2018年高考数学二轮复习第一部分专题三数列第二讲数列的综合应用教案

1、第二讲数列的综合应用卜卜真题自检真题自检考情分析数列在解答题中的考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合.试题难度中等年份卷别考查角度及命题位置2017n卷等差、等比数列的综合应用T17川卷已知递推关系求通项与裂项求和T172016n卷等差、等比数列的基本运算T17川卷数列的递推关系式、等比数列的定义T17真题自检1. (2017 高考全国卷n)已知等差数列an的前n项和为S,等比数列bn的前n项和为Tn,ai=-1,bi= 1,a2+b2= 2

2、.(1)若33+b3= 5，求bn的通项公式；若 T3= 21,求 S.解析：设an的公差为d, bn的公比为q,则an=- 1 + (n- 1)d,bn=qn-1.由32+b2= 2 得d+q= 3.(1)由33+b3= 5 得 2d+q= 6.d= 3,d= 1,联立和解得(舍去)，lq=0q=2.因此b.的通项公式为bn= 2n-1.由 bi = 1,TJ=21 得q+q-20= 0,解得q= 5,q= 4.当q=- 5 时，由得d= 8,贝US= 21.当q= 4 时，由得d=- 1,贝US3=- 6.2.(2017 高考全国卷川)设数列an满足a+ 3 比+ (2n 1)an= 2n

3、.(1)求an的通项公式；求数列 1 泊勺前 n 项和.-2 -解析：(1)因为 a+ 3a2+ + (2n 1)an= 2n,故当n2时，a1+ 3a2+ + (2n- 3)an-1= 2(n-1) 两式相减得(2n 1)an= 2,所以an=2n i(门2).又由题设可得ai= 2,符合上式，2从而an的通项公式为an= 2ni.记2n+1的前 n 项和为丄，八小an211由1 2 3知 2n+ =2n+ 12n1=212nT!.111 1112n贝廿Sn= I- -+=.133 52n 12n+ 12n+ 1、 ._23. (2016 高考全国卷川)已知各项都为正数的数列 an满足a1=

4、 1,an (2an+1 1)an 2an+1= 0.(1)求a,a3；求an的通项公式.1 1解析：(1)由题意可得a2= 2,a3= 4.2(2)由 &I (2an+1 1)an 2ch+1= 0 得 2an+1( ch + 1) =an(an+1).14.(2016 高考全国卷I)已知an是公差为 3 的等差数列，数列bn满足b1= 1,b2= 3,anbn+13+bn+1=n bn.(1) 求an的通项公式；求bn的前n项和.1解析：(1)由已知，ab2+b2=b1,b1= 1,b2= 3,得a1= 2.3所以数列an是首项为 2,公差为 3 的等差数列，通项公式为an= 3n

5、 1.bn(2) 由(1)知，anbn+1+bn+1=nbn, 得bn+1=,3因此b是首项为 1,公比为 1 的等比数列.记bn的前n项和为Sn,-3 -故an是首项为 1,公比为1的等比数列，因此1an= 2“1.因此an的各项都为正数，所以an+11an2-4 -321n1.2X3题型突破题型突破由递推关系求通项方法结论求数列通项常用的方法定义法：形如an+i=an+qc为常数)，直接利用定义判断其为等差数列.形如an+1=kan(k为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列.叠加法：形如an+1=an+f(n)，利用an=ai+ (a2ai) + (a3a?) + (ana

6、ni)，求其通项公 式.a“+1a2a3cb叠乘法：形如=f(n)丰0,利用an=a1.，求其通项公式.ana1a2an1待定系数法：形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数，pq(p 1)丰0)，先用待定系数法把原递考点一推公式转化为an+1t=p(ant)，其中t=，再转化为等比数列求解.1p构造法：形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数，pq(p 1)丰0)，先在原递推公式两边同除以n+1an+1p an1 ,aip1q，得m=-r+-，构造新数列bn其中bn=qn，得bn+1=-bn+ -，接下来用待定系数法qqqq qyqq求解.题组突破1. (2017 威海模拟)已知数列

