更高更妙的物理：专题20稳恒电路计算

1、专题20 稳恒电路计算稳恒电路中，电流不随时间变化，相应地，导体内部有一稳恒电场，电荷在电场力作用下做定向移动消耗电场能，电源中非静电力做功，将其他形式的能转变为电场能，这是稳恒电路的基本情况。各种形式的电路有一些共同的基本规律，例如欧姆定律，焦尔定律，基尔霍夫定律，从这些基本规律出发，抓住电路的特征，才能完成对一个电路的计算。 先介绍一段含源电路的欧姆定律。在电路计算中，常须确定整个电路中某一段含有电源的电路的端电压，我们用电势的概念处理这类问题。如图所示一段电路，若要确定端与端间的电势差，先设定从向电势降为正、升为负，则；若要确定端与端间的电势差，先设定从向电势降为正、升为负，则。 一段电

2、路两端电势差等于这段电路中所有电源电动势与电阻上电压降的代数和，写成一般式为。若得到，则；，则。【例1】一电路如图所示，已知，求、。【分析与解】先由全电路欧姆定律求出回路电流大小，电流方向逆时针。 在图中，、两点间实际上有两段含源电路，我们可以任选其中一段，比如段来应用一段含源电路的欧姆定律：，且点电势高于点电势；同样，求时也可选择两个中的任一个，例如对下半个电路应用一段含源电路的欧姆定律：，说明点电势（与点相同）比点高。【例2】如图所示电路中，点接地，试确定、各点电势及每个电池的端电压、。【分析与解】先求出回路中的电流：，方向如图中标示。，点电势为零，则；，；又，则；而； 电池两端电压，而电

3、池两端电压，“”表示。 在电子技术等实际应用电路中，需要解决的电路问题往往较为复杂，计算这样的电路，需要用到基尔霍夫定律。基尔霍夫第一定律是电荷守恒定律在有分支的电路中的表现形式：在任一节点处，流向节点的电流之和等于流出节点的电流之和，用正号与负号区分流向节点的电流与从节点流出的电流，则电路中的各节点总有；基尔霍夫第二定律说明，沿任一闭合回路的电势增量的代数和等于零，即，这个定律是稳恒电场为势场的必然结果。应用基尔霍夫定律解决分支电路问题时，要根据待求未知数个数建立相同数的独立方程。一般来说，一个分支电路有个节点，那么其中只有个独立的基尔霍夫第一定律方程；取回路建立基尔霍夫第二定律方程时，各回

4、路中至少有一段电路是其他回路中未涉及的，这样的回路方程才是互相独立的。至于每一电路上电流的方向可以先作设定，结果为负值说明实际电流方向与所设相反。【例3】例电路中，若将、短路，、间电势差是多少？【分析与解】、短路后，设各支路电流为、，方向设定如图所示。若求知，可得。 但我们面对的是、三个未知电流，也就是说我们需要根据基尔霍夫定律建立三个独立的方程，由基尔霍夫第一定律只有一个独立方程，可对点建立：， 再由基尔霍夫第二定律，对上半个回路有， 对下半个回路有， 将已知数据代入：，解得，方向与所设相反，故。 利用基尔霍夫定律，对有多个电源连接的电路，可用一个“等效电源”来替代。若两个电池连接在如图甲所

5、示电路，由基尔霍夫第二定律：，则通过电阻的电流，这就是说，该电路中的两个电源可以等效为一个电动势为、内电阻为的电源；若两个电池连接在如图乙所示电路，对节点和回路及回路，由基尔霍夫定律：，可得，对电阻而言，将这两个电源替换成一个电动势，内电阻的电源，通过的电流及其两端电压不变；推广到多回路电路，在分析某一分支电路的电流或电压时，也可以将电路的其余部分用一个等效电源电动势（大小等于该分支电路断开时两端电压）和一个等效电源内电阻（大小等于该分支电路断开、并撤去其余部分电路中所有电动势时两端间的电阻）来代替，这就是等效电源原理。 如图所示的电路称为惠斯通电桥，若接在、间“桥路”上的电流计读数为零，叫做

