人教统编部编版高中数学必修第一册A版第五章《三角函数》全章节教案教学设计(含章末综合复习)

1、【新教材】人教统编版高中数学必修第一册 A版第五章教案教学设计第5章三角函数5.1.1 任意角和弧度制（任意角）5.1.2 任意角和弧度制（弧度制）5.2.1 三角函数的概念5.2.2 三角函数的概念（同角三角函数的基本关系）5.3诱导公式5.4.1 三角函数的图形与性质（正弦函数、余弦函数的图像）5.4.2 三角函数的图形与性质（正弦函数、余弦函数的性质）1.1.1 三角恒等变换（两角和与差的正弦、余弦和正切公式）1.1.2 三角恒等变换（简单的三角恒等变换）5.6 函数 y=Asin （ x + （|）5.7 三角函数的应用本章综合与测试5.1.1 任意角和弧度制 - 任意角教案教材分析：

2、学生在初中学习了 0o360o ,但是现实生活中随处可见超出 0o360o范围的角 . 例如体操中有“前空翻转体540o ” ，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致因此为了准确描述这些现象， 本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广 .教学目标与核心素养：课程目标1. 了解任意角的概念.2. 理解象限角的概念及终边相同的角的含义3. 掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法数学学科素养1. 数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2. 逻辑推理：求区域角；3. 数学运算：会判断象限角及终边相同的角 .教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同

3、的角的方法课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OAS端点O股逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0o360°范围内的角.但是现实生活中随处可见超出0o360°范围的角.例如体操中有“前空翻转体540° ”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致. 请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1 .角的概念推广后，分类的标准是什么？2

4、 .如何判断角所在的象限？3 .终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题 三、新知探究1.任意角 (1)角的概念角可以看成平面内一条射线 绕着端点从一个位置 旋转 到另一个位置所成的图形.(2)角的表示a”或“/a”或简记为“a”.(3)角的分类如图，OA是角a的始边，OB是角a的终边，O是角的顶点.角a可记为“角名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角0*8零角一条射线没有作任何旋转 形成的角0 A(B按旋转方向，角可以分为三类:2.象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与 原点 重合、角的始边

5、与x轴的非负 半轴重合，那么，角的终边在第几象限、就说这个角是第几 象限角：如果角的终边 在坐标轴 上,就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合 S= B B = a + k-360° , kCZ,即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与 整数个 周角的和.四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1（1）给出下列说法：锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；小于180。的角是钝角、 直角或锐角；始边和终边重合的角是零角.其中正确说法的序号为 （把 正确说法的序号都写上）. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与

6、x轴的非负半轴重合，作出下列各角， 并指出它们是第几象限角.420° , 855° ,510° .【答案】（1） （2）图略，420。是第一象限角.855。是第二象限角. 510°是第三象限角.【解析】（1）锐角是大于0。且小于90。的角，终边落在第一象限，是第一象 限角，所以正确；一350。角是第一象限角，但它是负角，所以错误；0°角是小于180。的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以错误； 360。角的始边与终边重合，但它不是零角，所以错误.（2） 作出各角的终边，如图所示：由图可知:420。是第一象限角.8550是第二象限角.一51

7、00是第三象限角.解题技巧：(任意角和象限角的表示)1 .判断角的概念问题的关键与技巧.(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小.2 .象限角的判定方法.(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限. 利用终边相同的角：第一步，将a写成a = k 360° + B (k e Z, 0° & B <360° ) 的形式；第二步，判断B的终边所在的象限；第三步，根据B的终边所在的象限，即可确定a的终边所在的象限.跟踪训练一1 .已知集合A= 第一象限角, B=

8、 锐角, C= 小于90°的角,则下面关系 正确的是()A. A= B= CB. A? CC. An C= BD. BU C? C【答案】D【解析】由已知得B FC,所以BU C? C,故D正确.2.给出下列四个命题：一75°是第四象限角；2250是第三象限角；475°是第二象限角；一315。是第一象限角.其中正确的命题有()A. 1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析90° < 75° <0； 180° <225 <270° ,3600 + 90° <475° <

