第三讲勾股定理及其应用培优辅导含答案

1、第三讲勾股定理及其应用培优辅导一、知讥点占点击一：勾股定理 勾股定理：.如图2,在Rt ABC中,C 900, / A、/ B、/ C的对边分别为a、b、c, 贝 U c2=, a2=, b2=.勾股数：、特殊勾股数：连续的勾股数只有3 , 4, 5连续的偶数勾股数只有6, 8, 10 勾股定理的逆定理： .点击二：学会用拼图法验证勾股定理女口，利用四个如图1所示的直角三角形，拼出如图2所示的三个图形并证明.点击三：在数轴上表示无理数例在数轴上作出表示10的点.点击四：直角三角形边与面积的关系及应用例 已知一直角三角形的斜边长是 2,周长是2+. 6，求这个三角形的面积.点击五：勾股定理的应用

2、(1) 已知直角三角形的两条边，求第三边；(2) 已知直角三角形的一边，求另两条边的关系;(3) 用于推导线段平方关系的问题等.二、【精典题型】考点一、已知两边求第三边1 .在直角三角形中,若两直角边的长分别为6, 8，则斜边长为 ，斜边的高为2已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是 .3. 已知，如图在 ABC中，AB=BC=CA=2cmAD是边BC上的高.则 AD的长;厶ABC的面积.考点二、利用列方程求线段的长如图，某学校（A点）与公路（直线 L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为 500米，现要在公路上建一个小商店（ C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与

3、 车站之间的距离.考点三、判别一个三角形是否是直角三角形1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13 （ 3） 8、15、17（4）4、5、6,其中能够成直角三角形的有 .2. 若三角形的三边是 a4、如图，正方形ABCD中, F为DC的中点，E为BC上一点，且CE - BC .你能说明/ AFE 4是直角吗？+b2,2ab,a 2-b2（a>b>0）,则这个三角形是 .3. 如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A B两个基地前去拦截， 每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行六分钟后同时到达

4、 C地将其拦截。已知甲巡逻艇50海里，航向为北偏西 40°.那么甲巡逻艇的航向是怎样的?三、【思想方法】本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想；（一）用勾股定理求两点之间的距离问题例1 （噪音问题）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN= 30° 点A处有一所中学，AP = 160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪 音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影 响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？例2 .（用勾股定理求 最短路径问题）.【例】

5、如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高A B为4cm B C是上底面的直径 一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点.C，试求出爬行的最短路程 为.变式:.1、.有一个长宽高分别为.2cm,. 2呷.8cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点.A爬到 点B处，则它爬行的最短路程为 cm.2、如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径” ，在 花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 路（假设2步为1m），却踩伤了花草。（二）方程的思想方法如图将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在F处,BF交AD于点E,AD=8，AB=4，求 BDE的面积是多少?DB（三）分类讨论思想方法例：若

6、VABC 中，AB 13cm, AC 15cm，高 AD=12,则 BC的长为（）A: 14 B : 4 C : 14或4 D:以上都不对变式：1、在Rt ABC中，有两边的长分别为3和4,则第三边的长（）A 5 B ,7 C 5 或一 7 D 5 或 112 :如果 AB C的三边 a、b、c 满足（a - b）（a .2+b2- c）=0 ,那么 AB C一定是（）.A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D. .等腰三角形或直角三角形培优学力训练【例1】（达州）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有 的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的边长分别是3, 5

7、, 2, 3,则 最大正方形E的面积是（）A . 13B . 26C . 47D . 94【变式题组】01 .（安徽）如图，直线I过正方形ABCD的顶点B,点A, C到直线I的距离分别 是1和2,则正方形的边长是.l02 .（浙江省温州）在直线l上的依次摆放着七个正方形（如图所示），己知斜放置 的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2, S3, $,贝U Si + S2 + S3 + S4=.第2题图03 .（浙江省丽江）如图，已知 ABC中，/ ABC = 90°, AB= BC,三角形的顶 点在相互平行的三条直线11、l2> I3上，且1

