a1、工-an- n = 0o8、a是代数系统（A,0）的元素，对任何xw A均成立x% = x,则称a为-单位元-。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法 封闭；结合律成立、-消去律成立。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是 。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A=1,2,3G是A上的置换群，H是G的子群，H=I,（1 2）,写出H的所有陪 集。2、设E是所有偶数做成的集合，位是数的乘法，则 是E中的运算，（E, ,）是一个 代数系统，问(E, )是不是群，为什么？1、解：H 的 3 个右陪集为：1,(1 2),

9、 (1 2 3 ) , (1 3), (1 3 2 ) , (2 3 )H 的 3 个左陪集为：1,(1 2) , (1 2 3 ) , (2 3), (1 3 2 ) , (1 3 )2、答：(E, )不是群，因为(E, ,)中无单位元。3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3 X102+85 102=1 185+17 由此得到(a,b)=17, a,b=a xb/17=11339 。然后回代：17=102-85=102-(b-3 X102)=4 X102-b=4 x(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15

10、分，共25分)1、证明 设e是群G, *的幺元。令乂=21*b,则 a*x= a*(a1*b) =(a*a1)*b =e*b =b。所以，x=a1*b 是 a*x = b 的解。若 x6 G也是 a*x= b 的解，则 x=e*x=(a1*a)*x = a1*(a*x)=a 1*b =x。所以，x =a- 1*b 是 a*x= b 的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm, 每个整数a所在的等价类记为a= x6Z; m | x -a或者也可记为a,称之为模m剩余 类。若m I a b也记为ab(m)。当m=2时，Z2仅含2个元：与1。四、证明题(本

11、大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、若6, *是群，则对于任意的a、b6G,必有惟一的x6 G使得a*x = b。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a? b当且仅当m I a力近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6阶有限群的任何子群一定不是 (c )。A、2阶B、3阶 C、4阶 D、 6阶2、设G是群，G有(c)个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个B、5个C、6个 D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于(d )。4、下列哪个偏序集构成有界格(d )A、偶数 B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次募A、(N,4)B、(Z,)C、(2,3,4,6,1

12、2,| (整除关系)D、(P(A)户)5、设 S3=(1), (12), (13), (23), (123), (132),那么，在 S3 中可以与(123)交换的所 有元素有(a )A、(1), (123), (132)B、12), (13), (23)C、(1), (123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。1、群的单位元是 的，每个元素的逆元素是 的。2、如果f是A与A间的映射，a是A的一个元，则ff(a)=a 。3、区间1 , 2上的运算a 0b=min a,b的单位元是-2。4、可换群 G 中间=

13、6,|x|=8，则 |ax|=24。5、环Z8的零因子有2,4,6。6、一个子群H的右、左陪集的个数-相等 。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-商权-。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-特征 。9、设群G中元素a的阶为m,如果an=e,那么m与n存在整除关系为-mIn-。三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、Si, S2是A的子环，则SiAQ也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换仃=(1345)(1245)7 = (234)(456)乏 S6。11,求5和七仃；2.确定置

14、换5和仃的奇偶性。群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分 类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，等等，可得总共8 种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b6SinS2有a-b, ab 6S1AS2: 因为 Si, S2 是 A 的子环，故 a-b, ab 6 S1 和 a-b, ab 6 S2 , 因而a-b, ab 6S1AS2 ,所以Si A S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：设4 = 式2),用=易见凡与多均为子环.但凡+ & = ；：式反白 Z卜是子坏 13、解.16=(1243)(56

15、) 丁 仃= (16524).2.两个都是偶置换。四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和 ab2a=e。1、证明：假定是R的一个理想而“不是零理想，那么a*0w 由理想的定义1a auN,因而R的任意元gbHi这就是说=R,证毕。2、证必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ,ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ,近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题，每小

16、题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AXB中含 有(d )个元素。A.2B.5C.7D.102.设A=B=R(实数集),如果A到B的映射则中是从A到B的(A.满射而非单射C. 一一映射3股 S3=(1)元素有(12), (13)a )邛：xx + 2, vx6R,c )B.单射而非满射D.既非单射也非满射(23), (123), (132),那么，在 &中可以与(123)交换的所有A.(1), (123), C.(1), (123)(13