9、;360° +180° , 315° = 360° +45° 且 0° <45° <90° .所以这四个命题都是正确的.题型二终边相同的角的表示及应用例 2 (1)将885° 化为 k - 3600 + a (0 ° < a <360° , kC Z)的形式是(2)写出与a = 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一7200 <B <360°的元素B写出来.【答案】(1)(3) X 360° +195

10、6; ,(2)终边相同的角的集合为B| B=k-360°910° , kZ,适合不等式720° < B <360° 的元素550°、 190°、 170° .【解析】(1)885° = 1 080 0 + 195° =(3)X360° +195° .(2)与a = 910°终边相同的角的集合为B|B=k360° 910° , kZ,. 720° < B<360° ,即一 720° < k 360&

11、#176; 910° <360° , kCZ, k 取 1, 2, 3.当 k=1 时，B=360° 910° = 550° ;当 k = 2 时，B =2X360° 910° = 190° ;当 k = 3 时，6=3X360° 910° =170° .解题技巧：(终边相同的角的表示)1 .在0°至IJ 3600范围内找与给定角终边相同的角的方法一般地，可以将所给的角a化成k 3600 + B的形式(其中0° < B <360° , k

12、Z),其中B就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角 时，采用连续加360。的方式；当所给角是正角时，采用连续减360。的方式，直到所得结果达到所求为止.2 .运用终边相同的角的注意点所有与角a终边相同的角，连同角a在内可以用式子k-3600 + a , kCZ表示， 在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉.(2) a是任意角.(3)k - 3600 与 a 之间用 “ + ” 连接，如 k - 3600 30° 应看成 k - 360° +( 300 ) , kCZ.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终

13、边一定相同，终边相同的角有无数 个，它们相差周角的整数倍.跟踪训练二1 .下面与一850° 12'终边相同的角是（）A. 2300 12'B. 229 48'C. 129° 48'D. 130° 12'【答案】B【解析】与850° 12'终边相同的角可表示为a = 850° 12' +k 360° （k CZ）,当 k = 3 时，a = 850° 12' + 1 080 0 =229° 48'.2 .写出角a的终边落在第二、四象限角平分线上的

14、角的集合为 .【答案】 a | a = k 180° + 135° , kCZ.【解析】落在第二象限时，表示为 k - 3600 + 135° .落在第四象限时，表示为 k - 3600 + 180° +135° ,故可合并为 a | a = k 180° +135° , k Z.题型三任意角终边位置的确定和表示例3 （1）若a是第一象限角，则22是（）A.第一象限角B.第一、三象限角 C.第二象限角D.第二、四象限角 （2）已知，如图所示.分别写出终边落在OA OB位置上的角的集合； 写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的

15、集合.【答案】（1）B （2）终边落在OA位置上的角的集合为 a | a =135° +k360° , k C Z；终边落在O附置上的角的集合为B| B= 30° +k360° , kez.故该区域可表示为 丫 | 30° +k360° < y <135° +k360° , kCZ.【解析】（1） 因为a是第一象限角，所以k - 3600 < a <k 3600 +90° , kCZ,所以k-1800< k - 180° +45° , kCZ,当k为偶数时

16、，-y为第一象 cl.a限角；当k为奇数时，万为第三象限角.所以 万是第一、三象限角.(2)终边落在OA位置上的角的集合为 a | a = 90° +45° +k 360° , kCZ= a | a =135° + k - 360° , k Z;终边落在OB位置上的角的集合为 B | B = 30° + k 3600 , k C Z.由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于30° ,135° 之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为 丫 | 30° + k 3600 < y

17、 < 135° +k 360° , kC Z.解题技巧：(任意角终边位置的确定和表示)1 .表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的一 3600360°范围内的角 a和B ,写出最简区间x a <x< B ,其中B a <360° ；第三步：起始、终止边界对应角a , B再加上360。的整数倍，即得区间角集合.提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异.2 . n a或所在象限的判断方法：(1)用不等式表示出角n a或?J勺范围；?(2)用旋转的观