6、电桥平衡。由于，说明，且通过电阻的电流与通过电阻的电流相同为，通过电阻的电流与通过电阻的电流相同为，则有，两式相比有。惠斯通电桥可用来比较未知电阻与已知电阻：若为一标准电阻，阻值为，、为两段粗细均匀的同种电阻丝，调节点的位置至无电流通过表，若此时的长度为，的长度为，则待测电阻。 电势差计是用来测定未知电动势的一种装置，其工作原理基于基尔霍夫定律。如图所示是电势差计工作电路，各个电源的电动势及各电流方向标示在图上，为待测电动势。双掷开关投向，对节点有；对回路有，由此二式得。调节，使，即电流计读数为零、电势差计达到平衡时，即。 保持电路不变，将开关投向，用一个标准电动势来代替，再调节到，使电流计读

7、数为零、电势差计重新平衡，这时有。 从回路可知代替重新平衡后，不变，比较、两式得，这样，用比较法从标准电动势可精确地测出未知电动势。操作中，使电流计读数为零，亦即使上的电压降补偿了回路中的电动势，故电势差计的这种工作电路叫做补偿电路。若电路中某一支路含有电容器，在支路端电压发生变化时，电容器极板上电量将发生变化，该支路有充（放）电电流，但达到稳定时，该支路等效于断路，这是计算含容电路的一个基本思路。【例4】阻值为的四个等值电阻，电容为的四个电容器以及四个电池在立方体框架的各边上连接起来，如图所示。各电池的电动势，它们的内阻可以忽略。求各个电容器的电压和电量；若点与点之间短路，求电容器上的电量。

8、【分析与解】先将这个复杂的立体网络变换成平面网络如图所示，可以看到，电流回路为，设回路电流为，方向设定如图所示，由基尔霍夫定律：。各电容器两端电压可通过取相应的一段支路，由一段含源电路的欧姆定律求得，它们分别是：， ， ， 。 将数据代入式得到电压（）；代入式即得的电压为（）；代入式得电压为（），代入式得到电压（），易得四个电容器上电量依次为、。若将点与点之间短路，电流回路成，该回路中电流设为，方向为，此时，故电容器此时电量为零。【例5】在图所示的网络中，已知部分支路上电流值及其方向，某些元件参数和支路交点的电势值（有关数值及参数已标在图上）。请你利用所给的有关数值及参数求出含有电阻的支路上电

9、流值及其方向。【分析与解】这样一个复杂网络问题，还是依据电路基本规律处理。首先，对网络中某一部分电路，流入电流与流出电流相等，对一段电路，电流与电压遵从欧姆定律所确定的关系。取一个包括的电流出入区，将其他各电流求出，即可求得。 通过观察，我们很快会对图用虚线围出的区域感兴趣，注意到有电容器的支路为断路（无电流），这个区域电流出入端口共有、四个，端有电流流出区域已是不争事实，而端与端联系着部分确定电路，有可能求出从这两个端口出或是人多少电流。先计算通过端的电流，对网络右下角部分的电路，由，得、由，得，则从端流向虚线区域的电流；再取段电路来，已给定，而，可见并无电流沿出入端口，于是，我们知道了通过

10、电阻兄的电流，且是从点流出的。 金属的导电性质已为我们熟悉，下面我们介绍其他一些物质的导电特性。 大块导体导电 电源两端连接着导电性质不均的导线或大块导体，如大块金属、材料不均匀的导线，这时导体不能抽象成一根粗细均匀的导线，它的电阻不能直接用电阻定律计算。大块导体加上恒定电压后，也会建立起稳恒电场，但电流分布情况较均匀导线中复杂，例如半球形接地电极在附近地面下的电流分布如图所示呈球对称；一对电极周围的电流分布如图所示，与一对等量异种电荷周围的电场分布相似；同轴电缆中的漏电电流分布则如图所示，是辐向均匀分布的。 在以上各电流分布图中，带箭头的曲线称为电流线，与描述导体内电场的电场线相当，电流线各