17、2)4.设Z15是以15为模的剩余类加群B.(12), (13), (23)D.S3中的所有元素,那么，乙5的子群共有()个。A.2B.4C.6D.85.下列集合关于所给的运算不作成环的是(b )A.整系数多项式全体Z x关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法 ：m, nZ, mcn = 0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法 屿” rm, n6Z, mcn = 1二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 .设“是集合A的一个关系，如果“满足 则称“

18、是A的一个等价关 系。7 .设(G,)是一个群，那么，对于Va, b6G,则ab6G也是G中的可逆元，而且(ab)一8 .设(T =(23)(35), T =(1243)(235) 6 s5,那么p =看示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。9 .如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于va6 G,则元 素a的阶只可能是 5,15,1,3,10 .在3次对称群&中，设H = (1), (123), (132)是S3的一个不变子群，则商群G/H中 的元素(12)H =11 .设 Z6 = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 是以 6 为模的剩余类环，则 Z

19、6 中的所有零因子是2,3,412 .设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是13 .设Z x是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x) =14 .设高斯整数环 Z i =a+bi|a, b6Z,其中i2=1,则Z i中的所有单位是15 .有理数域Q上的代数元V2+再在Q上的极小多项式是 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)16 .设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群，中是Z到Zm的一个映射，其中 中：k k , vkZ,验证：中是Z到Zm的一个同态满射，并求中的同态核Ker中。17 .求以6为模的剩余类环Z6 = 0 , 1 , 2 ,

20、3 , 4 , 5 的所有子 环，并说明这些子环都是Z6的理想。18 .试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必 是主理想环。四、证明题(本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分)19 .设G = a, b, c, G的代数运算”由右边的运算表给出，证明：(G, )作成一个群。Qabcaabcbbcaccab20 .设R=/ bja,b,c,dWZ I=3f 0ja,cWZ；,11c d., Ac 0,已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。21.设(R, + ,)是一个环，如果(R, +)是一个循环

21、群，证明：R是一个交换环。 近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。1、C; 2、D; 3、B; 4、C; 5、D;二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、(1，-1)(1，0)(1,1络-1)(2，0)(2,19；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构；7、零、-a ; 8、S=I 或 S=R ; 9、域；三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、解：把。和写成不相杂轮换的乘积：一(1653)(247)(8)=(123)(48)(57)(6)可知仃为奇置换，七为偶置换。 仃和7可以写成如下对换的乘积：；二二(13)(15)(16)(24)(2

22、7). =(13)(12)(48)(57)11B= (A A) C=(A-A)2、解：设A是任意方阵，令 2,2,则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且A = B +C。若令有A = bi +G ,这里&和ci分别为对称矩阵和反对称矩阵，则 B-B1=C1-C,而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0,即：B=B1, C=C1,所以，表示法唯一。3、答：(Mm, %)不是群，因为Mm中有两个不同的单位元素0和m。四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、对于G中任意元x, y,由于(xy)2=e,所以xy = (xy尸= y,x= yx (对每个

23、x,从x2 = e 可得x=x)o2、证明在F里11a_ab=b a = (a,b R,b = 0) bQ = f所有-(a,b w R,b #0)有意义，作F的子集 I b，Q显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。1、C; 2、D; 3、B; 4、B; 5、A;二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、变换群；2、交换环；3、25; 4、模n乘余类加群；5、2; 6、一一映射；7、不都 等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、解：H 的 3

24、 个右陪集为：1,(1 2), (1 2 3 ) , (1 3), (1 3 2 ) , (2 3 )H 的 3 个左陪集为：1,(1 2) , (1 2 3 ) , (2 3), (1 3 2 ) , (1 3 )2、答：(E, )不是群，因为(E, ,)中无单位元。3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3 X102+85102=1 185+17由此得到(a,b)=17, a,b=a xb/17=11339 。然后回代：17=102-85=102-(b-3X102)=4 X102-b=4 x(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题(本大题共2小题，第

25、1题10分，第2小题15分，共25分)1、证明 设e是群G, *的幺元。令乂=21*b,则 a*x= a*(a1*b) =(a*a1)*b =e*b =b。所以，x=a1*b 是 a*x = b 的解。若 x6 G也是 a*x= b 的解，则 x=e*x=(a1*a)*x = a1*(a*x)=a 1*b =x。所以，x =a- 1*b 是 a*x=b 的惟一解。学习参考2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm, 每个整数a所在的等价类记为a= x6Z; m | x -a或者也可记为a,称之为模m剩余 类。若m I a b也记为ab(m)。当m=2时，Z2仅