18、点确止角n a或洲在象限.跟踪训练三1 .如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角 B 的取值集合为 B | n 180° +60° < P <n -1800 + 105° , n Z.【解析】在0°360。范围内，终边落在阴影部分（包括边界）的角为600 < B<105°与2400 < B <285° ,所以所有满足题意的角B为 B | k 360° + 60° <B <k - 3600 + 105° , k C Z U B |

19、k 360° + 240° 0 0 <k 360° + 285° , kCZ= B 12 k 180° +60° & B <2k - 180° + 105° , k Z U B |(2 k+ 1) 180° +60° & B <(2k+1) 180° + 105° , k Z= B | n 180° +60° & B <n 180° + 105° , n Z.故角 B 的取值集合为 B |

20、 n 180° +60° & B <n 180° + 105° , n Z.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计5.1.1 任意角1任意角例1例2例32 .象限角3 .终边相同的角七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法， 让学生从旋转方向和旋转 度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2 任意角和弧度制 - 弧度制教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念， 而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法

21、弧度制， 从而将角与实数建立一一对应关系， 为学习本章的核心内容三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1. 了解弧度制 , 明确 1 弧度的含义.2. 能进行弧度与角度的互化 .3. 掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式 .数学学科素养1. 数学抽象：理解弧度制的概念；2. 逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3. 直观想象：区域角的表示；4. 数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题 .教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解课前准备 ：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程：一、情景导入度量

22、单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便. 角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察. 研探 .二、预习课本，引入新课阅读课本 172-174 页，思考并完成以下问题1 . 1弧度的含义是？2 .角度值与弧度制如何互化？3 .扇形的弧长公式与面积公式是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题 三、新知探究1 .度量角的两种单位制(1)角度制定义：用 度 作为单位来度量角的单位制.1度的角：周角的

23、亲.360(2)弧度制定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制.1弧度的角：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角.2.弧度数的计算H正角的，度散居二个正数-侦角的弧赢是一个负数)£3知的弧丽数地零二)事-j版画一，一、 L图画K仃二3.角度制与弧度制的转算4. 一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°60°90°120013501500180027003600弧度0?6?4冗冗2-2?3?5?"6冗3兀22兀5.扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R,弧长为l, a (0< a <2兀)为其圆心角，则:(1)弧

24、长公式：l = a r .(2)扇形面积公式：S= 2? =1?.四、典例分析、举一反三题型一角度制与弧度制的互化例1把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1) 450。； (2) 10; (3)=；(4)112 ° 30'. 103【答案】(1)萼 rad ; (2)18 ° ; (3) 240° ； (4)萼 rad. 28【解析】(1) 450° = 450X;0 rad =52 rad ;(3)一萼 rad3180冗4兀vx= 18。；180T 240 ；(4)112 0 30' = 112.5° = 112.5 Xe r

25、ad =58 rad.解题技巧：(角度制与弧度制转化的要点)抓住“正对正，负对负，零对。”这个要点J .司,1记住常见角对应的孤度数I4PHi=湍川净。两个甚本关系跟踪训练一1 .将下列角度与弧度进行互化.(1)20 ° ； (2) 15。；(3)名；(4)一名. 125 » 一 冗冗C【答案】(1) § rad ; (2) - rad ; (3) 105 ; (4) 396二，一20九冗【解析】(1)20=80 rad = rad.015冗冗15 = 780 rad =一五 rad.7兀 7港 rad =12X180° =105° .(4)

26、-11 rad = 一；X180° = 396° . 55题型二用弧度制表示角的集合例2用弧度制表示顶点在原点，始边重合于 x轴的非负半轴，终边落在阴影部 分内的角的集合（不包括边界，如图所示）._兀 .- 5.【答案】(1) 9 d+ 2G<8<12兀+ 2G，kCZ(2) 9 -34- + 2kTt<8<q+2kTt, kCZ ； (3) 冗冗0 6" + k 兀 < 6 <万 + k 兀，k C Z .【解析】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，一 九 八 5，一(1) 0 "6" + 2k