11、点的方向表示正电荷在该点定向运动的方向，亦即该点电场强度的方向；用电流线的疏密来表示电流密度垂直于电流方向上单位面积的电流的大小。设在大块导体中某处电场强度为，电流为，沿电场方向取一长、横截面积为的元导体，根据欧姆定律，有，若电流密度用表示，则有。此式给出了大块导体中各点电场和电流分布之间的关系，是欧姆定律在大块导体中各点的精细表述。式中是电阻率的倒数，叫做电导率，国际单位为西门子米（），表征导体各处的导电性，大导体电路的计算须以此式为据。【例6】电线被风吹断，一端触及地面，从而使的电流由接触点流入地内，如图所示。设地面水平，土地的电导率，当一个人走近输电线接地端，左、右两脚间（约）的电压称做

12、跨步电压，试求距高压线触地点和处的跨步电压。【分析与解】高压线触地后在地内电流分布可认为球对称，那么，距触地点处的电流密度应为，场强为，即场强是按到触地点距离平方反比分布的，与点电荷电场或引力场相类比，电势分布规律应为，故人两脚、间的跨步电压为。 将及或代入，可得距高压线触地点处的跨步电压高达；而处的跨步电压。电解液导电 电解液里的电流是正、负离子定向移动形成的。与金属导电相比较，一是载流子形成电流的运动电荷不同，不是自由电子而是电解液里的正、负离子；二是电解液两极间加上电压形成电场通过电流时，会在两极引起电解反应。电解液导电时，在电场不很强的情况下，电阻的微观机理与金属导电相同，电流与电压关

13、系适用欧姆定律，产生的电热也符合焦耳定律，但由于存在化学变化，含有电解液导体的电路不是“纯电阻”电路。 电解液导电总伴随着电解在外电场的作用下，发生在电极附近的化学反应。发生电解时，在极板上析出的物质质量与哪些因素有关呢？电磁场理论的“开山鼻祖”英国实验物理学家法拉第通过多次实验得到了下述两条关于电解的定律： 法拉第第一定律是关于在任一电极上分离出来的物质的质量跟通过电解液中的电流和通电时间成正比，即。式中称做电化当量，它只与分离出来的物质种类有关。某种物质的电化当量是恒定的，在数值上等于单位电量通过电解液后，在电极上析出的这种物质的质量。 法拉第第二定律是关于各种物质的电化当量与它们的摩尔质

14、量成正比而与化合价成反比，即。式中叫做法拉第常量，。 气体导电 气体在一定作用下（高温、高压或射线照射等）发生电离后产生的放电现象就是气体导电。气体导电时，电荷携带者有电子、正离子或电子附着在中性原子上形成的负离子。根据载流子形成的原因，气体放电分为被激放电与自激放电两种形式：只是由于加热、辐射等原因而与电场作用无关的电离形成的气体导电称为被激导电；由于强电场作用，通过动能极大的电子或正离子对中性分子碰撞电离而形成的气体导电称为自激导电。 欧姆定律对气体导电是不适用的。 半导体导电 诸如硅、锗、氧化亚铜、砷化镓等物质，由于其导电性能介于导体与绝缘体之间而被称为半导体，半导体中载流子有两种，一种

15、是电子导电，即半导体材料中的自由电子的运动；一种是“空穴”导电，这是一种失去电子的共价键位（空穴）因被束缚电子填补的运动，对应地，把电子导电型材料叫做型半导体，而空穴导电型材料叫做型半导体。半导体的导电能力具有“热敏性”“光敏性”及“掺杂效应”，更特别的是，把一块型半导体和一块型半导体合在一起，在交界面上，由于空穴与电子向对方的扩散运动，会形成一个叫做结的薄层，结具有单向导电性加正向电压时，结导通，加反向电压时，结截止。晶体二极管就是有一个结的电子元件，故具有单向导电性；晶体三极管有两个厚薄不同的结调控通过三极的电流，三极管具有放大电流或电压的作用。【例7】用射线使空气电离时，在平衡情况下，每

