练习7恒定磁场5

1、练习7恒定磁场电流的磁效应7.1试述第一个揭示电流磁效应的科学家及其实验。这个实验距今已100多年了，到物理演示实验室来重做一下这个实验，你将会感到很有意思，并对讨论下列问题可能会有帮助。(1) 小磁针在电流周围或永久磁铁周围为什么会发生偏转？(2) 怎样用小磁针来判定空间磁场的方向？并指出图(教材P304中所示各小磁针N极的指向：(3) 电流周围能激发磁场。永久磁铁周围的磁场是什么激发的？(4) 传导电流是电荷在导体中定向运动形成的，且I neSV ( n为载流子密度,V为电荷定向运动的平均速度,S为截面积),那么,电流I与电流密度8的关系为I = 。分析与解答奥斯特实验(1820年)。(1

2、) 电流或永久磁铁周围存在着磁场，小磁针处于其中，将受到磁场的作用，从而就会 发生偏转，直到小磁针N极指向该磁场方向为止。(2) 小磁针N极的指向就是该处磁场的方向。图(b)中三个磁针的N极均指向左方(3) 永久磁铁中存在“分子电流”，且分子电流的磁性呈有序排列，因此对外显示出磁 性。(4) I ds7.2试说明直线电机理，并讨论：流112间相互作用的物理(1) 图示的12的相互作用情况，你是怎样判断的？(2) 图(a ) , ( b所示的5 , q2的相互作用情况。你在分析中,考虑到参考系没有？题7.2 (1)图题7.2 (2)图编辑版word分析与解答（1） Il在I2处激发指向纸面内的磁

3、场 B，根据安培定律CF Ldl巳可知，I2受到向 上的安培力；同理，Ii受到向下的安培力。（2）在图（a）中qi，q2相对静止，它们之间的相互作用力为库仑力。在图（b）中， qi，q2仍相对静止，都各自受到对方所激发的电场力（库仑力）。但对地面参考系而言，它 们均为运动电荷，除激发电场外，还要在周围激发磁场，双方还受到对方所激发的磁场力（洛 伦兹力）。37.3已知铜的摩尔质量M=63.75g/mol，密度p=8.9g/cm3，在铜导线里，假设每一个铜原子贡献出一个自由电子，（1）为了技术上的安 全，铜线内最大 电流密度jm =6.0A/mm2,求此时铜线内电子的漂移速率Vi， （ 2）在室温

4、下电子 热运动的平均速率是电子漂移速率 Vc的多少倍？毕奥-萨伐尔定律及其应用7.4用毕奥-萨伐尔定律求B,需要用高等数学工具。请认真研究几个典型例题（直线电流、圆电流等），总结一下求解的思路和方法，并将几个特殊结论填在下面，必要时可直接选用。(1)无限长载流直导线周围的B =(2)载流直导线延长线上任一点的(3)圆电流中心的B =；轴线上任一点的B =一pm2 R23X22(4)长直螺线管内的B =n。1(5)长直螺线管端点的B =oI ；(6)一个运动电荷激发的磁场B =o qvB 4 r2。7.5能否简单计算或直接写出图（a ）（f）中所示点P的磁感强度B ?1 -题7.5图分析与解答0

5、 I 厂l(a) BI4 r方向:(b) B0 12R0 4R方向:(c) BiB 2B.| cos2E1-r外方向：向上(d)oI2 d0Isin t 方向：sin2 dt 0时为 ,sin t 0时为。(e)(f)Bi总磁场方向:B011012R方向：沿B B1 B 2方向。012 ri方向：向左两电流在P点产生的磁场方向不同，不能直接相加，经分析合磁场方向应沿中垂线向上的方向，故两磁场在该方向的投影之和即为总磁场。7.6求解:(1) 一圆形载流导线的圆心处的磁感强度为Bi ,若保持I不变，将导线改为正方形，其中心处的磁感强度为B2，试求B2/B1 0(2) 如图所示，宽度为a的无限长金属

6、薄片，均匀通以电流I并与纸面共面。试求在纸面内距薄片左端为r处点P的磁感强度Bo分析与解答(1)图形载流导线中心的Bi。|FR改为正方形时，每边长2 R 1丁 2 R,距中心点0的垂直距离均为aI)在0点激发的B卫sin45，则中心0点的总磁感强度2 aB240 Isin 452 a2rBi题 7.6( 2)(载流(2)以P点为坐标原点,作0X轴在薄片内距0点为x处，取宽度为dx的长直电流dl，有dldx a它在P点激发的磁感强度为dB0dl2 x2 ax则整个薄片电流在P点激发的磁感强度为r aIIdB方向丄dx 丄ln r 2 ax2 a r(3) 半径为R的薄圆盘均匀带电,电荷面密度为+