27、 兀 < 8 <12 兀 + 2k it , k C Z(2) 0 - 3-7-+ 2k tt < 0 <37-+ 2k tt , k Z.44_九,人九.L _(3) 0 至 + k 兀 < ° <万 + k 冗,k Z .解题技巧：(表示角的集合注意事项)1 .弧度制下与角a终边相同的角的表示.在弧度制下，与角a的终边相同的角可以表示为 B | B =2k九+ a , ke Z),即 与角a终边相同的角可以表示成a加上2冗的整数倍.2 .根据已知图形写出区域角的集合的步骤.仔细观察图形.(2)写出区域边界作为终边时角的表示.(3)用不等式表示区

28、域范围内的角.提醒：角度制与弧度制不能混用.跟踪训练二1 .如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界). 【答案】（1） a -2+2kTt< a <+2kTt , kCZ . 362 2） a 2k tt < a < + 2k 兀或+ 2k：t< a<7t + 2kTt, kCZ.33.,.一一.一 一 兀 .【解析】（1）如题图，以OA为终边的角为"6 + 2k兀（kCZ）；以OB为终边的角、,2九为一F-+2k：t (kCZ), 3所以阴影部分内的角的集合为a + 2k 兀 < a

29、<+ 2k 九,k Z36(2)如题图，以。人为终边的角为。+ 2h(武刁；以OB为终边的角为 =+2k33兀(kez).不妨设右边阴影部分所表示的集合为 M,左边阴影部分所表示的集合为M, 一 一 九_ 则乂= a 2k tt < a < "3"+ 2k 兀， k C Z , M =2兀a T+2k：t< a<7t + 2kTt, kCZ.3所以阴影部分内的角的集合为MUM= a 2k tt < a < + 2k 冗或-3" +2卜冗<0<九 + 2卜冗,k Z .题型三扇形的弧长与面积问题例3一个扇形的周长

30、为20,则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形 面积最大？【答案】当扇形半径r=5,圆心角为2 rad时，扇形面积最大.【解析】设扇形的圆心角为a ,半径为r,弧长为l ,则l = a r依题意组即ar+2r=20,20 2r由 l =20 2r>0 及 r>0得 0<r<10,12 1 20-2r 2 S扇形=2a r =2 r , r = (10 r) r2_ 一一=(r 5) +25(0<r<10).当r=5时，扇形面积最大为S= 25.此时l= 10, a =2,故当扇形半径r=5,圆心角为2 rad时，扇形面积最大.解题技巧：（弧度制下解决扇

31、形相关问题的步骤）.（这里1 C 一 1（1）明确弧长公式和扇形的面积公式：l=| a|r, S= 2I a|r和S= 21ra必须是弧度制下的角）（2）分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式. 根据条件列方程（组）或建立目标函数求解.跟踪训练三1、已知某扇形的圆心角为80° ,半径为6 cm,则该圆心角对应的弧长为（_ 8兀_4 兀A 480 cmB. 240 cm C. cmD73- cm【答案】C【解析】：80。嗫X80十,又 r=6 cm,故弧长 1= a r=4x 6=呆（cm）.2、如图，已知扇形AOB勺圆心角为120。，半径长为6,求弓形ACB的面积【答案】12l9B【

32、解析】S扇形ao= XX 6?=12九,2180Sa ao= X6X6Xsin 60 ° =9v3, 2故S 弓形AC=S扇形AOB-S AAO=12几 -9.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计5.1.2 弧度制1 .弧度制例1例2例32 .弧度制与角度制转化3 .扇形弧长与面积公式七、作业课本175页练习及175页习题5.1.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生通过角度制与弧度 制的转化将角与实数建立一一对应关系，切记：角度和弧度不可同时出现.5.2.1三角函数的概念教案教材分析：本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修第一册（

33、人教A版）第五 章三角函数，本节课是第3课时，这是节关于任意角的三角函数的概念课.三角函数是高中范围内继指数函数、对数函数和幕函数之后学习的函数，是函数的一个下位概念，与指对数函数、幕函数属于同一抽象（概括）层次。它是一 种重要的基本初等函数，是解决实际问题的重要工具，也是学习数学中其他知识 内容的基础。在初中,学生已学过锐角三角函数,知道直角三角形中锐角三角函数等于相应 边长的比值。在此基础上，随着角的概念的推广，引入弧度制，相应地将锐角三角 函数推广为任意角的三角函数，此时它与三角形已经没有什么关系了。任意角的 三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边 与单