26、含2个元：与1。近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题 1、C; 2、C; 3、D; 4、D; 5、A;二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、a ; 3、2; 4、24; 5、2,4,6； 6、相等；7、商群；8、特征；9、 mn .三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两 种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，等等，可 得总洪8种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,bS1AS

27、2有a-b, ab 6S1AS2: 因为 S1, S2 是 A 的子环，故 a-b, ab 6 S1 和 a-b, ab 6 S2 ,因而a-b, ab 6S1AS2 ,所以S1AS2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：眼式2),篇=1:卜卜:卜易见凡与多均为子环，但凡=: : |久瓦c e z卜是子坏3、解：1. 6=(1243)(56),广仃=(16524)；2.两个都是偶置换。四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、证明：假定是R的一个理想而“不是零理想，那么a0w ”,由理想的定义a4a因而R的任意元b = b.这就是说n=R,证毕

28、。2、证必要性：将b代入即可得。.学习参考充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab（ab2a）=（aba）b2a=ab2a=e ,ba=（ab2a）ba=ab2 （aba尸ab2a=e , 所以b=a-1 。近世代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打错的打“X”每小题1分，共10分）1、设A与B都是非空集合，那么A=B = xxWAxB%（ f ）2、设A、B、D都是非空集合，则AB到D的每个映射都叫作二元运算。（f ）3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f。（t ）4、如果循环群G=（a冲生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（t ）5、如果群G的子群H是循

29、环群，那么G也是循环群。（f ）6、群G的子群H是不变子群的充要条件为Vg WGRhW H;gHg工H。（t ）7、如果环R的阶22,那么R的单位元1#0。（ t ）8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。（t ）9、F（x）中满足条件pS）=0的多项式叫做元仪在域F上的极小多项式。（f ）10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与%同构的子域，这里Z是整数环，（p） p是由素数p生成的主理想。（f ）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）1、设Ai,A2,，An和D都是非空集合

30、，而f是Ai M A2 MM An到D的一个映射，那么 （2 ）集合Ai，A2,，An,D中两两都不相同；Ai，A2,，An的次序不能调换；Ai MA2 M父An中不同的元对应的象必不相同；一个元3a，a.）的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算（3）4在整数集Z上，a，b=W;在有理数集Q上，a*b=佃；ab在正实数集R +上，a，b = alnb;在集合Z n之0）上，a，b=a-b。3、设,是整数集Z上的二元运算，其中a，b = maxQb（即取a与b中的最大者），那么。在Z中（4）3不适合交换律；不适合结合律；存在单位元；每个元都有逆元。4、设（G,。）为群，其中G是实数集，而

31、乘法。:a* = a + b + k ,这里k为G中固定的常数。那么群（G,。冲的单位元e和元x的逆元分别是（4 ）0和-x；1和0；k和x-2k;-k和-（x + 2k）。5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a =bxc,acx = xac ,那么x = （2 ）1 bca,； ca。； abc,； b,ca。6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH。如果6,那么G的阶|G = （3）26;24;10;12。7、设f ：Gt G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（2） 4f的同态核是G1的不变子群；G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；G1的子群的象是G2的子群

32、；G1的不变子群的象是G2的不变子群。8、设f:RT R2是环同态满射，f（a）=b,那么下列错误的结论为（4）3若a是零元，则b是零元；若a是单位元，则b是单位元；若a不是零因子，则b不是零因子；若R2是不交换的，则Ri不交换。9、下列正确的命题是（4）1欧氏环一定是唯一分解环；主理想环必是欧氏环；唯一分解环必是主理想环；唯一分解环必是欧氏环。10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（1） 4（E:I ）=（E: I lI : F ）;（F ：E ）=（I : F （E:I ）;（I : F ） =（E: F IF : I ）;（E: F ）=（E : I KI : F三、填空题（