7、 q当圆盘以角速度3绕过盘心0、并垂直于盘面的轴逆时针转动时，求盘心0处的Bo分析与解答(1)绕中心轴转动的带电介质圆盘可以看成是一个载流圆盘。载流圆盘又可看做是由一个个同心载流圆环所组成。 点0的磁感强度B就是由这一个个载流圆环的磁感 强度叠加的结果。现在半径r处取一宽为dr的同心圆环，其上的dl可写成dl n2 rdr2 rdrrdr2式中，为电荷面密度，2 rdr为圆环的面积。圆电流中心的磁感强度dl1B 01 . 2 R，因此，所取圆环在其中心的磁感强度 dB为dB00 dr2r2按叠加原理可知，整个圆盘在中心的磁感强度 B为B dB0 dr - 0 R0 2 2以匀角速度3绕对称轴0

8、0 转动取线元dl Rd，其上所带电荷为dQQdiRQRd QdR当dQ以匀角速度绕oo轴做半径rRsin的圆周运动时，所形成的圆电流为(4) 一均匀带电的半圆弧线,半径为R,带电量为Q,(见图)，求半圆弧线圆心点0处的磁感强度B分析与解答由题设条件得电荷线密度dI dQ2 2 2设圆电流在其轴线上o点激发的磁感强度dB的大小为2dB0 2Q sin 2 d4 2R方向：向上。则点O处磁感强度B的大小为B dBsin24 2R7.7如图所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面，设线圈的总匝数为N，通过线圈的电流题7.7图为I，求球心0处的磁感强度。磁

9、场高斯定理7.8何谓磁通量m ?说明其正、负的物理意义。(1) 在如图所示的均匀磁场B中，有一面积S,试求S处于图示不同方位时，通过S面的 m ( n为正法线)。5八Z竹7 . 0W)tb)id题7.8( 1)图在非均匀磁场中，m的一般表达式为m = /dm =通过一闭合曲面的m =分析与解答(1)ma BS ；mb BSCOS ； me 0 ； mdBS。(2)(3)m sB d SB dSs7.9在非均匀场中，如何计算通过一面积的磁通量？(1) 现有一无限长载流直导线，载流I,试求通过图中所示与直线共面的矩形面积的磁通量 m若I IoCOS t,则m为多少？题7.9图分析与解答(1)对非均

10、匀磁场 mB dS，无限长电流的磁感应强度 B磁场随X的变化而变化，是非均匀磁场，在矩形 abed内取一竖直小矩形面积dS Idx，得X2mX1卫Idx ln2 x 2x1(2) m 于 I。sinx?tln 2安培环路定理及其应用7.10列出安培环路定理的表达式，讨论其物理意义，并写出图所示各图中，对于L回路的安培环路定理的具体形式(u)(b)(囂)(dj(c)题7.10图分析与解答安培环路疋律为lB dl0 Ii ,它表明磁场是非保守场。i* *(a) B dl0 1112 ；(b) ；B dl0 I 1 I 2b-(c) ；B dlL10I 1，*卡;.B dl0 I211 ;L2= *

11、e-*(d) B dl0 ；(e)心lB dl0 07.11 在B dl0I i中的Ii表示什么？ B是何处的磁感强度？它是由哪些电流激ii起的？并判断下列说法的正误。(1) -lB dl仅与回路所包围的Ii有关,与回路外的电流无关；i(2) 式B dl中的B与回路所包围的Ii有关,与回路外的电流无关；i(3) 当: B dl 0时，贝忙上各点的B必处处为零；(4) 由于泸dl 0 ,所以,磁场是有旋场 若B dl 0,则该范围内的就是保守场；(5) 如题7.10图(d )所示，回路L与圆电流I共面，贝U-B dl : Bdl 0LL(6) 安培环路定律只适用于具有对称性的磁场。分析与解答Ii

12、是回路中所包围电流的代数和，B是回路上各点的磁感强度，它是空i间所有电流(回路内部和外部)所激发的。(1) 正确。(2) 错误。回路上的B不仅与回路内电流有关，而且与回路外电流也有关，它是由回路内、外电流共同激发的（3） 错误。当LB dl 0时，只说明回路内无电流（或代数和为零），而回路上各 点的B不一定处处为零。（4）错误。一个保守场应满足回路的环流 恒等于零，若其环流有时为零，有时不为零， 就一定是非保守场。（5）正确。由毕奥一萨伐尔定律可分析圆电流在回路 L上各点产生磁场的方向始终垂直 纸面，即Bi恒等于零，故LB dl B|dl 0成立。（6）错误。安培环路定律是反映磁场基本性质的定