34、位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系。认识它需要借助单位圆、 角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助，这里体现了数形结合的思想 由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数,再到单位圆上的点的坐标表示的锐 角三角函数，直至得到任意角的三角函数的定义，体现了合情推理的思想方法。本 节课将围绕任意角三角函数的概念展开,任意角三角函数的概念是本节课的重点 能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键。教学目标与核心素养： 课程目标：A.借助单位圆理解任意角三角函数的定义；B.根据定义认识函数值的符号，理解诱导公式一；C.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题；D.体验三角函

35、数概念的产生、发展过程，领悟直角坐标系的工具功能，丰富 数形结合的经验。学科素养：1 .数学抽象：三角函数的定义；2 .逻辑推理：三角函数概念的推导过程;3 .数学运算：根据定义求三角函数值；4.直观想象：三角函数定义的推导。教学重难点:1 .教学重点：任意角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)的定义;2 .教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。课前准备：多媒体教学过程:、复习回顾，温故知新1. 1弧度角的定义【答案】等于半径长的圆弧所对的圆心角2. 角度制与弧度制的换算：180【答案】180,1弧度()57.303. 关于扇形的公式1 O1【答案】(1) l R;(2)S - R2

36、;(3)S -lR.4. 在初中我们是如何定义锐角三角函数的?【答案】ba ,sin- ,cos,tancc、探索新知P探究一.角 的始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点 P。当 &时，点P2的坐标是什么？当一或 ' 时，点P的坐标又是什么？它们唯一确定吗?23【答案】当一时，点P的坐标为62时,点p的坐标为2时，点 P的坐标为3i)o探究二般地，任意给定一个角,它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗?【答案】点P的横、纵坐标都能唯一确定(1) 意角的三角函数定义设角 是一个任意角，R,它的终边与单位圆交于点P(x, y)那么(1) y叫做的正弦函数。记作sin，即y

37、sin ;(2) x叫做 的余弦函数。记作cos，即x cos ;(3) 丫叫做的正切。记作tan，即y tan ; xx-tan (x 0)是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函 x数值的函数，称为正切函数(tangent function)正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.通常将它们记为：正弦函数 y sinx,x R余弦函数 y cos x, x R正切函数 y tanx,x 5 k (k Z)探究三：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。以比值 为函数值的函数，设x (

38、0-),把按锐角三角函数定义求得的锐角 x的正弦记为Zi，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为y1。乙与y1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？【答案】都相等例1.求5-的正弦、余弦和正切值.3、， ，入 5, . 7 一变式：把角J改为L呢？36. 373tan263一 717【答案】 sin,cos一626例2. 如图，设 是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点O重合）的坐标为（x,y ）,点P与原点的距离为r o求证：sin - ,cos - ,tan -.rr x探究四.1.根据三角函数的定义，确定三角函数的定义域。三角函数定义域y sinRy cosRy tan-k

39、(k Z)2.确定三角函数值在各象限的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。例3. 求证：角为第三象限角的充要条件是sin 0tan 0【答案】见教材思考：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系?终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）sin（k 2 ） sincos（ k 2 ） cos ,其中，k z。tan（k 2 ） tan作用：利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求02 （或0 360 ）角的三角函数值.例4 确定下列三角函数值的符号:(1) cos250 ;(2)sin( );(3)tan( 672 );(4)tan34例5 求下列三角函数值:9

40、11(1)sin148010(精确至U 0.001);(2) cos；(3)tan( ).46三、达标检测1. sin( 315° )的值是()2121A.-5B. -2C方d.2【答案】C【解析】sin( 315 ) = sin( 360 +45 )=sin 45=22.已知角a终边过点P(1 , -1),则tan a的值为()A. 18. - 1D.【答案】B f6 一 I，、，一 1【解析】由二角函数止义知tan 0=彳=1.3.在平面直角坐标系xOy中，角a与角B均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin a =2，则sin B =.5【解析】设角a的终边与单位圆相交于

