《二次函数》知识点梳理与总结

1、九年级二次函数知识梳理与总结考点1、二次函数的概念定义：一般地，如果 y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0),那么y叫做x的二次函数.一、/ 1汪思点：c为任意(1)二次函数是关于自变量 x的二次式，二次项系数 a必须为非零实数，即 aw0,而b、 实数。(2)当b=c=0时，二次函数y ax2是最简单的二次函数。22bx c为(3) 一次函数y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)自变量的取值为全体实数(ax整式)典型例题：2 o_a.例1 : 函数y= (mi+ 2) x巧 + 2x 1是二次函数，则 m=.例2:已知函数y=ax2+bx + c (其中a, b, c是常数

2、)，当a时，是二次函数；当 a_, b时,次函数；当a, b, c 时，是正比例函数.一例3:函数y= (m- n) x2+mx+ n是二次函数的条件是()A. m n为常数，且 mr 0B. m n为常数，且 mr nC. m n为常数，且nw0D. m n可以为任何常数例4：下列函数中是二次函数的有()I 1y=x+ ； y=3 (x1) 2+ 2; v= (x+3) 22x2； y=+x.xxA. 1个 B.2个 C.3个 D.4个考点2、三种函数解析式：II ) 一般式：y=ax2+bx+c (a w 0),对称轴：直线x= A顶点坐标：(,4ac b )2a2a 4a(2)顶点式：y

3、 a x h 2 k(aw。)，对称轴：直线x= h 顶点坐标为(h , k )(3)交点式：y=a (x-xi) (x-x2)(aw),x1 x2对称轴：直线x= x1 x2 2( 其中xi、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).例1:抛物线y x2 2x 8的顶点坐标为；对称轴是 J例2:二次函数y=-4 (1+2x) (x-3)的一般形式是例3:已知函数y mx2 (m2 m)x 2的图象关于y轴对称，则m=；例4:抛物线y=x2-4x+3与x轴的交点坐标是 例5:把方程x (x+2) =5 (x-2)化为一元二次方程的一般形式后a=( ),b=( ),c=()例6:在利用图象法求方

4、程齐建?+3的解了1和时，下面是四位同学的解法;甲二函数了内的图臬与X轴交点的横坐标叼、:k2gZ ：函数第三义工和7三1”的图恩交点的横坐标叼、qi ,一丙：函领和第二3的圉象交由的横坐标富1、S丁：函数y二算、和y二共+4的图象交点的横坐标尺*| Kji你认为正楣解法的同学宥)考点3、用待定系数法求二次函数的解析式(1) 一般式：y ax2 bx c.已知图像上三点或三对 x、y的值，通常选择一般式(2)顶点式：y ax hk.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标 Xi、x2，通常选用交点式：y a x Xi x X2 .例1: 一个二次函数的

5、图象顶点坐标为（-5,1）,形状与抛物线y=2x2相同，这个函数解析式为_例2：已知抛物线的顶点坐标是（一 2, 1）,且过点（1, 2）,求抛物线的解析式。例3：已知二次函数的图像经过（0, 1）, （2, 1）和（3, 4）,求该二次函数的解析式。例4：已知二次函数的图像与x轴的2个交点为（1, 0）, （2, 0）,并且过（3, 4）,求该二次函数的解析式。考点4.二次函数的图象1、二次函数 y ax2 bx c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.22、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y ax2；y ax2 k ; y ax h ；y a x h 2 k; y ax2

6、 bx c.注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到3、二次函数 y ax2 bx c的图像的画法因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时步骤是：（1） 先找出顶点坐标，画出对称轴；（2） 找出抛物线上关于对称轴的四个点（如与坐标轴的交点等）；（3） 把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来典型例题：例1:函数y=x2的顶点坐标为 .若点（a, 4）在其图象上，则 a的值是.例2:若点A （3, m）是抛物线y= x2上一点，则m=.例3:函数y=x2与y= x2的图象关于 对称，也可以认为 y= -x2,是函数y=x2的图象绕 旋转得到.例4:若二次函数y=ax2 （aw

7、。），图象过点P （2, 8）,则函数表达式为 .例5:.函数y=x2的图象的对称轴为 ,与对称轴的交点为 ,是函数的顶点.1例6:点A （万，b）是抛物线y=x2上的一点，则b=；点A关于y轴的对称点B是,它在函 数 上；点A关于原点的对称点 C是,它在函数 上.例7:若a1,点（一a 1, y。、（a, y2）、（a+1, y3）都在函数y=x2的图象上，判断yi、y2、y3的大小关系？例8：如图，A B分别为y=x2上两点，且线段 AB y轴，若AB=q则直线AB的表达式为（A. y=3 B . y=6 C . y=9 D . y=36考点5.二次函数的性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐

8、标2y ax当a 0时 开口向上当a 0时 开口向卜x 0 ( y 轴)(0,0 )2.y ax kx 0 ( y 轴)(0, k)2y a x hx h(h,0)2y a x h kx h(h, k)2y ax bx cb x2a, b 4ac b2(,)2a 4a注：常用性质：1、开口方向：当 a0时，函数开口方向向上；当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大;当a0时，函数有最小值，并且当b4ac b2x= 一 , y 最小二2a4a当ay= - -x3 + 2抛物线(1)形状与 3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是(0, 3)的的解析式；

9、y =1芯鼻-2(2)与抛物线5 关于x轴对称的抛物线的解析式；_7(3)对称轴是y轴，顶点的纵坐标是 2 ,且经过(1,1)点的抛物线的解析式。y = x3 + 2x+ 1例3:已知函数2(1)写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值；(2)求抛物线与x轴、y轴的交点；(3)观察图象：x为何值时，y随x的增大而增大；(4)观察图象：当x为何值时，y0时，当x为何值时，y=0;当x为何值时，y0时，函数开口方向向上;当a0 ,b0,c=0B. a0,b0,c=0C. a0,b0,c0,b0,c=0例2:在同一直角坐标系中，直线y=ax+b和抛物线y = ax2 + bx +# 0)的图象只

10、可能是图中的 （BCD例3:在同一直角坐标系中，函数b和y-b/ *幽的图象只可能是图中的（例4: （2009年贵州黔东南州）抛物线的图象如图所示,根据图象可知，抛物线的解析式可能A y=x2-x-2b、y= 1x222、y= x x例5:（2009年齐齐哈尔市）已知二次函数y2axbxc（ a 0）的图象如图所示，则下列结论：ac 0 ；方程ax2 bx c 0的两根之和大于0；y随x的增大而增大； a b c 0,其中正确的个数（）B. 3个C. 2个D. 1个A. 4个例6： （2009丽水市）已知二次函数y= ax2+bx+ c（a w 0）的图象如图所示，给出以下结论: a0.该函数

11、的图象关于直线当x 1或x 3时, 其中正确结论的个数是（A. 3 B. 2 C. 1 D.x函数1对称.y的值都等于）考点9、抛物线的平移方法：左加右减，上加下减抛物线的平移实质是顶点的平移，因为顶点决定抛物线的位置，所以，抛物线平移时首先化为顶点式2y ax向上（k0）向下（k0）向下（k0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当x=b2a24ac by最小=4a2、当a0时，万程ax bx c 0有两个不相等的实数根，即抛物线y ax bx c与x轴有两个不同的交点。当=0时，方程ax2 bx c 0有两个相等的实数根， 即抛物线y ax2 bx c与x轴有一个交点。当 0)A =b2-4a

12、cy=ax2+bx+c的图象ax2+bx+c=0 的实根ax2+bx+c0 的解集ax2+bx+c0y， b/.b(-8 ,x 1) u (x2,+OO)(Xi ,x 2)x1, 2=2a(x1x2)oxA=0b xi=x2= - 2 abx 1 x w - 2a oxA0? , y=0? , y0;当x 时,例7:观察右图二次函数 y=x2-mx-4的图象回答：方程x2 mx 4 = 0的解是;不等式 x2 mx 40 的解集是, 不等式 x2-mx 4 0的解集是 .y 0.考点14、二次函数的应用1、理论应用 (基本性质的考查：解析式、图象、性质等)2、实际应用 (求最值、最大利润、最大

13、面积等)3、跨学科综合题 (动点问题、存在性问题、探索性问题等)典型例题：例1：如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为 x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少nf(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少“比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？例2:当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量 .某型汽车的撞击影响可 以用公式I=2v2来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度；(1)列表表示I与v的关系.(2)当汽车的速度扩大为原来的2倍时

14、，撞击影响扩大为原来的多少倍？例3: (3).如图7, 一位运动员在距篮下 4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少y 加3.5)-4 m例4:某商人如果将进货单价为 8元的商品按每件10元出售，每天可售出100件。现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少 10件，如果他每天所赚利润为y元，试求出y与售出价x之间的函数关系式。(5), 已知抛物线了二部？与直线交于A、B两点，已知A点的横坐标是3,求A、B两点的坐标及 抛向线的关系式。例5:某地解放大桥拱形钢梁呈抛物线状，拱顶 A离桥面50m,桥面上拱形钢梁之间距离 BC=120m建立如图所 示的直角坐标系。(1)写出A、B、C三点的坐标