第8章静电场中的导体与电介质

1、第八章 静电场中的导体与电介质 问题8-1有人说：某一高压输电线的电压有500kV，因此你不可与之接触”。这句话 是对还是不对？维修工人在高压输电线路上是如何工作的？解这种说法不正确，可以利用空腔导体的静电屏蔽原理，使维修工人穿上导电性 能良好的屏蔽服，电场不会深入到人体，从而可以保证维修工人的安全。8-2将一个带电小金属球与一个不带电的大金属球相接触，小球上的电荷会全部 转移到大球上去吗？解不会。带电小金属球与不带电的大金属球相接触后会达到静电平衡，内部电场 强度为零。若小球上的电荷全部转移到大球上去，则两球组成的整体内部电场强 度不可能为零。8-3在高压电器设备周围，常围上一接地的金属栅网

2、，以保证栅网外的人安全， 试说明其道理。解这是利用空腔导体的静电屏蔽作用。金属栅网就是一个金属壳体，将栅网接 地，栅网外部将不受栅网内部电场的影响。8-4在绝缘支柱上放置一闭和的金属球壳，球壳内有一人，当球壳带电并且电荷 越来越多时，他观察到的球壳表面的电荷面密度、球壳内的场强是怎样的？当一 个带有跟球壳相异电荷的巨大带电体移近球壳时，此人又将观察到什么现象？此 人处在球壳内是否安全？解带电金属球壳由于静电平衡，电荷分布于球壳表面，当电荷越多，球壳表面的 电荷面密度增大，球壳内场强为零。当带有异号电荷的巨大带电体移近球壳时， 会发生放电现象，由于静电屏蔽作用，球壳空间电场不受外部空间场强的影响

3、， 所以人处于球壳内不会有危险。8-5电介质的极化现象和导体的静电感应现象有些什么区别？ 解导体的静电感应现象是在外电场作用下导体中的自由电荷作定向运动而使自由 电荷重新分布；电介质的极化现象是在外电场的作用下介质表面产生极化电荷。 二者有着实质的区别，静电感应所产生的电荷是导体内部的自由电荷，而极化现 象中出现在介质表面上的电荷则是束缚电荷；而且它们形成的方式也不同，静电 感应是导体内部自由电荷的运动，而极化实质是电介质内部电偶极矩的产生。8-6在下列情况下，平行平板电容器的电势差、电荷、电场强度和所贮的能量将 如何变化。（1）断开电源，并使极板间距加倍，此时极板间为真空；（2）断开电源，并

4、使极板间充满相对电容率 & r=2.5勺油；（3）保持电源与电容器两极相 连，使极板间距加倍，此时极板间为真空；（4）保持电源与电容器两极相连， 使极板间充满相对电容率£ r=2.的油。解设最初平行平板电容器的电容为 C、电势差为U、电荷为Q、电场强度为E、 所贮的能量为We,我们可以根据C=£ sd C=Q、E=Qs、1We=QU等来判断不同情况下各物理量的变化.2（1）断开电源，极板间距加倍即d变为2d，电荷Q不变，电场强度E不变，电 势差2U,所贮的能量增为2We.（2） 断开电源，并使极板间充满相对电容率£ r=2.的油，电荷Q不变，电场强 度E减

5、为Er，电势差减少为U£ r所贮的能量减少为 W£ r.（3）保持电源与电容器两极相连，使极板间距加倍，极板间为真空，电容器电 容变为原来的一半，电势差不变，电荷减少为原来的一半，电场强度减少为原来 的一半，所贮的能量也减少为原来的一半.（4） 保持电源与电容器两极相连，极板间充满相对电容率 £ r=2.5勺油，电容器 的电容为原来的£倍，即2.5C，电势差不变，电荷增为原来的 £倍，所贮的能 量增加为原来的£倍.8-7 一平行板电容器被一电源充电后，将电源断开，然后将一厚度为两极板间距 一半的金属板放在两极板之间，试问下述各量如何变