41、点P(x, y), 则角B的终边与单位圆相交于点 Qx, -y),由题意知y = sin1=y=-5.4.求值：(1)sin 180+ cos 90+ tan 0(2)cos + tan315几4【解析】(1)sin 180 0 +cos 90 ° +tan 0 0 =0+0+0 = 0.(2)cos 卓 + tan315几4Tt=cos 8tt + - + tan冗- 4 九 十 4冗冗 13= cos§+tan 了=2+ 1 = /.四、小结1 .内容总结三角函数的概念.三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号 诱导公式一.2 .方法总结运用了定义法、公式法、数形结合

42、法解题.3 .体现的数学思想化归的思想，数形结合的思想.五、作业习题 5.2 1.（1）、（2） 2 题教学反思：任意角三角函数的第一节课，其中心任务应该是让学生建立起计算一个任意 角的三角函数与其边上点的坐标之间的关系， 并在此基础上初步建立任意角三角 函数概念的意义。如，计算方法、定义域、值域、符号表示、有关结论（与点的位置的选取无关）后，首先提供“坐标系”作为脚手架，引发学生的认知冲突一“在坐标系下，如何研究一个任意角的三角函数 ？”并以坐标系为平台，有层次 的研究随角的变化，即第一象限下的锐角（认识研究方法的变化，以及符号表示 的变化0-2范围内的角（认识该范围内角的三角函数的表示方法

43、，特别是值域 的变化）不同象限下终边相同的角（逐渐形成计算一个任意角的三角函数的操作 过程）。锐角三角函数概念教学时如果是先给一个锐角，再构造三角形，而不是家当前大 多数教材中采用的直接放在一个直角三角形下，对学生概念的迁移会更有帮助。5.2.2三角函数的概念-同角三角函数的基本关系教案教材分析：本节内容是学生学习了任意角和弧度制， 任意角的三角函数后，安排的一节 继续深入学习内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本 工具，是整个三角函数知识的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现 的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。教学目标与核心素养：课程目标1 .理解并

44、掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2 .会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.数学学科素养1 .数学抽象：理解同角三角函数基本关系式；2 .逻辑推理："sin a ± cos a"同“sin a cos a”间的关系；3 .数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、 求值与恒等式证明 教学重难点：重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程：一、情景导入公

45、式一表明终边相同的角的三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本182-183页，思考并完成以下问题1 .同角三角函数的基本关系式有哪两种？2 .同角三角函数的基本关系式适合任意角吗？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1 .同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2 a +C0S2 a = 1. sin a冗冏数关系：cos a =tan_ a aWkjt+万，kCZ.(2)语言叙述：同一个角a的正弦、余弦的平方和等

46、于1,冏等于角a的正 切.思考：“同角” 一词的含义是什么？提示一是“角相同"，如sin 2 a + cos2 p =1就不一定成立.二是对任意 一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，cos219= 1 等如 sin 215° +cos215° =1, sin 2得十四、典例分析、举一反三题型一应用同角三角函数关系求值例 1 (1)若 sin 3 ,求 cos a , tan a 的值；5(2)已知 cos a =一刍，求 sin a , tan a 的值.17【答案】(1)当a是第三象限角时，cos a =1，tan a =.

47、 544弟四象限角时，cos a=5，tana =-3(2)如果a是第二象限角，那么sin a =万，tan a =-.如果a是第三象限角,sin a = _ 15, tan a =15【解析】=sin a= 3, a是第三、第四象限角, 5当a是第三象限角时,cosoc 一 1 sin a 1，tansin aa =cos aa是第四象限角时,sin aa =cos asincos a = yjl sin 2a = 3, tan 5(2) cos a = 0 0, 17a是第二或第三象限的角.如果a是第二象限角，那么15tansin a 1715一17如果a是第三象限角，同理可得sin a

48、= '1 cos2 a =一t tan a = £17'8解题技巧：(利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法)(1)已知角a的某一种三角函数值，求角a的其余三角函数值，要注意公式 的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.(2)若角a所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果； 若角a所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.提醒：应用平方关系求三角函数值时,要注意有关角终边位置的判断，确定所求 值的符号.跟踪训练一1.已知 sin a +3cos a =0,求 sin a , cos a 的值.【答案】角a的终边在第二象限时，cos