33、将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）1、设集合 A = Li,0,1）； B=4,2,贝U有 BMA =。2、如果f是A与A间的映射，a是A的一个元，则f1f（a）=a 。3、设集合A有一个分类，其中A与Aj是A的两个类，如果A#Aj,那么AnAj =0。4、设群G中元素a的阶为m,如果an=e,那么m与n存在整除关系为。5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。6、给出一个5-循环置换兀=（31425）,那么冗=。7、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为 x。8、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么%是

34、一个域当且仅当I是 一个最大理想。9、整环I的一个元p叫做一个素元，如果、p既不是零元，也不是单位，且q只 有平凡因子。10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果。四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线 ，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）1、如果一个集合A的代数运算*同时适合消去律和分配律，那么在4血2。a。里，元的 次序可以掉换。结合律与交换律2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法 封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立3、设I和S是环R的理想且I工S R,如果I是R的最大理想，那么

35、S#0。S=I 或 S=R4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d都是a和b的最大公因 子，那么必有=。一定有最大公因子：d和d只能差一个单位因子5、2叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元街同,，a。使得 a0 +a1 +ct+anan = 0。不都等于零的元五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）1、给出下列四个四元置换1 2J 24、4;12 3 4、,兀3 =J2 4 3 1“ 2 3 4、2 1 3 4；12 3i2 1 4组成的群试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及4、3)nW,n/和G的所有子群。2、设Z6 JOHlWblWBD是模6的剩 f (

36、x) = 3 x3 + 5 x + 2 、g(x) = 4 x2 + 5】x + 3，计算 的次数。六、证明题(每小题10分，共40分)1、设a和b是一个群G的两个元且ab = ba ,余类环，且f (x), g (x) w Z6【x】。如果f(x) + g(x)、 f(x)_g(x)和 f(x)g(x)以及它们又设a的阶a=m, b的阶b=n,并且(m,n)=1,证明：ab 的阶 ab=mn。2、设R为实数集,Va,bWR,a#0,令%(：RtR, xT ax+b,vxw R ,将R的所有这样的变换构成一个集合G =f(a,b)Ma,bwR,a0,试证明：对于变换普通的乘法,G作成一个群。3

37、、设i1和I2为环r的两个理想，试证I1 n%和I1巧2: 4、设R是有限可交换的环且含有单位元1,证明:子。=1a+baw I1,bw I2)都是R的理想。:R中的非零元不是可逆元就是零因、判断题二、单项选择题三、填空题1、5、9、近世代数试卷参考解答%-1 )(1,0 )(1,1 )(2-1 )(2,0 )(2,1变换群。6、(13524 )。7、p既不是零元，也不是单位10102、 a。3、4、mn。8、一个最大理想。且q只有平凡因子10、E的每一个元都是F上的一个代数元四、改错题那么在a1 22 - an里，元的1、如果一个集合A的代数运算,同时适合消去律和分配律 次序可以掉换。结合律

38、与交换律2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法 封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立3、设I和S是环R的理想且I JSJ R,如果I是R的最大理想，那么S#0。S=I 或 S=R4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d都是a和b的最大公因 子，那么必有d=d 。一定有最大公因子；d和d只能差一个单位因子5、叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元小,，an使得a0 a1 ”，an 二 二0不都等于零的元测验题一、 填空题(42分)1、设集合M与M分别有代数运算。与、且MM,则当。满足结合律 时，飞也满足结合律；当二满足交换

39、律 时，z也满足交换律。2、对群中任意元素a,b,有(ab) =；3、设群G中元素a的阶是n, n|m则am = e；4、设是任意一个循环群，若|a|=s,则(a)与整数加群 同构；若|a|=n,则与_n次单位根群；同构；5、设G=为6阶循环群，则 G的生成元有 a,a5 ;；子群有?Q,a3Me, a2,a4 Me, a,a2, a3, a4, a5,；6、n次对称群&的阶是_n!;置换工=(1378)(24)的阶是 4r 、几 1 2 3 41 自1 2 3 4、 R1 2 3 4、7、设 a =P =.贝IJaF =7、2 3 4 1 J4 1 3 2/4 1 3 2；8、设仃=(14)(235),7=(136)(25),贝;9、设H是有限群G的一个子群，则|G|二|H|:(G:H);10、任意一个群都同一个_双射）变换群；同构。二、证明题（24）1 .设G为