6、化？ （1）电容；（2）极板上面电荷；（3）极板上的电势差；（4）极板间的电场强度；（5）电场的能 量。解设极板间距为d,断开电源后电容器带电为 Q,插入金属板达到静电平衡后， 金属板与电容器极板相对应的两表面分别带上大小为Q的异种感应电荷。此时的电容器可以看作是两个带电为 Q、间距为d4的平行板电容器的串联。则插入金 属板后的电容为2 £ 0sd即为原来的两倍；极板上电荷不变；极板上的电势差为 原来的2;极板内除金属板内电场强度为零，剩余空间场强不变；电场能量减少 为原来的2.8-8如果圆柱形电容器的内半径增大，使两柱面之间的距离减为原来的一半，此 电容器的电容是否增大为原来的两倍

7、？解不是.圆柱形电容器电容C=2£ 06其中RB为外半径，RA为内半InRBRA 径，设两柱面间距为d,即RB-RA=d，当两柱面之间的距离减为原来的一半，即 RB-RA=d2，此时 C'工 2C.8-9 （1） 一个带电的金属球壳里充满了均匀电介质，外面是真空，此球壳的电势 是否等于Q?为什么？（ 2）若球壳内为真空，球壳外是无限大均匀电介4 n£ 0 £ rR1质，这时球壳的电势为多少？ Q为球壳上的自由电荷，R为球壳半径，£为介质 的相对电容率。解（1）此时球壳内的电势等于1Q；（2）若均匀电介质充满球壳外空间，4冗£ 0R 球壳

8、电势为Q. 4 n£ 0 £ rR18-10把两个电容各为C1和C2的电容器串联后进行充电，然后断开电源，把它们 改成并联，问它们的电能是增加还是减少？为什么？解两电容器串联后电容器等效电容为 C1C2,小于之前两电容器的电容，C1+C2 并联后两电容器的等效电容为 C1+C2，大于之前电容器的电容，可见两电容器并 联后的等效电容大于串联后的等效电容，又因为充电后断开电源，串联与并联的 两种1Q2情况电容器电荷总量Q不变，由We二可知，改为并联之后电能减少。2C习题8-1 一真空二极管，其主要构件是一个半径R仁5.0?10-4m的圆柱型阴极和一个套在外、半径为R2=4.5?

9、10-3m的同轴圆筒型阳极。阳极电势比阴极电势高 300V，阴极和阳极的长均为L=2.5?10-2m.假设电子从阴极射出时的初速度为零, 求：（1）该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（2）电子刚从阴极射出时所受的 力。解由于二极管内圆柱半径远远小于圆柱长（R1<<L），所以可将两极看作两无限 长同轴圆柱面，两极之间的电场呈轴对称分布。（1）电子从阴极射出，初速度为零，经过两极电场受到电场力的作用，到达阳 极时所获得的动能等于电场力所作的功，即电势能的减少，所以Ek=-EP=eV=4.8? 10-17J此时，电子所具有的速度为v=1.03? 107m? s-1（2） 由高斯定理可知

10、，两极间距离中心轴为 r的一点处电场强度为E=- 两极间的电势差为 V" er 2 n£ 0rRlb2<Z n£ 0r2 n £ RRR1E? dr=?-R1R2 其中负号表示阴极电势比阳极电势低由上可知，阴极附近的电场强度为 E=VRR1l n2R1er其中 V=-300V所以电子刚从阴极射出时所受的电场力为F=-eE=4.37? 10-14erN8-2 一导体球半径为R1,外罩一半径为R2的同心薄导体球壳，外球壳所带总电 荷为Q，而内球的电势为V0，求此系统的电势和电场分布。解假设内球带电量为q,当达到静电平衡后，两球电荷分布如图所示，由于导体

