第一章证明(二)复习---完美版

1、第一章证明（二）第一章证明（二）复习复习直观是把“双刃剑”w直观是重要的直观是重要的,但它有时也会骗但它有时也会骗人人,下面的例子就是最好的证明下面的例子就是最好的证明!abcdabab 回顾与思考回顾与思考w公理公理:公认的真命题称为公理公认的真命题称为公理(axiom).w证明证明:除了公理外除了公理外,其它真命题的正确性其它真命题的正确性都通过推理的方法证实都通过推理的方法证实.推理的过程称为推理的过程称为证明证明.w定理定理:经过证明的真命题称为定理经过证明的真命题称为定理(theorem).“原名” 知多少 回顾与思考回顾与思考w本套教材选用如下命题作为公理本套教材选用如下命题作为公

2、理 :w1.两直线被第三条直线所截两直线被第三条直线所截,如果同位角相等如果同位角相等,那么这两条直线平行那么这两条直线平行;w2.两条平行线被第三条直线所截两条平行线被第三条直线所截,同位角相等同位角相等;w3.两边夹角对应相等的两个三角形全等两边夹角对应相等的两个三角形全等;w4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;w5.三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等;w6.全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等,对应角相等对应角相等.w你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? ?w推论推论: :w

3、等腰三角形顶角的平分线等腰三角形顶角的平分线, ,底底边上的中线边上的中线, ,底边上的高互相重底边上的高互相重合合( (三线合一三线合一).).w定理定理: :等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等( (等边对等角等边对等角).).ACB12在在ABCABC中中, , AB=AC(AB=AC(已知已知),),B=C(B=C(等角对等边等角对等边).).ACBD12w推论推论: :w等腰三角形顶角的平分线等腰三角形顶角的平分线, ,底边上的中底边上的中线线, ,底边上的高互相重合底边上的高互相重合( (三线合一三线合一).).如图如图, ,在在ABCABC中中, , AB=AC, 1

4、=2(AB=AC, 1=2(已知已知).).BD=CD,ADBCBD=CD,ADBC（三线合一）（三线合一）. .w证明后的结论证明后的结论, ,以后可以直接运用以后可以直接运用. . ACBD12如图如图, ,在在ABCABC中中, , AB=AC, BD=CD (AB=AC, BD=CD (已知已知).).1=2,ADBC1=2,ADBC（三线合一）（三线合一）. .如图如图, ,在在ABCABC中中, , AB=AC, ADBC(AB=AC, ADBC(已知已知).).BD=CD,1=2 BD=CD,1=2 （三线合一）（三线合一）w轮换条件轮换条件1=2,BD=CD,BD=CD,ADA

5、DBCBC可得可得三线合一三线合一的三种不的三种不同形式的同形式的运用运用. .等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等. .等腰三角形的其他性质：等腰三角形的其他性质：等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等. .等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等. .已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中, ,(1)(1)如果如果ABD=ABC/2,ACE=ACB/2,ABD=ABC/2,ACE=ACB/2,那么那么BD=CEBD=CE吗吗? ? 如果如果ABD=ABC/3,ACE=ACB/3ABD=ABC/3,ACE=ACB/3呢呢? ? 由此你能得到

6、一个什么结论由此你能得到一个什么结论? ?(2)(2)如果如果AD=AC/2,AE=AB/2,AD=AC/2,AE=AB/2,那么那么BD=CEBD=CE吗吗? ?如果如果AD=AC/3,AE=AB/3AD=AC/3,AE=AB/3呢呢? ? 由此你能得到一个什么由此你能得到一个什么结论结论? ?(3)(3)你能证明得到的结论吗？你能证明得到的结论吗？ACBDE等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角等角对等边对等边）. .ACB在在ABCABC中中BBCC（已知），（已知），AB=ACAB=AC（等角对等边）（等角对

7、等边）. .w小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.w小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立从而证明便是的结论一定成立. .这种证明方法称为这种证明方法称为反证反证法法(reduction to absurdity)(reduction to absurdity)w定理定理: :有一个角是有一个角是600的等腰三角形是等边的等腰三角形是等边三角形三角形. .在在ABCABC中中, ,AB

8、=AC,B=60AB=AC,B=600 0( (已知已知).).ABCABC是等边三角形是等边三角形( (有一个有一个角是角是600的等腰三角形是等边三的等腰三角形是等边三角形角形).).ACB600定理定理: :三个角都相等的三角形是三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形. .在在ABC,A=B=C.ABC,A=B=C. ABCABC是等边三角形是等边三角形. .ACB定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中, 30, 300 0角所对的直角边等于角所对的直角边等于斜边的一半斜边的一半. .在在ABCABC中中, ,ACB=90ACB=900 0,A=30,A=300 0. .BC=