7、an满足a1= 1,且an= fan1+ (1)n(n2且n N)，则数列an的33通项公式为()3nAan=n+ 2B.an=33C.an=n+ 2D.an= (n+ 2)3n11解析：由an= 3an1+ (-)33(n2且n N*)得，3na= 3n1an1+ 1,31n_22an1= 3an2+ 1,，3a2=n + 23a1+ 1，以上各式相加得 3an=n+ 2，故an=- .3答案：B1nfn、2.已知数列an满足：a1= 2an+1=n+2an+ 1n+2，则数列an的通项公式为an=()-5 -6 -1b1=n n+1，(n N*).(1)求证：数列bn为等差数列；求数列an

8、的通项公式.1an1114an+1解析：(1)证明：Tbn= ，且an=,. bn+1=-,an4an1十 1an+1ana4an+ 1,4an+ 1 1.bn+1bn= = 4.anan1又b1= 1,.数列bn是以 1 为首项，4 为公差的等差数列.a11A.n n+B. 1 n+1n+2nD.n+ 1解析：通解：an+1-仁nan+1丄1 =旦1)，令bn=an 1，则仝xEx ? xP5n+ 2 丿n+ /丿令则b b2b3b4bn1 2 3n 1即=3x4x5xbn21n+ 1,从而得到丘=n n+，又b1=a11=2,得bn=所以an= 1 1n n+ ，选 C.优解:1 1a1=

9、 2 =1岚，a2=5=1丄,62x31113x4，归纳可得1an=1n n+ 1，选 C.答案:3. （20 17 宜昌调研）已知数列an满足a1= 1,an1*an=+7(n*N，心2)，数列bn满足关系式an-7 - an 3 = 2(an-1- 3)an 3是以 6 为首项，2 为公比的等比数列.二an 3 = 6 2，an=621+3.误区警示依据递推式an+i=pan+q(p,q为常数)求数列通项公式是最常见的一类题型.当p= 1 时，an为等差数列；当pz1,pz0,q= 0 时，an为等比数列；当pz1,pz0,q0时，如何求出其通 项公式是一个难点，化解这类问题的思路是利用待

10、定系数法，转化成等比数列.数列求和方法结论常用求和方法(1)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列把s =a1+a2+ +an两边同乘以相应等比数列的公比q,得到qS=aq+a2q+ +anq，两式错位相减即可求出 S.裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法.裂项相消法适用于形如(其中an是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.砂3门+ 1 |(3)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和.1典例(2017 大连一中模拟)已知数列an是首项为正数的等差数

11、列，数列的前n项和anan+1(1) 求数列an的通项公式；(2) 设b= ( - 1)nan n+1，求数列bn的前 2n项和T2n.2解析：(1)设等差数列an的公差为 d,由已知得a10,1 1令n= 1,贝US= ,所以a1a2= 3 ，a1a23令n= 2,则S2=丄+丄=5,所以a2a3= 15,a a2a35为Sn=n2n+ 1.-8 -2n-(3x4-1)+(-1)2n(2n+1)-1=-(1x2-1)+(2x3-1)+-(3x4-1)+a2=a1+d，a3=a1+ 2d，联立，解得a1= 1d= 2|a1= -1或彳d=-2-(舍去)，所以an= 2n-1.(2)由题意知,b

12、n= ( - 1)nann+ 12=(-1)nn(n+ 1) -1，所以Tzn=- (1x2- 1) + (2x3- 1)22n-9 -(4x5- 1) + (2n 1)2n 1 + 2n(2n+ 1) 1 = 4+ 8 + + 4n=-+ 2n.类题通法分类讨论思想在数列求和中的应用(1)当数列通项中含有.(. 1):时，在求和时要注意分一.n为奇数与偶数处理：.对已知数列满足a-+2=q,在求a-的前n项和时分奇数项和偶数项分别求和.a-演练冲关n2当n为奇数时，1.已知函数f(n)=c2斗曲昨心，且an=f(n) +f(n+ 1)，贝Ua1+a2+a3+aeon当n为偶数时，=( )A.