49、a=磊0, sin a = 3410；当角a的终边在第四象限时，cos a;彳柒，sin a =一卷网0.【解析】 sin a + 3cos a =0, sin a= -3cos a.又 sin 2 a + cos2 a = 1 ,( 3cos a ) 2+ cos2 a = 1 ,即 10cos2 a = 1 ,cos a = ± 10.10又由 sin a = 3cos a , 可知 sin a与 cos a 异号，角a的终边在第二或第四象限.当角a的终边在第二象限时，COS a = 一 ；0，sin a =10/10；当角a的终边在第四象限时，cos a =00，sin民=-：

50、30/10.题型二三角函数式的化简、求值（1）化简:、12sin 130 ° cos 130 一 sin 130 0 十 5一sin 2130°若角,是第二象限角,化简：的1/i.【答案】（1） 1;（2） -1.【解析】（1）原式=Msin2130° 2sin 130 ° cos 130 ° +cos2130°sin 130 0 + «cos2130°|sin 130 0 -cos 130 ° | sin 130 ° -cos 130 ° d =: =:-=1 _sin 130+|c

51、os 130| sin 130-cos 130原式=tan a J二吟.a7k=到xjcos，因为a'，y sin aY sin a cos a |sin a | sina Icos a I是用二象限角，所以 sin a>0, cos a <0,所以原式=cos a X j =sin acos a- x 一 . 一= - 1.cos asin a解题技巧：（化简三角函数式的常用方法）1、切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类 以便化简.2、对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的3、对于化简高次的三角函数式，往往借助于

52、因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.提醒：在应用平方关系式求sin a或cos a时，其正负号是由角a所在的象限 决定，不可凭空想象.跟踪训练二八芳 cos 36 0 Ji COS2361.化简：“。，12sin 36 cos 36sin 0 cos 0 tan 9-1.【答案】(1)1 ; (2) cos 9 .【解析】cos 36 0 原式=sin 0 cos 0 cos 0 sin 0 cos 0sin 0coTT tsin 0 cos 0= cos 0 .题型三 三角函数式的证明例3求证:cos x 1 sin x1 sin x cos x【答案】见解析【解析】证

53、明：由 cosx 0,知 sinx1,所以1 sin x 0,于是原式: l , _cos 36 Tsin 236： ()八 sin cos 36 ° sin 36 °cos 36 ° sin 36 ° cos 36 ° - sin 364一cos 36 ° sin 36 °2一 |cos 36 ° sin 36 0 | 一 cos 36 ° sin 36 1 cos x36° +cos236° 2sin 36左边=1 sin xcosx右边cosx(1 sin x)(1 sin x)

54、(1 sin x)cosx(1 sinx)21 sin xcosx(1 sin x)所以，原式成立解题技巧：（三角函数式解题思路及解题技巧）1 .证明恒等式常用的思路是：（1）从一边证到另一边，一般由繁到简；（2） 左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；（3）比较法（作差，作比法）.2 .常用的技巧有：（1）巧用“1”的代换；（2）化切为弦；（3）多项式运算技巧的应用（分解因式）.3.解决此类问题要有整体代换思想.跟踪训练三1+2sin xcos x 1 + tan x2 cosx sin 2x1 tan x，【答案】见解析【解析】证明:右边一sin x1 + cos x cos x + si

55、n xsin x cos x sin x 1cos xcos x + sin x 21 + 2sin xcos xcos x sin xcos x+sin x2 cosx- sin 2x二左边,原等式成立.题型四sinc ± cos，日 “ s 问 sin a cos间的关系例4已知sin+ cos1 厂=Z，且 0< a < 九.5求：（1）sinc cos的值;(2)求 sina cosa的值.【答案】（1）1225； (2) 5.【解析】证明:(1) ; sina + cos a =15, (sina +cos25'c cos a1= 25,即 sinc cos a =1225.(2) (sina cos2_a) =12sinc cos24 491 +-=25 25.又0< asin a cos a < 0,二 sin>0,