9、0.5AB.(BC= 0.5AB.(在直角三角形中在直角三角形中, , 30 300 0角所对的直角边等于角所对的直角边等于斜边的一半斜边的一半).).ABC300w逆命题逆命题: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果一条直角边如果一条直角边等于斜边的一半等于斜边的一半, ,那么它所对的锐角等于那么它所对的锐角等于30300 0. . 直角三角形全等的判定定理及其直角三角形全等的判定定理及其三种语言三种语言l定理定理:斜边和一条直角边对应相等的两个斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等直角三角形全等(斜边斜边,直角边或直角边或HL).w如图如图, ,在在ABCABC和和A AB B

10、C C中中, C=C=900 , wAC=AC , AB=AB(已知已知),wRtRtABCRtABCRtA AB BC C(HL). .ABCABC 直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理:l定理定理: :斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等等(斜边斜边,直角边或直角边或HL).w 公理公理: :三边对应相等的两个三角形全等（三边对应相等的两个三角形全等（SSSSSS）. .w 公理公理: :两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SASSAS）w 公理公理: :两角及其夹边对应相等的两个三角形全

11、等（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASAASA）w 推论推论: :两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（等（AASAAS）. . 综上所述综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为直角三角形全等的判定条件可归纳为:w 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;w 两边对应相等的两个直角三角形全等两边对应相等的两个直角三角形全等;w 切记切记!命题命题: :两边及其中一边的对角对应相等的两个三两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等角形不一定全等. .w即即(SSA)(SSA)是一个假

12、冒产品是一个假冒产品! 试一试试一试P141.如图如图(1):四边形四边形ABCD是一张正方形纸片是一张正方形纸片,E,F分分别是别是AB,CD的中点的中点,沿着过点沿着过点D的折痕将的折痕将A角翻折角翻折,使得使得A落在落在EF上上(如图如图(2), 折痕交折痕交AE于点于点G,那么那么ADG等于多少度等于多少度?你能证明你的结论吗你能证明你的结论吗?DACBEFDACBEF(1)(2)GA1、已知：如图、已知：如图CA与与BD相交于点相交于点O，AB/CD，OA=OB，求证：三角形求证：三角形DOC是等腰三角形是等腰三角形COABD2、等腰三角形有一个内角是、等腰三角形有一个内角是40度，

13、则它其余的度，则它其余的两个角的度数是两个角的度数是_3、等腰三角形有一个内角是、等腰三角形有一个内角是100度，则它其余的度，则它其余的两个角的度数是两个角的度数是_4、等腰三角形有一边是、等腰三角形有一边是4厘米，另一边长是厘米，另一边长是9，则它的周长是则它的周长是_5、已知已知: :等腰三角形的底角为等腰三角形的底角为15150 0, ,腰长为腰长为2a.2a.则它的腰上的高是则它的腰上的高是_6、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则它的底角是则它的底角是_7、在、在ABC与与DCB 中，已知中，已知AB=CD，要使，要使ABO DCO，请你

14、补充条件，请你补充条件_AODCB8、如图、如图S110，在，在RtABC中，中，C90，B15，DE是是AB的中垂线，垂足为的中垂线，垂足为D，交，交BC于点于点E，若，若BE4，则，则AC_.2 2 9、判断下列命题（、判断下列命题（1）对顶角相等；（）对顶角相等；（2）内错角相等，两直线平行；（内错角相等，两直线平行；（3）两个全等）两个全等的三角形的面积相等；（的三角形的面积相等；（4）直角三角形两）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。其中条直角边的平方和等于斜边的平方。其中逆命题正确的是逆命题正确的是_10、在、在ABC中，中，O是是ABC内的一点，且内的一点，且OB=OC，1=2，3=4，证明：证明：AOBCAOCDB如图如图S114，在四边形，在四边形ABCD中，中，ADBC，E为为CD的中点，的中点，连结连结AE，BE，BEAE，延长，延长AE交交BC的延长线于点的延长线于点F.求证：求证：(1)FCAD；(2)ABBCAD.【专题训练【专题训练 】11、如图，点、如图，点C为线段为线段AB上的一点，上的一点，ACM， CBN是等边三角形