《几何学》辅导纲要

1、几何学辅导纲要第一章 公理化方法与非欧几何主要内容：1几何学公理化方法的构造和原理及其作用、意义2希尔伯特公理体系的结构3公理系统的相容性、独立性和完备性4罗氏几何和黎曼几何的数学模型重点掌握：1 公理法的三个基本问题是相容性问题、独立性问题、完备性问题。2.公理法的结构是原始概念的列举；定义的叙述；公理的叙述；定理的叙述和证明.3三角形内角和等于180度与欧氏平行公理等价。 4欧氏几何与非欧几何的本质区别为平行公设不同。5公理系统的完备性: 如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。6几何公理: 公理是作为几何基础而本身不加证明的命题，是建立一种理论体系的

2、少数思想规定。在几何演绎体系里，每条定理都要根据已知定理加以证明，而这些作为依据的定理又要根据另外的已知定理加以证明，如此步步追寻起来，过程是无止境的，必须适时而止。因此，需要选取一些不加证明的原始命题作为证明一切定理的基础，这就是公理。7公理系统的相容性: 一个公理系统及其一切推论不含有矛盾命题时，称这个公理系统是相容的或无矛盾的。8欧几里得的第五公设： 在一平面上如果直线与另外两条直线相交，有一侧的两个同侧内角的和小于两直角，则直线与在同侧内角的和小于两直角的那一侧相交。9公理法的基本思想：若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。全部元素的集

3、合构成了这种几何的空间。在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统逻辑结构，这就是公理法思想。10公理系统的独立性：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这条公理在公理系统中是独立的。如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。 第二章 射影变换群与几何学主要内容：1点变换的概念2正交变换的不变性质与不变量3相似变换的不变性质与不变量4仿射变换的不变性质与不变量5射影变换的不变性质与不变量6非齐次坐标7利用不变量对二次曲线进行分类8利用不变量

4、将二次曲线的一般方程化简为标准型重点掌握：1仿射变换把平行线变成平行线，把正三角形变成三角形，把矩形变成平行四边形。2设共线三点，则2。4共点的直线经仿射变换后变成共点的直线。5不共线的点经仿射变换后变成不共线的点。6在仿射对应下，单比不变。7设点共线，且在仿射变换下分别变成，则三点共线。8正方形在仿射变换下变成平行四边形。9对正方形，对边平行、对角线互相平分是仿射性质。10线段的中点、交比、点偶的调和共轭性、两平行线段的比和对称中心都属于仿射性质。11求一个仿射变换，它把抛物线变成自身，把原点变成点。设所求的仿射变换为由它把（0，0）变成（2，2）可知因为它把抛物线变成自身，所以应满足 ，于

5、是 即 比较方程两边的系数得令，则，因此所求的仿射变换为它依赖于参数。12求出将点变成点的平移变换，在这个平移变换下，抛物线变成什么曲线？设所求的平移变换为将已知对应点的坐标代入上式得于是 所以所求的平移变换为 即 将此变换用于所给的抛物线上即13求出将点变成点的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线上。设所求的旋转变换为则 于是所求的旋转变换为 即将此变换用于所给的抛物线得。 14求仿射变换的二重直线。 设所求的不变直线为 （不同时为0）即在所给的变换下，对应因为 所以 消去得展开化简得解得由于当时，因此不对应不变直线，分别将代入（1），（2），（3）得 和 所以不变直线为 和 15若存

6、在，求下列各点的非齐次坐标， 存在，设，则这个点的非齐次坐标为。不存在，因为无穷远点没有非齐次坐标。16证明：使向量内积保持不变的仿射变换是正交变换。设在使二向量内积不变的仿射变换下，点变成点，点变成点，则所以（表示两点间的距离）。由于这个变换保持两点间的距离不变，因此它是正交变换。17线坐标所表示的直线方程为或。18在仿射变换下， 菱形的对边平行、对角线互相平分和对边相等的性质在仿射变换下保持不变；邻边相等、对角线互相垂直和对角线平分菱形对角的性质都改变了。19相交于影消线的二直线必射影成两平行线。 设二直线和交于点，点在影消线上，和经射影对应，对应直线为和，则点对应无穷远点。由于射影对应保

7、持结合性不变，所以的对应点是和的交点，即无穷远点，也就是。20.将二次曲线化简成标准型。1）计算不变量2）判别类型说明曲线为抛物线型说明曲线为退化的抛物线故仍需求故曲线为两重合直线标准方程为 21设的内切圆与三边分别切于，试证：交于一点。证明：如图所示 由已知可得 于是对有向线段 有 由塞瓦定理，可得交于一点22设为的一条中线，引任一直线交于，交于，证明：如图所示在中，分别为三边上的点，（或其延长线上的点），由梅内劳斯定理有 因为为中点，所以 即 即 从而 23设平面上的点变换和分别由和表示，求 （1）；（2）；，即若求，只需从中求出即可，所以24试确定仿射变换，使轴、轴的象分别为直线和，且点

8、的象为原点。所求变换的公式为 其中 则变成直线但由题设变成可知，与表示同一直线。所以 因此 同理 此处是参数。又因为点（1，1）的象为原点，于是，所以，所求变换的逆式为由此得出所求的仿射变换为第三章 向量方法在几何中的应用主要内容：1向量的概念及其运算对于学习过向量的学员来讲并不陌生，但是利用向量来解决初等几何问题，如：共点问题、共面问题、求线段的长度问题和直线间的夹角问题等等，是以往我们没涉及到的方法，他给我们提供了另一种解决初等几何问题的新思路。2向量的概念、向量的运算以及向量的线性相关和线性无关。3熟悉向量的运算，包括向量的加减法、向量数乘运算、向量的内积、外积，以及向量的线性相关和线性

9、无关的定义及几何意义。4 熟悉如何用向量描述几何问题。重点掌握：1 设与是两个非零向量，若与线性相关，则。2已知向量，则与之间的内积。3空间中三个向量线性相关当且仅当它们共面，空间中的四个向量一定线性相关。4如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是平行或重合，夹角为0或。 5设与是两个非零向量，若，则与垂直。6 平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线；平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行；平面上的三个向量一定线性相关。7若与是两个非零向量，则。8设与是两个非零向量，若，则与平行。9. 已知向量，分别计算与的模长与夹角。的模长分别，夹角的余弦为10. 试用向量法证明：半圆的圆周角是直角。设为半圆的圆心，为直径，为半圆上任意一点，见图，要证明，取，则，设，由于都是圆的半径，所以，1