三角函数及解三角形练习题

1、三角函数及解三角形练习题一.解答题(共16小题)1 .在 ABC中，3sinA+4cosB=6 4sinB+3cosA=1 求 C 的大小.2 .已知 3sin 9 tan Q =8 0 00, - K)的图象关于直线x=M称，且 图象上相邻两个最高点的距离为九.(I )求和小的值；(H)若 f() =(a6 I |哼)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x)的解析式；(2)在 ABC中，角 A, B, C的对边分别是 a, b, c,若(2a-c) cosB=bcosC求f的取值范围.9.函数f (x) =2sin (+小)(0, 0V小)的部分图象如图所示，M为最高点，该图象与y轴交于点

2、F (0,),与x轴交于点B, C,且4MBC的面积为冗.(I )求函数f (x)的解析式;(H )若 f ( a)=，求 C0S2 a的值.TT10.已知函数 F(x)=win2工十J(I )求f (x)的最大值及相应的x值;(H)设函数式Q二共二:耳)，如图，点P, M, N分别是函数y=g (x)图象的零值点、最高点和最低点，求cos/ MPN的化11.设函数 f (x) =sin ( x) +sin ( x一),其中 0 w g (x)成立的x的取值集合.19 .已知向量 a= (m, cos2x),忖=(sin2x, n),函数 f (x) =ab,且 y=f (x)的 图象过点(,

3、)和点(,-2).(I )求m, n的值；(H )将y=f (x)的图象向左平移(|)(0()兀)个单位后得到函数y=g (x)的 图象，若y=g(x)图象上的最高点到点(0, 3)的距离的最小值为1,求y=g(x) 的单调递增区间.三角函数及解三角形练习题参考答案与试题解析一.解答题(共16小题)1. (2017 遂宁模拟)在 ABC中，3sinA+4cosB=6 4sinB+3cosA=1 求 C 的大小.【分析】对已知式平方，化简，求出sin (A+B)，确定A+B的值，利用三角 |2形的内角和求出C的大小.【解答】解：两边平方(3sinA+4cosB 2=36得 9sin (2017浙

4、江模拟)已知 3sin 9 tan 9, =8 0V 93cosA31,贝U 4sinB+3cosA 1 这是不可能的所以A+B=因为 A+B+C=180所以C=【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题.2白8为锐角.【解答】解：(I ) .3sin 9 tan 超3_=8,且 0V 9 0, cas 9.3-3?口；白=8,求得 cos 8工，或 cos 8 = 3 (舍去),sin 8 尸cos 63综上可得，cos 8 =.(H )函数 f (x) =6cosxcos(x- 0) =6cosx (cos专+sinX)cos2x+sin2x)=2cox+4sinx

5、cosx=cos2x+1+2sin2x=3 =3cos (2x- 0), 在0,上，2x-况-8,-机f (x)在此区间上先增后减，当2x- 9 =0寸，函数f (x)取得最大值为3,当2x- 8= 8时，函数f (x)取得 最小值为 3cos ( - 0) =3cos 0 = 1故函数在0,上的值域为1, 3.【点评】本题主要考查三角包等变换，余弦函数的定义域和值域，属于基础题.3. (2017海淀区一模)已知是函数 f (x) =2co3x+asin2x+1的一个零点.(I )求实数a的值；(H)求f (x)的单调递增区间.【分析】(I )利用函数的零点的定义，求得实数 a的值.(II)利

6、用三角包等变化化简函数的解析式， 再利用正弦函数的单调性求得f(x) 的单调递增区间.【解答】 解：(I)由题意可知即f 二二2c 0/与叶仄式口卷。二0 , JJJJ即 F=2Ct )1-0，解得 a= Vs .Qtd-i也( H ) 由 ( I ) 可 得 f Ck) =2co s2 x-VSsin2x+l =cc,s2x-V3sin2:x-l-2=25Ln(2K+_L)+2 ,kCZ.函数y=sinx的递增区间为由2。及+等 2k8吟,kCZ,得k兀WYk：, kCZ, 3G所以，f (x)的单调递增区间为k冗一，k-TT-, kCZ. 36【点评】本题主要考查函数的零点的定义，三角恒等