8、1、I2之间的距离为2, 12、I3之间 的距离为3,则AC的长是（）A . 2 17 B . 25C . 4 2D . 7【例2】（福建省漳州）几何模型：条件：如下左图，A、B是直线I同旁的两个定 占八、问题：在直线I上确定一点P,使FA+ PB的值最小.方法：作点A关于直线I的对称点A',连接A'B交I于点P,则FA+ PB = A'B 的值最小（不必证明）.模型应用：如图1,正方形ABCD的边长为2, E为AB的中点，P是AC 上一动点连接BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交 AC于P,则PB+ PE的最小值是;（2）如图 2,Z AOB

9、= 45°, P 是/ AOB 内一点，P0= 10, Q、R分别是OA、0B上的动点，求 PQR周长的最小值.AA图2P0A【变式题组】1、（四川联赛试题）已知矩形ABCD的AB= 12, AD = 3, E、F分别是AB, DC上的点，则折线AFEC长的最小值为.2、（陕西）如图，在锐角厶ABC中，AB= 4 5，/ BAC= 45°,/ BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+ MN的最小值是B培优升级检测1、如图，在 RtAABC中，AB= AC, D、E在斜边BC上且/ DAE = 45°,将厶ADC绕点A顺时针旋转，使

10、AC与AB重合，得到 AFB，连接EF，贝U下列结 论: AEDAEF :厶 ABEA ACD; BE+ DC = DE; ® BE2+ DC2= DE2 其中正确的是（）A B.C D .2、（北京竞赛）如图，ABCD是一张长方形纸片，将 AD，BC折起、使A、B两 点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH.若PE = 8cm, PG = 6cm, EG= 10cm，则长方形纸片ABCD的面积为（）cm2A. 105.6B. 110.4C. 115.2 D. 124.83、（四川省初二数学联赛试题）如图，等边三角形ABC内有一点P,过点P向三边作垂线，垂足分别为 S、Q、R

11、,且PQ = 6, PR= S, PS= 0,则厶ABC的面积等于（）_A. 190.3B. 192、3 C. 194、3 D. 196.34、如图所示，在 ABC 中，/ BAC= 120°, AB = AC=3 cm, 一动点 P 从 B向C以每秒2cm的速度移动，当P点移动秒时，FA与腰垂直.C第7题图第8题图B5、如图，在 ABC 中，D 是 BC 边上一点，AB= AD = 2, AC= 4,且 BD:DC =2:3 贝U BC= & （四川联赛试题）已知矩形ABCD的AB= 12, AD = 3, E、F分别是AB, DC上的点，则折线AFEC长的最小值为.7、（

12、陕西）如图，在锐角厶ABC中，AB= 4 5，/ BAC= 45°,/ BAC的平分线 交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+ MN的最小值是8、如图， ABC是等腰直角三角形，AB = AC, D是BC的中点，E、F分别是AB, AC 上的点，且 DE 丄 DF,若 BE= 12, CF = 5.求（1）求证：EF2= BE2+ CF2 （2）求厶DEF的面积 .EF第三讲勾股定理及其应用培优辅导答案、知讥GV点击一：勾股定理 勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方如图2,在Rt ABC中,C 900, / A、/ B、/ C的对边分别为a、b、

13、c,2 2 2 2 2 2 2 2 2 贝S c =a +b , a =c -b , b = c -a勾股数：3, 4, 5_、5, 12, 13、7, 24, 25、9, 40, 41 、_ 11, 60, 61_、8, 15, 17 特殊勾股数：连续的勾股数只有3 , 4, 5连续的偶数勾股数只有6, 8, 10 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a 2 2 2还可表示为：c 所以c =a +b点击三：在数轴上表示无理数 例在数轴上作出表示.10的点.点击四：直角三角形边与面积的关系及应用例 已知一直角三角形的斜边长是 2,周长是2+ 6，求这个三角形的面积.+b2=c2，

