第八节离散型随机变量的均值与方差、正态分布

1、第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布A组基础题组1. 已知随机变量X服从正态分布N(3, /),且P(X<5)=0.8,则P(1<X<3)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2答案 C 由正态曲线的对称性可知,P(X<3)=P(X>3)=0.5,故P(X>1)=P(X<5)=0.8,所以P(X< 1)=1-P(X>1)=0.2,P(1<X<3)=P(X<3)-P(X < 1)=0.5-0.2=0.3.2. (2018衡水一模)已知 B -,并且n =2E +3,则方差D(n )=()A. B.- C.

2、 D.答案 A 由题意知，D( E )=4 X-X -=-,/ n =2 E +3, D( n )=4 D( E )=4 x -=_.3. (2018合肥一模)已知袋中有3个白球,2个红球,现从中随机取出3个球,其中每个白球计1分,每个红球计2分,记X为取出3个球的总分值，则E(X)=()A. B.C.4 D.答案 B由题意知,X的所有可能取值为3,4,5,且 P(X=3)=,P(X=4)=-,P(X=5)=二一，所以 E(X)=3 X 4X -+5X=.4. (2018广东茂名一模，6)设XN(1,1),其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影

3、部分的点的个数的估计值是()(注：若 XN(卩,(T2),贝U P(卩-(T <X<u + c )=68.27%,P(卩-2 c <X< +2 c )=95.45%)al2*A.7 539B.6 038C.7 028D.6 586答案 D t XN(1,1),二卩=1, t =1,卩 + c =2. P(卩-t <X<u + c )=68.27%,二则 P(0<X<2)=68.27%,则P(1<X<2)=34.14%, a阴影部分的面积为0.658 6.向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，落入阴影部分的点的个数的估计值是 6

4、586.故选D.5. 有10张火车票，其中3张是卧铺,其他是硬座，从这10张火车票中任取两张，用E表示取到卧铺的张数，则E( E )等于.答案-解析 E服从超几何分布，则P( E =x)=(x=0,1,2).所以 P( E =0)=一=一，P( E =1)=,P( E =2)=.所以 E( E )=0 x+1X+2X=-.6. 一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了 ，否则叫做放错了 .设放对的个数为E , 则E的期望值为.答案1解析 将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有 种不同放法，

5、放对的个数E可取的值有 0,1,2,4.其中,P( E =0)=-,P(三=1)=二，P( E =2)=二,P( E =4)=,所以 E( E )=0 X-+1 X -+2X -+4X =1.7. (2018郑州第二次质量预测)光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的 充足性及潜在经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位.2015年起,国家能源局、国 务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点.在某县居民中随机抽取50户,统计其 年用电量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.在总结试点经验的基础上，将村级光伏发电站确定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某 自然村有居民300户.

6、若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所 发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千 瓦装机容量的发电机组年平均发电1 000度,试估计该发电机组每年所发电量除保证该村的 正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？解析(1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户,其年用电量不超过600度为事件A,则P(A)=亠.由题意可知X服从二项分布，即XB -,故X的数学期望E(X)=10X-=6. 设该村居民每户的年均用电量为 E(Y),由样本数据可得E(Y)=100X+300X+500X +700X +900X =520,则该村年均用电量约为3

7、00X 520=156 000 度.又该村所装发电机组年预计发电量为300 000度,所以该发电机组每年所发电量除保证该村的正常用电外还能剩余电量约144 000度，能为该村创造直接收益144 000X 0.8=115 200元.8. (2018天津,16,13 分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1) 应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2) 若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的 身体检查.(1) 用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分

8、布列与数学期望；(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发 生的概率.解析(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3 : 2 : 2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2) (i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)二(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)=0X-+1X- +2X-+3X-二一.(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中,睡眠充足的员

9、工有2人，睡眠不足的员工有1人”,则A=BU C,且B与C 互斥 由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1), 故 P(A)=P(B U C)=P(X=2)+P(X=1)=-.所以,事件A发生的概率为-.B组提升题组1. 将3个小球随机放入3个盒子中,记放有小球的盒子个数为X,则X的数学期望E(X)=()A.一 B. C. D.答案 A将3个小球随机放入3个盒子中,有3X 3X 3=27种方法.X的取值可能为1,2,3,P(X=3)= =,P(X=2)=二一,p(X=1)=-.所以 E(X)=3X-+2X-+1X-=2. (2018浙江,7,4分)设0<p<1,随机

10、变量E的分布列是E012P一则当p在(0,1)内增大时,()A.D( E )减小 B.D( E )增大C.D( E )先减小后增大D.D( E )先增大后减小答案 D 由题意得 E( E )=0X+1X-+2X-h+p,D( E )=-+-+=-(1+2p) 2(1-p)+(1-2p) 2+(3-2p) 2 p2=-p +p+=-+-由-得 0<p<1, D(E )在 -上单调递增，在-上单调递减，故选D.3. (2018河南开封高三定位考试)某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X依次为1,2,8,其中X>5为标准A,X>3为标准B,已知甲厂执行标准A生产该产品,

11、产品的零售 价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件.假定甲、乙两厂的产品 都符合相应的执行标准.(1)已知甲厂产品的等级系数Xi的概率分布列如下表所示，且Xi的数学期望EX=6,求a,b的值；X5678P0.4ab0.1为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品随机抽取30件，相应的等级系数组成 一个样本,数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望； 在,(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明 理由.注：产品的“性价比”=产品

12、的等级系数的数学期望/产品的零售价；“性价比”大的产品更具可购买性.解析 (1) v EX=6,二 5X 0.4+6a+7b+8X 0.仁6 即 6a+7b=3.2,又 0.4+a+b+0.仁1,即 a+b=0.5, 由* 得(2)由已知,用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数先的概率分布列如下:X2的数乙厂的产品更具可购买性，理由如下：v甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件,其性价比为-=1,乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件,其性价比为一=1.2,1.2>1, 乙厂的产品更具可购买性4. 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式

13、对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一 个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求：(1) 顾客所获的奖励额为60元的概率；(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2) 商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能 符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由解析(1)设顾客所获的奖励额为

14、X元.(i) 依题意,得P(X=60)=即顾客所获的奖励额为60元的概率为-.(ii) 依题意,得X的所有可能取值为20,60.P(X=60)=-,P(X=20)=-，所以X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X)=20 X 0.5+60 X 0.5=40.(2)根据商场的预算,每位顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之 和的最大值,所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之 和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案, 所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为 X元，则X1的分布列为X12060100PX1 的期望为 E(X»=20 X-+60X-+100X-=60,X1