初三数学二次函数与直角三角形的综合问题教案

1、二次函数与直角二角形的综合问题适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域全国通用课时时长（分钟）120知识点二次函数综合；勾股定理；相似三角形的性质；教学目标1 .熟练运用所学知识解决二次函数综合问题2 .灵活运用数形结合思想教学重点巧妙运用数形结合思想解决综合问题；教学难点灵活运用技巧及方法解决综合问题；教学过程一、课堂导入二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，考点分值12 分，难度较大。主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。就本节二

2、次函数与直角三角形的点存在性问题，主要考查了学生能否将直角三角形的性质与判定融入到二次函数，在函数图像中构造题意所需图形的能力。二、复习预习相似三角形的概念及其性质1 .定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。2 .性质定理：(1)相似三角形的对应角相等；(2)相似三角形的对应边成比例；相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;(4)相似三角形的周长比等于相似比；(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.三、知识讲解考点1 二次函数的基础知识1 .一般地，如果y=ax2+bx+c (a, b, c是常数且a*0),那么y叫做x的二次函数，它是关于自

3、变量的二次式，二次 项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据.当 b=c=0时，二次函数y=ax 是最简单的二次函数.2 .二次函数y=ax 2+bx+c (a, b , c是常数，a汽)的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ,通常要知道图像 上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a (x h) 2+k,通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a (x-xi) (x-x2),通常要知道图像与x轴的两个交点坐标xi, x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c b 4ac b2而言，其顶点坐标为(w， 4a ) .对于

4、y=a (x-h) 2+k而言其顶点坐标为(h , k), ?由于二次函数的图像为 抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点.考点2勾股定理及逆定理1 .定理：直角三角形两直角边a, b的平方和等于斜边c的平方。(即：a2+b2=c2)2 .勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：(1)已知直角三角形的两边求第三边(2)已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3 .逆定理：如果三角形的三边长：a, b, c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。4 .用勾股

5、定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：(1)首先确定最大边，不妨设最长边为 Co(2)验证c2和a2+b2是否具有相等的关系，若a2+b2=c2,则BC是以/C为直角的直角三角形考点 3 探究直角三角形的一般思路 探究直角三角形的存在性问题时，具体方法如下：（ 1 ）先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；（ 2 ）找点：当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下：当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足

6、条件的数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；（ 3 ）计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边（表示线段时，注意代数 式的符号） 。再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点坐标。四、例题精析例1如图，已知抛物线y = x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(0 , 3),对称轴是直线x = 1 ,直线BC与抛物线的对称轴交于点 D .(1)求抛物线的函数表达式；(2)求直线BC的函数表达式；(3)点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点，且点P

7、在第三象限.当线段PQ 3AB时，求tan /CED的值；4当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点 P的坐标.【规范解答】(1 )设抛物线的函数表达式为y (x 1)2 n ,代入点 C(0 , 3),得n 4 .所以抛物线的函数表达式为22 一y (x 1)4 x 2x 3 .(2)由 y x2 2x 3 (x 1)(x 3),知 A(1 , 0), B(3, 0).设直线 BC 的函数表达式为 y kx b ,代入点 B(3, 0)和点C(0, 3),得3k b 0,解得k 1, b 3.所以直线BC的函数表达式为y x 3. b 3.(3)因为AB = 4,所以PQAB

8、 3.因为P、Q关于直线x=1对称，所以点P的横坐标为 .于是得到点P42的坐标为 -7,点F的坐标为0 7.所以FC OC OF 3 75, EC 2FC -2,44442进而得到OE OC EC 3 5 1 ,点E的坐标为0,-.2 22直线BC：y x 3与抛物线的对称轴x=1的交点D的坐标为(1, 2).过点D作DH y轴，垂足为H .在 Rt江DH 中，DH = 1, EH OH OE 2 1 3 ,所以 tan/CED 也 22 2EH 3 P(1 拒 2) , F2(1 , 5).22【总结与反思】1 .第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题.2 .

9、第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系.3 .根据C、D的坐标，可以知道直角三角形 CDE是等腰直角三角形，这样写点 E的坐标就简单了.4例2如图，直线y 3x 4和x轴、y轴的父点分别为B、C,点Aq坐标是(-2, 0)(1)试说明zABC是等腰三角形;(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒单位长度.当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动.设 M运动t秒时，AMON的面积为S.求S与t的函数关系式； 设点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形？若存在，求出对应的t值；

10、若不存在请说明理由;在运动过程中，当AMON为直角三角形时，求t的值.4【规范解答】直线y -x 4与x轴的父点为B0）、与y轴的父点C （0, 4） . Rt例C中，OB = 3, =4,所以BC = 5.点A的坐标是（-2 , 0）,所以BA = 5.因此BC=BA,所以9BC是等腰三角形.,_4中，BN =t, sin B ,所以 NH5如图2,当M在AO上时,如图3,当M在OB上时,一一1一1OM=2t,止匕时 S-OMNH(22242 c 4.t) tt t.止匕时 0Vt&2.5552) 4t -t2 4t 止匕时 2t5.5552 后（舍去负值）.因此，当点M在线段OB上（2）如