14、那么这个三角形是直角三角形如，利用四个如图1所示的直角三角形,拼出如图2所示的三个图形并证明.点击二：学会用拼图法验证勾股定理2 ab2解：设直角三角形的两直角边分别为 所以这个三角形的面积为0.5.2b2a和b，可得a b226解之ab 1一 1图2：大正方形的面积可表示为：ab4点击五：勾股定理的应用(1) 已知直角三角形的两条边，求第三边；(2) 已知直角三角形的一边，求另两条边的关系;(3) 用于推导线段平方关系的问题等.、【精典题型】考点一、已知两边求第三边1. 在直角三角形中,若两直角边的长分别为 6,8,则斜边长为_10,斜边的高为_4.8 _.2已知直角三角形的两边长为3、2,

15、则另一条边长是_辺?或呂=.3. 已知，如图在 ABC中，AB=BC=CA=2c,AD是边BC上的高.则 AD的长_価_: ABC的面积 _ J3 一.考点二、利用列方程求线段的长如图，某学校(A点)与公路(直线 L)的距离为300米，又与公路车站(D点)的距离为 500米，现要在公路上建一个小商店( C点)，使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离.解：作AB丄I于B点，贝U AB=300米.连接 AC / AB=300, AD=500, / BD=400./ CD=CA设 CD=x 则 AC=x BC=400-x.在 Rt ABC 中3002+ (400-x ) 2=x2.解

16、得 x=312.5 .即 商店C与车站D之间的距离 CD=312.5米.考点三、判别一个三角形是否是直角三角形1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1) 3、4、5 (2)5、12、13( 3)8、15、17 (4)4、5、6,其中能够成直角三角形的有 _( 1) _ _ (2) _ _ ( 3) _.2. 若三角形的三边是 a2+b2,2ab,a 2-b2(a>b>0),则这个三角形是 直角三角形.3. 如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截， 六分钟后同时到达 C地将其拦截。已知甲巡逻艇 每小时航

17、行120海里，乙巡逻艇每小时航行 50海里，航向为北偏西 40°.那么甲巡逻艇的航向是怎样的?6 6解： AC=120X 60 =12 海里，BC=50X 60 =5 海里/ AC22+BC2=AB2 ABC是直角三角形/ CBA=50/ CAB=40甲的航向为北偏东50°14、如图，正方形ABCD中, F为DC的中点，E为BC上一点，且CE - BC .你能说明/ AFE4p.E是直角吗？解：设四边形 ABCD是正方形,CE=x,贝U CF=DF=2x BE=3x, AB=AD=4x.AE2=AB2+BE2= (4x)2+ ( 3x)2 =25x2AF2=AD2+DF2=

18、 （4x ）2+ （2x ）2 =20x2EF2=CE2+CF2=x2+ （2x ）2 =5x2所以 AE2=AF2+EF2,Z AFE是直角三、【思想方法】 本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类 的思想;（一）用勾股定理求两点之间的距离问题例1 （噪音问题）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN= 30° 点A处有一所中学，AP = 160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪 音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影 响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒

19、？解：（1）学校受到噪音影响理由如下： 作AB丄MN于 B，如图，/ PA=160m / QPN=30，/ AB=80,而 80m< 100m,拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响，以点A为圆心，100m为半径作O A交MN于B、C,如图，t AH丄BD, CB=BD在 Rt ABC中，AC=100m AD=80mCB=60m - CD=2BC=120m拖拉机的速度 5m/s，拖拉机在线段 BC上行驶所需要的时间=12=120- 5=24 （秒），学 校受影响的时间为 24秒.例2 .（用勾股定理求 最短路径问题）.【例】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm高ae为4c

20、mEC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求 出爬行的最短路程、1162、29 cm变式：1、有一个长宽高分别为2cm, 2cm, 8cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点 A爬到 点B处，则它爬行的最短路程为 _（80 4薦_ cm.H2、如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园 内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 .4-步路（假设2步为1m），却踩 伤了花草。（二）方程的思想方法如图将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在F处,BF交AD于点E,AD=8 ,DAB=4，求 BDE的面积是多少?解：因为折叠 FD=DC,Z F=Z C=