13、律，无论磁场是否对称均适用。但若用安培环路定律来简便计算磁感强度 B时，只适用于某些有对称性（或均匀分布）的磁场。仔细研究几个典型例题（长直载流导线、螺线管等），总结一下应用安培环路定律计算磁 场分布的条件和一般思路方法。然后再练习求解下列各题。7.12已知10mm2裸铜线允许通过50A电流而不会使导线过热。电流在导线 横截面上均匀分布。求：导线内、外磁感强度的分布。7.13有一同轴电缆，其尺寸如图所示，两导体中的电流均为I，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感强度：(1)rv Ri，(2)Ri vrvR2，( 3)R2Vrv R3，(4)rR4分析与解答同轴电缆中电流呈

14、轴对称性，故磁场分布也具有轴对称性。取半径为路，由安培环路定理:B dl0 Ii求各个区域的磁场分布1) rR1B dlB1 2 r =olR12B1ol r2R12r的同心圆为积分环1分2分B23) R2r R34) rR3:B3 dlB3 2 r 0 IB 。1 R31 2r232 r R32R22 B dl B42 r 0 I I2 r2R32分b4 0B r分布图如下图.S(见图),7.14 一根半径为R的实心铜导线，均匀流过的电流为I ,在导线内部作一平面 试求：(1) 磁感强度的分布；题7.14图(2) 通过每米导线内S平面的磁通量分析与解答(1) 作与铜导线同轴的圆形安培环路L,

15、由安培环路定理有V V? B dl B 2 rr R时,代入式得olr2 R一束质子射入场中，其轨迹为抛物线，可知此空间存在电场； 同上，但作圆周运动，表明此空间存在磁场； 同上，其轨迹为直线，则此空间不存在电场和磁场； 带电粒子在磁场力作用下作匀速圆周运动，其半径与速度v成正比。周期与v无关I+f*分析与解答运动电荷在磁场中，将受到洛仑兹力，且FL qv B，则(a) +q受向上的由B产生的洛仑兹力；-q受向下的由B产生的洛仑兹力。(b) +q受沿 方向的由B产生的洛仑兹力。-q受沿。方向的由B产生的洛仑兹力ol2r(2) 在截面S上取面积元dS 1 dr，穿过dS的磁通量d m为d m B

16、gdS也ydrm2 R2则通过单位长度导线内S平面的磁通量 m为r Jr0冷o1磁场对载流子与载流导线的作用7.15分析如图所示正、负载流子(带电粒子)在磁场中的受力和运动情况，并判断:KKX+ (1Q_- VHKKKC* P &Mr4* 砂fi V(a)-CF仙题7.15图（c） q受力均为零。（d）+q受向下的由B产生的洛仑兹力和向下的电场力；-q受向上的由B产生的洛仑兹力 和向上的电场力。由此也可判断:（1）正确。因为质点运动轨迹为抛物线，可知其必定受到一定大小、方向均不变化的恒 力作用，而洛仑兹力处处与速度方向垂直，即洛仑兹力的方向在变，因此不可能存在磁场， 只有电场，并且应当是均匀电

17、场，才可能出现抛物线轨迹。（2）正确。轨迹为圆周时应受一个大小不变、方向始终与速度方向垂直的力作用，符合 洛仑兹力的特点（质子在均匀磁场中运动时有可能出现半圆轨迹）。（3）错误。轨迹为直线时，要么合外力为零（匀速直线），要么受力始终与速度同方向（变 速直线），当电场力与洛仑兹力始终等大反向时, 或只有均匀电场时都有可能出现直线轨迹2（4）正确。洛仑兹力大小Fl qvB，该力提供匀速圆周运动的向心力，即叱qVB整mv理得R品周期T可见其半径与速度V成正比，而周期与速度V无关7.16测定离子质量的质谱仪如图所示，离子源 护生质量为m,电荷为q的离子，离子的 初速很小，可看作是静止的，经电势差U加速

18、后离子进入磁感强度为B的均匀 磁场，并沿一半圆形轨道到达离入口处距离 为9的感光底片上，试证明该离子的质量为m=B2qx2/8U题7.16图7.17无限长载流(i = 20A)直导线旁置另一长L1=20cm、载流12 = 10A的导线ab,如图(a)所示。求:(1) 导线ab所受的作用力；(2) 若将ab换为一刚性线框abed(3)当 I1 20sin t，rad3/ s时，再求(1)(见图(b)试分析其受力情况和运动趋势7.17图分析与解答(1)无限长直载流导线旁任一点的磁感强度为B 亠丄 方向：2 x在ab上距长直导线为x处取电流元l2dxYv v v受力为dF I2dxi B 方向：向上