11、图2,图3,过点N作NH XAB,垂足为H .在RtzBNH运动时，存在S=4的情形，止匕时t 2%.如图 4,当/OMN =90 时，在RtzBNM 中，BN=t,BM5B会所以丁：.解得，25.如图5,当/MON =90时，N与C重合，t 5.不存在/ONM =90的可能.所以，当t名或者t 5时，WON8为直角三角形.图4图5【总结与反思】1.第（1）题说明4ABC是等腰三角形，暗示了两个动点 M、N同时出发，同时到达终点.2 .不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含t的式子表示OM要分类讨论.3 .将S = 4代入对应的函数解析式，解关于t的方程.4

12、 .分类讨论AMON为直角三角形，不存在/ ONM =90的可能.例3如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0, 8）,点C的坐标为（6, 0）.抛物线y= -1x2+bx+c经 y过A、C两点，与AB边交于点D.（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ,设CP=m ,3PQ的面积为S.求S关于m的函数表达式，并求出 m为何值时，S取得最大值；当S最大时，在抛物线y= - 42+bx+c的对称轴l上若存在点F,使疔DQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由.4 c4【规范解

13、答】（1）将A、C两点坐标代入抛物线y4x2 bx c c = 8,-9936 6b c0,8，抛物线的解析式为y4x2 4x 893(2)OA=8 ,OC=6AC JoA2 OC210过点Q作QELBC与E点,贝 sinACBQE ABQC AC.QE 3.2QE10 m 53 10 m ,S51 CP QE21m 3 10 m Wm2 3m 2510310152二当m=5时，S取最大值;在抛物线对称轴l上存在点F,使zFDQ为直角三角形，二抛物线的解析式为8的对称轴为D的坐标为（3, 8）, Q （34)当/FDQ=90时，F1（2，38),当/FQD=90 时，贝UF2 (324)当/D

14、FQ=90,3时，设F（29n), WJ FD2+FQ 2=DQ 2,即 *416,解得:F3 (3,6273 c ，、-2-), F4 (-, 6 -2-),满足条彳的点F共有四个，坐标分别为F1 ( , 8), F2 (, 4), F3 (, 6 乌)，F4 (2 , 6 ) 222222【总结与反思】1 .将A、C两点坐标代入抛物线y 4x2 -x 8即可求得抛物线的解析式； 932 .先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积 S关于m的函数，化简为顶点式，便可求出 S的最大值;直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写.例4如图，在平面直角坐标系中，已知点 A的坐标是(4, 0

15、),并且OA=OC=4OB ,动点P在过A, B, C三点的抛物线上.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在点P,使得 ACP以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作y轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的备用图【规范解答】 解：(1)由 A (4, 0),可知 OA=4 , = OA=OC=4OB,OA=OC=4, OB=1 ,a - b+c=O- 1C 0, 4), B ( 1 , 0).设抛物线的解析式是 y=ax 2+bx+c ,贝山 16a+4b+亡=0 ,解得：, b=

16、3 ,则抛物线的解析式是：y= - x2+3x+4 ；(2)存在.第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CPiAC,交抛物线于点Pi.过点Pi作y轴的垂线，垂足 是 M. . / AC90 , ./ PMC ACO=90 . / ACO+/ OAC=90 , . .iN/OAIP.v OA=OC,. / MCP/ OAC=45 , . . / iMCPMPC,. MC=MP,设 P (m , m2+3m+4 ),贝U m= m2+3m+4 4 ,解得：m i=0 (舍去)，m2=2 .-m2+3m+4=6 ,即 P (2, 6).第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP2, AC交抛物线于

17、点P2,过点P2作y轴的垂线，垂足是N, AP交y轴 于点 F.P2N/x 轴，由/ CAO=45 0 , . OAP=45 2,N=45 ,IAO=OF . . .P2N=NF ,设 P2(n, n2+3n+4 )，贝U n= ( n2+3n+4 ) i ,解得：ni= - 2, n2=4 (舍去)，. . 一 n2+3n+4= 6,WJ P2的坐标是（-2, - 6）.综上所述，P的坐标是（2, 6）或（-2, -6）;最短,D是AC（3）连接OD,由题意可知，四边形 OFDE是矩形，则OD=EF .根据垂线段最短，可得当 OD，AC时，OD 即EF最短.由（1）可知，在直角 由OCOC=OA=4 ,则AC=行而刀=46,根据等腰三角形的性质， 的中点.又:DF/ OC,加/2，点P的纵坐标是2.则-x2+3x+1=2 ,解得：x二3土;当EF最短时，点P的坐标是：（史/，0）或（ 严,0）.【总结与反思】(1)根据A的坐标，即可求得OA的长，则B、C的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；(2)分点A为直角顶点时，和C