7、变换、正弦函数的单调性， 属于中档题.4. (2017 衡阳三模)已知函数 f (x) =sin (2x+) +sin2x.(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)若函数g (x)对任意x R,有g (x) =f (x+),求函数g (x)在-,上的 值域.【分析】(1)利用两角和的正弦函数公式及二倍角公式化简函数f (x),再由周期公式计算得答案；(2)由已知条件求出g(x) =sin(2x+)得，当xC 一,时，贝U 2x+C 0, 平, 由正弦函数的值域进一步求出函数 g (x)在-,上的值域.【解答】解：(1) f (x) =sin (2x+) +sin2x =-sin2x+cos2

8、x+sin2x22-sin2x+cosnJ4sin2x+1 - -=7-sin2x+7,，- f (x)的最小正周期T=。？二冗;sin2 (x+)sin (2x+)(2) :函数 g (x)对任意 x R,有 g (x) =f (x+), g (x) 当 xC-,时，则 2x+e M 9,J则&sin (2x+) 1,即xwg (x) yfy,解得三Wg (x) 0)的最小正周期为(1)求的值;(2)求f (x)的单调递增区间.【分析】(1)利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得(的值；(2)直接由相位在正弦函数的增区间内求解 x的取值范围得f (x)的单调递增 区间.【解答

9、】 解：(1) f (x) =2sin xcos+cos2cox=sin2 w+cos2 cd x=2x_cos2 x) =/2sin (2-由T=一 5,得=1;29(2)由(1)得，f (x) =VsinC2x+p) -再由 4+2k冗0,-小)的图象关于直 线乂=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为伍(I )求和小的值；(H)若 f() =(a),求 COS ( a+)的值.【分析】(I )由题意可得函数f (x)的最小正周期为 冗求得=2再根据图象 关于直线x=对称，结合-0小(可得 小的值.(H )由条件求得sin (a- ) =j-.再根据a-的范围求得COS (a-)的值，再 根

10、据COS ( o+) =sin a =sn( a-) +,利用两角和的正弦公式计算求得结果.【解答】解：(I )由题意可得函数f (x)的最小正周期为阳=冗，.二2 再根据图象关于直线x二对称，可得2X +(|)=k + , kCz.结合-W小可得 4 h .(n)=f () = ( a),sin (a ) =, sin (a一) .4再根据0 a- ,8s(厂)=J1-(S 专产cos ( o+) =sin a =sin( a ) +=sin ( a ) cos+cos ( a一 ) sin_1vl_-73Nl5= 4X-+X28-【点评】本题主要考查由函数 y=Asin (叶小)的部分图象

11、求函数的解析式，两 角和差的三角公式、的应用，属于中档题.7. (2017 江苏)已知向量=(cosx, sinx), b= (3, 一), x 0,句.(i)若?求x的值；(2)记f (x) =a,求f (x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【分析】(1)根据向量的平行即可得到tanx=-，问题得以解决，(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：(1) 丁 白=(cosx, sinx), 口= (3, ), a / b ,一 cosx=3sinx . tanx=一,x 0,句,x=sinx) =2cos (x+)(2) f (x) = a=3cosx- si

12、nx=2 (cosx x+e ,一 1 cos (x+) 0, |巾|4）的部分图 象如图所示.（1）求函数f （x）的解析式；（2）在 ABC中，角 A, B, C的对边分别是 a, b, c,若（2a-c） cosB=bcosC 求f（A）的取值范围.V A【分析】（1）根据图象求出A,和耙即可求函数f （x）的解析式；（2）利用正弦定理化简，求出 B,根据三角内角定理可得 A的范围，利用函数解析式之间的关系即可得到结论【解答】解：（1）由图象知A=1,4（里-二）二n，；3二2126 . f （x） =sin （2x+（|）二.图象过（二，1）,将点（三,1）代入解析式得人门七0）二1

