BLACK-SCHOLES期权定价模型

1、BLACK-SCHOLES 期权定价模型Black-Scholes 期权定价模型(Black-Scholes Option Pricing Model), 1997 年 10 月 10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦 斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的 布莱 克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价 奠定了基础，特别是为评估组合保险

2、成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。BLACK-SCHOLES期权定价模型-简介斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式(看涨和看跌)。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以，布莱克一斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克斯克尔斯默顿定价模型(含红利的)。默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞士皇家科学协会(The Royal SwedishAcademyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25

3、年经济科学中的最杰出贝献。BLACK-SCHOLES期权定价模型-其假设条件(一)B-S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布；(股票价格走势遵循几何布朗运动)2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。（二）荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式c SNd1） Le rTN（d2）其中:2ln(S/L) (r / 2)Td1-Td2叱Q上一d

4、i TJc一期权初始合理价格L一期权交割价格S一所交易金融资产现价T一期权有效期r 一连续复利计无风险利率2 ,、,（标准正态分布=0）一年度化方差（波动率）N（）正态分布变量的累积概率分布函数在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率（设为r0） 一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为：r=ln（1+ 0）或0=6-1。例如 r0=0.06 ,贝U r= In （1+0.06）=0.0583 ，即 100 以5.83%的连续复利投资第二年将获106,该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致

5、。第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年 365天的比值。如果期权有效期为 100 天，则 T=100/365=0.274。BLACK-SCHOLE溯权定彳模型-推导运用(一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权， 其到期的期值是：EG=Emax(ST-L , O)其中，EG一看涨期权到期期望值St一到期时交易金融资产的市场价值L一期权交割价(期权费) 到期有两种可能情况：1、如果StL,则期权实施 以进帐(In-the-money) 生效，且 max(St-L , O)= St-L2、如果St + (1 - P) x 0 = P x EStSt

6、L - L)其中：P： (StL)的概率ES|StL:既定(StL)下St的期望值将EG按有效期无风险连续复利 rt贴 现，得期权初始合理价格：C=PX E- rt X (E S | 8 L-L) (*)这样期权定价车t化为确定P和ES| StL。首先，对收益进行定义。与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(S)与现价(S)比值的对数值，即收益 =lnSt/S=ln(S/L)。由假设1收益服从对数正态分布，即ln(St/L)N(出口)，所以Eln(S/S = wS/s*3可以证明，相对价格期望值大于eut ,为:E St /s=仇 + T2 = e从而，q=T(r- o2),且有 b t

7、= o-T其次，求(St L)的概率P,也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质 ：Pr06 x=1-N( x -科 b )其中：I正态分布随机变量X 关键值科一I的期望值(T I的标准差所以：P=Pr06S 1 =Pr06lnSt/s lnLS=LN-InLS- (r- o2)ToTnc4 由对称性：1 - N(d)=N(-d)P=NlnSL+ (r- o2)TJarS。第三，求既定St L下St的期望值。因为 ESSL处于正态分布的L到8范围，所以,ESt | St =s?erT ?N(di)N(d2)其中：di =ln(S/L)+( 丫 + 2 /2)T/ b 仃d2 =ln(S

8、/L)+( T - 2/2)T/ d TT =di- d TT最后，将P、ESt | SL代入(*)式整理得B-S定价模型：C=SN(d1)- LerTN(d2)(二)B-S模型应用实例(以欧式期权看涨期权为例)题目：假设市场上某股票现价S为164元，无风险连续复利利率Y是0.0521 ,市场方差2为0.0841 ( =0.29),实施 价格(行权价格)L是165元，有效期T为0.0959 (即为35 天)的期权初始合理价格(期权费)是多少？公式回忆：ln(S/L) (r 2/2)Td13Td2 ln(S/L)(r2/2)Td1 TTc SNdJ Le rT N(d2)计算步骤如下： d1 =

9、ln(164/165)+(0.0521+0.0841/2) X 0.0959/(0.29 X - 0. 0959 ) =0.0328 d2 =0.0328-0.29 x (二)存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率(设为8 )支付不间断连续红利，假如某公司股票年分红率8为 0.04,该股票现值为164,从而该年可望得红利 164X 004=6.56。值得 注意的是，该红利并非分 4季支付每季164;事实上，它是随美元的极小单位连续不断的再 投资而自然增长的，一年累积成为6.56。因为股价在全年是不断波动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利

10、按股票价 格的支付比例固定。在此红利现值为：S(1-E- ST),所以S =S?E- ST,以S彳t S,得存在连续红利支付的期权定价公式：C=S?E- 6 T?N(D1)-L ?E- 丫 T?N(D2)BLACK-SCHOLES期权定价模型-模型影响自B-S模型1973年首次在政治经济杂志(Journalofpo LiticalEconomy)发表之后，芝加哥期权交易所的交易商们马上意识到它的重要性，很快将B-S模型程序化输入计算机应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展。到今天， 该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛使用。衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效率，但也促使全球市场更加易变。新的技术和新的金融工具的创造加强了市场与市场参与者的相互依赖，不仅限于一国之内还涉及他国甚至多国。结果是一个市场或一