13、 0B. 100100+ 101)=1 + 101= 100,故选 B.解析：B2.已知Sn为数列an的前n项和，且a1= 1,anan+1= 3,贝VS2。仃=_,解析：由anan+1= 3n，得an-1an= 3nIV(n2)，所以 严=3(n2)，则数列an的所有奇数项和偶数an1X 131 009项均构成以 3 为公比的等比数列，又a1= 1,a1a2= 3，所以a2= 3，所以S。仃=- 匚二+；X 丨31 008IV解析：22222222 2 2 2 2由题意，a1+a2+as+-+a。= 1 2 2 + 3 + 3 4 4 + 5 +-+ 99 100 100 + 101C. 1

14、00D. 10200=(1 + 2) + (3 + 2)(99 + 100) + (101 + 100) = (1 + 2 + -+ 99 + 100) + (2 + 3 + +4+ 4n21 0092.22n-10 -答案：31 009 23. (2017 广西三市联考)已知等比数列an的前n项和为Sn,且 6Sn= 3n+1+a(n N). (1)求a的值及数列an的通项公式；21若 4 = (1 an)log3(anan+1)，求数列=的前n项和Tn.bn解析：(1) 6S= 3n+1+a(n N*),当n= 1 时，6S= 6a1= 9 +a,当n2时，6an=6(SiS-1)=2x3

15、,1卩an=31,Tan是等比数列，a1= 1，贝U9+a= 6,得a= 3,-11 -_n_ 1*数列an的通项公式为an= 3(n N).由(1)得bn= (1 _an)log3(a2an+1) = (3n 2)(3n+ 1),1111 1 1.Tn=石+b2+=百+L+nK+l1 111 1 1=3(1_ 4+4 _ 7+3n_ 3)n3n+ 1数列中的综合问题，大多与函数、方程、不等式及解析几何交汇，考查利用函数与方程的思想及 分类讨论思想解决数列中的问题，用不等式的方法研究数列的性质，数列与解析几何交汇，主要 涉及点列问题.交汇点一数列与函数交汇典例 1(2016 大连双基测试)已知

16、函数f(x) = 2sin(wx+ $ )(w 0, | $ |v n)的图象经过前三项依次为 0, . 3,_3,a3n_2+a3n1+a3n=(3n2)x0+(3n1)x护+3nx(羽)=_頁(nN),.SB0=(a1+a2+a3)+(a28+a29+a3。)=_10E3.类题通法数列与函数的交汇问题的类型及解题方法已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列.问题;.（2L 已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利.用数列的范围、.一公式、求和方法等对式子.化简变形.琴点三数列与其他知识交汇的综合问题(1)求解析:72, 2，且在区间w, $的值;an

17、=nfn7n72，上为单调函数.n N），求数列an的前30 项和 So.(1)由题可得 12 + $ = 2knn2，kZ,n12 + $ = 2kn+ ,k Z,解得w= 2,$ = 2kn一 ,k 乙| $ | V n , $ = _.i2nn2n*(2) an=2nsin _ = (nN),&3 3n N）的周期为 3,数列 12sin2n1-12 -演练冲关1.设曲线y= 2 018xn+1(n N)在点(1,2 018)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令勿=log2oisXn，贝Va1+a2+a2仃的值为()A. 2 018C. 1解析：因为y= 2 018(n+ 1)

18、x：所以切线方程是1.答案：D交汇点二数列与不等式交汇典例 2 (2017 武汉调研)设等差数列an的前n项和为已知a= 9,a2为整数，且SwS5.(1)求an的通项公式；14设数列的前n项和为Tn，求证：TnW.anan+19解析：(1)由a1= 9,a2为整数可知，等差数列an的公差d为整数.又SnWS5,a50,a6w0,于是 9 + 4d0,9 + 5dw0,99解得wdw.45 d 为整数， d= 2.故an的通项公式为an= 11 2n.11111证明：由(1)，得茹=2n二 =2(91N)11111 1 1 1 1 1Tn= 2(79)+(57)+(9 2n11 2n)= 2(9 2n9) 令bn= 9n由函数f(x) = 9x的图象关于点(4.5 , 0)对称及其单调性，知 0vb1Vb2Vb3Vb4,b5b6b7 一-=1,bn+1bn,数列bn是递增数列，数列bn的最小项是n+2n+2*an_11存在nN 使得入=bn成立，即有 入b1=,入的最小值是-.n n+122答案：-11 1由(1)知数列bn的通项公式为bn= 1 + (n 1