21、90°又四边形ABCD是矩形 AB=DC,Z A=Z C=90° AB=FD,Z A=Z F (等量代换) 又/ AEB=Z FED(对顶角相等) FED( AAS AE=ED（全等三角形对应边相等）设 AE=X，则 BE=ED=8-X在 RTA ABE中,由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即：42+X2= ( 8-X )2解得：X=3 AE=3,ED=8-3=5二 SA BED=( EDX AB) - 2= (5X 4)- 2=10（三）分类讨论思想方法例：若 VABC 中，AB 13cm, AC 15cm，高 AD=12J则 BC的长为（ C ）A: 14 B : 4

22、 C : 14或4 D:以上都不对变式：1、在Rt ABC中，有两边的长分别为3和4,则第三边的长（C ）A 5 B 、7 C 5 或、7 D 5 或 112、如果 AB Cl勺三边a、b、c满足（a - b） （a 2+ b2- c=0，那么 AB C一定是（_DA.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形培优学力训练【例1】（达州）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有 的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的边长分别是3, 5, 2, 3,则 最大正方形E的面积是（C ）A . 13B . 26C . 47D . 94【变式题组】01

23、.（安徽）如图，直线I过正方形ABCD的顶点B,点A, C到直线I的距离分别 是1和2,则正方形的边长是_丁5.第1题图02.（浙江省温州）在直线I上的依次摆放着七个正方形（如图所示），己知斜放置 的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是Si,S2, S3, S,贝U Si + S2+ S3 + S4= 4_ _ .03.（浙江省丽江）如图，已知 ABC中，/ ABC = 90°, AB= BC,三角形的顶 点在相互平行的三条直线I1、|2、13上，且11、I2之间的距离为2, 12、I3之间 的距离为3,则AC的长是（A ）A. 2 17 B. 2 5 C

24、. 4 2D. 7【例2】（福建省漳州）几何模型：条件：如下左图，A、B是直线I同旁的两个定 占八、问题：在直线I上确定一点P,使FA+ PB的值最小.方法：作点A关于直线I的对称点A',连接A'B交I于点P,则FA+ PB = A'B的值最小（不必证明）.模型应用：如图1,正方形ABCD的边长为2, E为AB的中点，P是AC 上一动点连接BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交 AC于P,则PB+ PE的最小值是 丁5_ ;（3）如图 2,Z AOB = 45°, P 是/ AOB 内一点，PO= 10, Q、R分 别是OA、OB上的动点

25、，求 PQR周长的最小值.A答案：20010、2【变式题组】1、（四川联赛试题）已知矩形ABCD的AB= 12, AD = 3, E、F分别是AB, DC上的点，则折线AFEC长的最小值为_咚 2、（陕西）如图，在锐角厶ABC中，AB= 4 5，/ BAC= 45°,/ BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+ MN的最小值是 拒22培优升级检测1、如图，在 RtAABC中，AB= AC, D、E在斜边BC上且/ DAE = 45°,将厶ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，得到 AFB，连接EF，贝U下列结 论: AEDAEF :厶

26、ABEA ACD; BE+ DC = DE; ® BE2+ DC2= DE2其中正确的是（B ）BB.C D .2、（北京竞赛）如图，ABCD是一张长方形纸片，将 AD，BC折起、使A、B两 点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH.若PE = 8cm, PG = 6cm, EG= 10cm，则长方形纸片ABCD的面积为（C ） cm2A. 105.6B. 110.4C. 115.2 D. 124.83、（四川省初二数学联赛试题）如图，等边三角形ABC内有一点P,过点P向三边作垂线，垂足分别为 S、Q、R,且PQ = 6, PR= S, PS= 10,则厶ABC的面 积等于（B J>_A. 190、3 B. 192、3C. 194 3 D. 196、34、（初二数学联赛）如图所示，在 ABC中，/ BAC= 120°, AB = AC= 103cm一动点P从B向C以每秒