11、球壳电荷分布呈球对称，我们可以取半径为r同心球面为高斯面。由高斯定理 q ? E? dS无qsO可得此系统各区域的电场分布为 E1(r)=r<R1E2(r)=E3(r)=q4 n£ 0r2 R1<r<R2 q+Q r>R2 4 n£ 0r2利用电势与电场强度的积分关系，可得各区域电势分布如下：当r<R1时V1(r)=? rE? dl=? E1? dl+? E2? dl+? E3? dl rR1R2R1R2 q4 n£ 0R1+Q 4 n£ 0R2当 R1<r<R2 时V2(r)=? %rE? dl=? E2? d

12、l+? E3? dl rR2R2=qQ +4 n£ 0r4 n£ 0R2当 r>R2 时 V3(r)= ?rE? dl=? E3? dl=r q+Q 4 n£ 0rq4 n£ 0R1R1Q R2+Q 4冗& 0R又由题意可得，内球的电势为 V0，即V仁V0二所以内球带电量为 q=4n& 0RV1 0将q值带入到各区域电场、电势表达式中可得当r<R1时E仁0, V仁V0 ;当 R1<r<R2 时 E2=RV(r-R1)Q ; RVR1Q1010，-V=+2r24n& 0R2r2r4 n£ 0R2r当

13、 r>R2 时 E3=(R2-R1)Q，V=RV(R2-R1)Q. RV1010+3r24 n£ 0R2r2r4 n£ 0R2r8-3在两块面积均为S且相互平行带电薄导体板 A、B之间，平行插入两块不带电薄导体板C、D如图(a)，其中A和C、C和D、D和B的间距均为d3，已 知C、D未插入时，A、B之间的电势差为U.（1）分析各导体板上的电荷分布，求 各区域的电场强度和电势差 UAC、（2）用导线将C、D相连后如图（b）， UCD、UDB ；将导线撤去，再求（1）；（ 3）最后用导线将A、B相连如图（c），然后断 开，再求（1）.A C q1q2 q1 -q1q2-q

14、q-qq-q（a） （b） （ c）q解（1）根据静电平衡条件，设板 A内表面带电为q,则平衡后电荷分布如（a）所 示，各板间电场为匀强电场且电场强度相同。所以有U 3UE1=E2=E3=E=d& SU q=c S=E£ 0S=0 dUAB=UCD=UDB=2）用导线将 C、D 相连后断开，贝U UCD=0，此时电荷分布如图（b）所示。由于C、D板电势相等，所以C、D之间 电场强度为零，既E2=0.由静电平衡知，A与C、D与B相对的表面电荷分布不 变，所以这两个区域内的电势与场强分布不变，即UAC=UDB=U E仁E3=13U d用导线将A、B相连后断开，则UAB=0，静电平

15、衡后电荷分布如图（c）所 示。由于导体板C、D分别所带的电荷仍不变，即q1+q2=q=又因为A、B电势差为零，即& 0SUd（ 1）UAB=由（1）（ 2）式可得 q1dq2dq1d-+=0 （2）& 0S3& 0S3& 0S32 & 0SU 3dq1= & 0S3dU， q2=所以C、D之间的电场强度与电势差为 E2=-2U2，UCD=-U 3d9U1， UAC=UDB=U 3d9A 与C、D与B之间的电场强度和电势差分别为 E仁E3=8-4如图所示，在真空中将半径为R的金属球接地，在与球心 0相距为r （r>R）处 放置一点电荷q,不计

16、接地导线上电荷的影响，求金属球表面上的感 应电荷总量。解由题可知，金属球为等势体，且电势为零。设金属球表面感应电荷总量为 q',其内任意一点的电势等于球外点电荷q与球面上感应电荷q在球心0激发的电势的叠加。 又感应电荷在球心0处激发的电势为 V'=qq'，球外点电荷在球心 0激发的电势为V=.4n& 0r4 n£ OR qq'+=0 4 n£ 0r4 n£ ORRq r由上分析可知在球心 O的电势为VO=所以,金属球表面的感应电荷总量为q'=-8-5有一个平板电容器，充电后极板上电荷面密度为（T 0=4.510-5C