13、, 663冲1手，斗6故得函数f8）二sin（2）由（2a - c） cosB=bcosC根据正弦定理，得：（2sinA- sin。cosB=sinBcosC2sinAcosB=sin（B+。,2sinAcosB=sinA .AC （0,九），sinAw 0, cosB吉,即 B=.A+Cq 即)rrrr? /A、,. x 2 兀 兀 x* i IT x 5月Ba： f(万)二，0A,0, 0小)的部分图象如 图所示，M为最高点，该图象与y轴交于点F (0,),与x轴交于点B, C,且4 MBC的面积为九.(I )求函数f (x)的解析式；(H )若 f ( a)=，求 C0S2 a的值.【分

14、析】(I )依题意，由&mbc=X2X |BC|=|BC| =九可求得其周期T=2冗亏解得=1,再由f (0) =2sin小尸可求得耙从而可求函数f (x)的解析式；(H )由f ( a- ) =2sin a尸可求得sinq再利用二倍角的余弦即可求得cos2 a的化【解答】解：(I )因为&mbc=Lx2X|BC|=|BC| =九，所以周期T=2冗亏解得 ”1,由f (0) =2sin小尸得sin小h因为0V(K,所以小弓所以 f (x) =2sin (x+)；(H )由 f ( a) =2sin a 尸得 sin a =所以 cos2 a =1 2sin2 a. 5【点评】本题考查由y=As

15、in (肝小)的部分图象确定其解析式，求得 与小是 关键，考查二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.10. (2017延庆县一模)已知函数 f(i：) =sin2s+s-(I )求f (x)的最大值及相应的x值；(H)设函数式口二(卷工),如图，点P, M, N分别是函数y=g (x)图象的零 值点、最高点和最低点，求cos/ MPN的值.【分析】(I )化简函数(x)为正弦型函数，利用正弦函数的图象与性质求出它 的最大值以及此时对应的x值；(II)化简函数g (x),过D作MD，x轴于D,根据三角函数的对称性求出/ PMN=90,再求 cos/ MPN 的值.JT【解答】解：(I )函数 f

16、G)=sinZx+s infi-Nx)=sin2x+cos2x-sin2x (1 分)一一 ：；，一 一 ：-：ITfin);(3分)Jf (x)的最大值为f (x) max=1,分) TTTT止匕时2没令二2kn勺，(5分)解得十kEZ;仁分)TT(H )函数 式兀)=f (7-，=sin2 (x) +=sin (x+),(7 分) 过D作MD，x轴于D,如图所示;PD=DM=1,./ PMN=90 ,（9 分） 计算 PM=, MN=2PM=2, PN=jF+32=,(门 分).二 ss/MPN二 ?(13 分)V10 5【点评】本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的计算问

17、题， 是综合题.11. (2017 山东)设函数 f (x) =sin ( cox-) +sin (x-),其中 0V 3,已知 f () =0.(I )求；(H)将函数y=f (x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变)， 再将得到的图象向左平移个单位，得到函数 y=g (x)的图象，求g (x)在-, 上的最小值.【分析】(I )利用三角包等变换化函数f (x)为正弦型函数，根据f () =0求 出的值；(H)写出f (x)解析式，利用平移法则写出 g (x)的解析式，求出x-, 时g (x)的最小值.【解答】解：(I )函数f (x) =sin (x ) +sin (x)=

18、sin xcoscos xsin sin (一力一 皇-sin coxCOScox=sin ( x一),又 f () =sin (-)=0,.=k：t, kCZ,解得=6+2,又 0 Cl)2ab得出c2ab,也就得到了异i,这样由余弦定理便可 abO 2得出加式沁-1,从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值. zab【解答】解：(I)证明：由以也珍上吟耳鼻得:COSD COSA25inA +_inB )_ sinA 卜 三inB.ZkcosA cosB J-cosAcasB casAcosB .两边同乘以 cosAcosB得，2 (sinAcosB+cosAsinB =sinA