19、v 0.3vdF 0?2Bdxj0 I1I 22vln 3j41 7 20 1ln324.4 10(2) 线框受力可看作是4段直导线受力的总和ab和 cd受力大小相等、方向相反，相互抵ad段受力F ab1 2B1L2八从21.2 10 42 x1方向：向左be段受力FabI 2B2L20.4 10 42 X2方向：向右由于FadFbc，线框将向左(靠拢长直导线)加速运动。er_ r(3) 当l1 20sint时，F将随t周期性变化，即F 4.4 10 5sin tj337.18载流圆线圈半径R = 200mm, I = 10A,置于均匀磁场B = 1 . 0 T中,如图所示。B的方向与线圈平面

20、垂直。试求：(1) a, b, c, d各处1cm长电流元各受力多少？半圆abc所受的合力如何？(3) 线圈如何运动？ 如果磁场方向沿x正方向，情况又如何？u分析与解答(1)电流元Idl在a b、c、d各处均与B垂直，故dF IBdl 10 1.0 0.010.1(2) 半圆载流导线abc在磁场中所受的安培力等于直径ac载同样电流的受力。即uLirrFabc2IBRiuuirr(3) 由于Fadc2IBRi，则线圈处于静止。Lruuruuir(4) 如B的方向沿x轴正方向，则Fabc沿纸面向里，Fadc沿纸面向外，线圈将受到力矩作用，并绕y轴转动(俯视：逆时针方向)。题7.18图题7.19图题

21、7.20图7.19两根平行长直细导线，分别通有电流I1和I2 ,它们之间相距为d,如图所示。试求：(1) 每根导线上单位长度线段受另一载流导线的作用力； 如果I1和I2流向相反，则情况如何？分析与解答参阅主教材P293例7.5.57.20如图所示，两根带电平行长直导线1和2,相距为d,均以速度v沿x方向运动，它们所带的电荷线密度分别为入1和?2。试求：(1) 运动的载流导线1和2形成的电流12；(2) 两根导线各自单位长度所受的电场力Fe；(3) 两根导线各自单位长度所受的磁场力Fm；iv,I22V证明:Fm/Fe = v2/c 0分析与解答(1根据电流I是单位时间内通过S面的电荷数，贝UIi

22、(2) 两导线单位长度上的电荷各自在对方处产生的电场强度为E -2 od则两导线单位长度之间的电相互作用力为(斥力)FE21 2厂e11 2120d20dFe12 E11 220d(3)两导线单位长度之间的磁相互作用力为？1 1B 21 2 B10 1 22 d2012 v2 d(引力)20 1 2V(4)根据(2),( 3)的计算结果，得&2 d 0 0V2Fe1 22 0d由于c丄2 ， cFm 则F Fe2v2c磁力矩7.21试述处理载流线圈受磁场力作用的思路和方法，并说明:uu ur r in(1)磁力矩一般表达式是M=巳BISn B ；(2)引入线圈磁矩pm和线圈平面法向n的意义;(

23、3) 半径为R、共N匝的平面圆线圈，通有电流为I ,其磁矩Pm = NI R2n。7.22边长为a = 0.2m的正方形线圈,共有N = 50匝,通以电流I = 2A,把它置于B = 0.05T的均匀磁场中，试问：(1) 线圈处于什么方位所受磁力矩最大？其值为多少:(2) 处于什么方位所受磁力矩最小？其值为多少？(3) 由磁力矩最大时的方位转到最小时的方位，磁力矩做多少？2 2 分析与解答线圈的磁矩Pm INa 4A muur uur ur功为M maxPm B SinPm B 40.050.2 m即线圈的正(1)由MPm B可知，当sin 1时有法线方向与B垂直r ur(2)当 n / B，

24、即 sin0，此时磁力矩最小，即 MminPmBsin0(3)由磁力矩的功AIm，按题意m10，m2BSBa2则A1m Im1m2I m2NIB#50 2 0.05 0.220.2J7.23如题7.23图(教材P311)所示，半径为R = 0.20m,载流I = 20A,可绕Oy轴转动的圆形线圈,置于均匀磁场中，磁感强度B = 0.08 T方向沿x轴正向。试求：(1)线圈所受的磁场力Fm；(2) 线圈的磁矩Pm；(3) 线圈所受的磁力矩M分析与解答(1)分别在图中的a，b, c, d处各取电流元Idl ，根据安培定律dF IdlB可知，它们所受的安培力分别为dFaIdlB sin0题7.23图dFbIBdl(垂直纸面向外)dFcIdlB sin0dFdIBdl(垂直纸面向里)则线圈所受总的磁场力为Fm 0(2) 线圈的磁矩为PmISn I R2k2(3) 线圈所受的磁力矩为MPm