16、立方厘米有对离子。已知每个正或负离子的电量均为基元电量，正离子平均定向移动速率，负离子的平均定向移动速率，求这时空气中电流密度的大小。【分析与解】这里的空气被激导电，定向移动的电荷携带者有正离子和负离子，故电流应为，而电流密度。【例8】如图所示的晶体管工作电路中，内阻不计，。求、阻值。【分析与解】图是三极管的一种放大工作电路。三极管的三个极分别为发射极，基极，集电极，对应妁发射极电流为，基极电流为，集电极电流为，由于电荷守恒，流入三极管的电流与流出三极管的电流总是相同的，所以对一个三极管必有，三极电流的另一个特点是，比值叫做三极管的放大系数，是三极管的一个主要参数。含有三极管支路的电路计算，仍

17、依据基尔霍夫定律及欧姆定律由电流关系可得；。由电压关系可得 。取回路，有，由此得；取回路，有，又可得；取回路，有，即得。1、如图所示电路中，电源电动势恒定，内阻不计，则当滑动变阻器滑动片从端滑向端过程中电流表读数（ ）、逐渐减小； 、逐渐增大；、先增大后减小； 、先减小后增大；2、由电阻器组成的不可见的电路（暗盒）有四根引出线，如图所示。如果电压加在接线柱和上，那么在断开接线柱和情况下，电路内释放功率；而当闭合接线柱和的情况下，；如果接线柱和接在同一个电源上，那么当断开接线柱和情况下，电路中释放功率；求当同样电压加在接线柱和上，在闭合接线柱和的情况下，电路消耗的功率。3、由三个相同的电流表和三

18、个相同的电阻器组成的电路如图所示。第一只电流表的读数为，第二只电流表的读数为，电池两极间的电压为，求：第三只电流表的读数；电阻器只的阻值。4、如图所示电路中，是内阻可不计的电源，是有一定内阻的电源，此时，有一电流通过。若现在使的电动势增加，但仍要保持通过的电流不变，电源的电动势必须增加几伏？电路中各电阻值如图中所示。5、如图所示电路，求通过电阻、中的电流。6、如图，电灯泡的电阻，正常工作电压为，用电动势、内阻可忽略的电池供电，并利用一滑动变阻器将灯泡与电池相连。试求效率为最大的条件及最大效率值。又为使系统的效率不低于，试计算电阻器的阻值及其承受的最大电流。7、如图所示，某电路中共有个节点，连接

19、任意两个节点间的电阻丝的阻值都是，在此电路的任意两个节点之间加上电压，试求通过电路的总电流、各支路的电流以及电路消耗的总功率。8、如图所示，两个电池电动势，电容器、电容均为，电阻器、阻值均为。求：当开关由位置转换到位置后，在电阻器上释放的热量。9、如图所示的电路中，已知，求当开关断开后，通过电阻的电量。10、在电压为的直流电源与地线之间有一电路如图所示，在开关断开时，图中点和点之间的电势差等于多少？又当断开时，点和点的电势哪个高？当接通时，点对地的电势变为多少？各个电容器所积蓄的电荷在接通与断开时相比，改变了多少？11、如图所示的平行板电容器极板面积为，板间充满两层均匀介质，它们的厚度分别为和

20、，介电常数为和，电阻率分别为和，当板间电压为时，求：通过电容器的电流；电容器中的电场强度；两介质交界面上自由电荷面密度。12、如图，电源电动势为，内阻不计。为可变电容器，可在间变化，将其电容调至最小。断开开关，当可变电容器的电容以每秒的速率增加时，、间电势差怎么变化？合上开关，电路稳定后，以每秒增加其电容时流过电流表电流的方向和大小？13、如图所示的电路中，电阻、电容元件的规格如下：，；：，；：，；、：，；、：，；：，。这个电路能否正常工作？如果不能，试根据计算确定元件烧毁或击穿的顺序。14、在图所示的电路中，开关周期性地闭合和断开，其时间各为和。在这样的变换频率下电流表的指针实际上不再摆动。试问这只磁电式电流表所指示的电流的读数为多少？已知，电池和电流表的内电阻很小均忽略不计。15、如图，一个平面把空间分为两个部分，一半空间充满了均匀的导电介质，而物理学家在另一半空间工作，他们在平面上画出一个边长为的正方形轮廓，使电流从正方形的相邻顶