19、+sinB； . 2sin (A+B) =sinA+sinB 即 sinA+sinB=2sinC(1);根据正弦定理，二弱; sirA sinB sinC盘曲吟盘曲袅立公扁，带入（1）得:a+b=2g(n) a+b=2g(a+b) 2=a2+b2+2ab=4c2;a2+b2=4c2 - 2ab,且 4c214ab,当且仅当 a=b 时取等号;又 a, b0;由余弦定理,2 , . 2县+b .GOsL=丁丁ZabC2 _3ci-2ab 5c2.2 ab 12ab. cosC的最小值为千【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为阳以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式 a2+

20、b22ab的应用，不等式的性质.13. （2015四川）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角.（I ）证明：tanA l-cosA .2 sinA(H)若 A+C=180, AB=6, BC=3, CD=4 AD=5,求ta哈+tan| +tan- +tan-的值.【分析】（I ）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可.（H ）通过 A+C=180 ,得 C=180 A, D=180 - B ,利用（I ）化简 ta合ta吟+tanf+ta*=i亮T连结町在的中,利用余弦定理求出sinA,连结AC,求出sinB,然后求解即可.sinA区盘【解答】证明：(I) ta心二=-上*

21、等式成立.2 A 9 A .A sinACO s7 Zcos- SlIT-(H )由 A+C=180 ,得 C=180 A, D=180 B ,由(I )可知：tan三+tanL+tanL+tan=： -口二一-三一=2222 sinA sinB sin(lS0 -4sin.(180 -B)?12,连结 BD,在AABD 中，有 BDA+AD22ABADcosA AB=6, BC=3, sinA sinBCD=4 AD=5, 在 BCD中，有 BD2=BG+C5 2BCCDcosC 所以 AB2+AD2 - 2ABADcosA=B2+Ctf- 2BCCDcosC 则：cosA=:- Y2(AB

22、-AD+BC-CD) 2 (6 乂 5+3乂4) 7于是 sinA= -, _ =；cosB= ：-= -连结AC,同理可得:查函数与方程的思想，转化与化归思想的应用.2 (AB-BC+AD-CT) 2(6X 3+5 X 4)14. (2015 重庆)已知函数 f (x) =i-sin2x- cos2x.(I )求f (x)的最小周期和最小值；(H)将函数f (x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x)的图象.当xC冗时，求g (x)的值域.【分析】(I )由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f (x) =sin (2x-)-,从而可求最小周期和最小值；

23、(H )由函数y=Asin (叶小)的图象变换可得g (x) =sin(x-)-,由xC,可时，可得X-的范围，即可求得g (x)的值域.【解答】解：(I ) . f7 (x) =Lsin2x- cos2x=-sin2x-2(1+cos2X)=sin (2x-)- f (x)的最小周期T=兀，最小值为：-1-二-生旦. 2(H )由条件可知：g (x) =sin (x-)- 当xC,句时，有x- C,从而sin (x -)的值域为-1-, 1,那么sin (x -)-的值域为：士:画，处应, 22故g (x)在区间,句上的值域是上臣，Jh应. 22【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用

24、，函数 y=Asin (肝小)的 图象变换，属于基本知识的考查.15. (2015重庆)已知函数 f (x) =sin ( - x) sinx- cox.(I)求f (x)的最小正周期和最大值；(II)讨论f (x)在,上的单调性.【分析】(I )由条件利用三角包等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的 周期性和最值求得f (x)的最小正周期和最大值.(r)根据2x - e 0,句，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f (x)在Bi上的单调性.63【解答】解：(I)函数 f (x) =sin ( x) sinx cos2x=cosxsin:x- (1+cos2%-sin2x- cos2x- =sin (2x