17、?m-2,现将两极板与电源断开，然后再把相对电容率为& r=2.（的电介质插入两极板之间。此时电介质中的D和E各为多少？解电容器冲电后断开电源，插入电介质，极板上自由电荷面密度不变，由介质中的高 斯定理可得介质中的电位移矢量大小为D=c 0=4.5> 10-5C? m-2其方向由正极板指向负极板由D=£ 0 & r可得介质中的电场强度大小为 E=D& 0 & r=2.506V? m-1其方向也是由正极板指向负极板8-6在一半径为R1的长直导线外套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为 R2，相 对电容率为&，设沿轴线单位长度上导线的电荷密度为

18、入试求介质层内的D和E.a |解我们可将此导线看作无限长、且自由电荷均匀分布 于表面。导线上自由电荷密度为 入同时在绝缘介质层内、 外表面分别有极化电荷产生，且呈轴对称分布。由电荷分布的对称性，我们可以取与导线同轴、半径为 r、 长为L的圆柱面为高斯面（如图），由介质中的高斯定理有? D?dS=D?2n rL=入 L S 即D=X2 n rer由D=& 0& r可得介质层内的电场强度为E=De 0 & r=入 er 2 n& 0 & rr8-7地球和电离层可当作一个球形电容器，它们之间相距约为100km,试估算地球- 电离层系统的电容设地球与电离层之间为

19、真空解地球相当于球形电容器的内壳层，电离层相当于电容器的外壳层，即R1=6.37? 106m, R2=1.00? 105m+R1=6.47? 106m由球形电容器电容公式可得 C=4冗£08-8两线输电线的导线半径为3.26mm,两线中心相距0.50m.输电线位于地面上空 很高处，因而大地影响可以忽略.求输电线单位长度的电容.解 由教材8-4节例4可知两输电线的电势差为 U=R1R2=4.58? 10-2F R2-R1X（-Rln n£ 0R所以，输电线单位长度的电容为 n£ 0 UlndRR又导线半径远小于两线间距（R<<d）,所以C=X =cn&#

20、163;0=4.86? 10-12F dl nR8-9如图所示，两块相距为0.50mm的薄金属板A、B构成的空气平板电容器，被 屏蔽在一个金属盒K，金属盒上、下两壁与 A、B分别相距0.25mm,金属板面积 为30? 40mm2求:被屏蔽后的电容器电容变为原来的几倍；（2）若电容器的一 个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍。解（1）薄金属板A、 B与金属盒一起相当K于三个电容器串联构成的一个回路（如图（a），其中C1为A、B板构成,C2为 A板与金属盒上壁构成，C3由B板与金属盒X下壁构成.A、B间的等效电容相当 于C2、C3串联之后再与C1并联所得的电容.又A B(a)A

21、Bd1=2d2=2d3,所以 C2=C3=2C1,因此 A、B间的总电容为C=C2? C3+C1=2C1C2+C3 （b）即被屏蔽后电容器电容增大为原来的2倍.（2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，相当于C2或C3极板短接（如图（b）,被短接的电容为零.则总电容为C'=3C1即被屏蔽后电容器电容增大为原来的3倍.8-10如图所示，在点A和点B之间有五个电容器，其连接如图所示。（1）求 A、B两点之间的等效电容；（2）若A、B之间的电势差为12V4求 UAC、UCD、UDB.解（1）由电容器的串、并联可得AC之间电容为CAC=C1+C2=12 FCD之间电容为CCD=C3+C4=

22、8 F所以AB之间电容满足1111 =+CABCACCCDC5由上可知，AB之间等效电容为CAB=4gF（2）由于 UAB=QABAB , UAC=QACCAC ,UCD=QCDCCD, UDB=QDBDB根据A、B、C、D各处电流相等可知 QAB=QAC=QCD=QDB,所以有UAC=CABUAB=4V CACCABUAB=6V CCDCABUAB=2V CDBUCD= UDB=8-11 一片二氧化钛晶片，其面积为1.0cm,厚度为0.10mm,把平行平板电容器的 两极板紧贴在晶片两侧。求（1）电容器的电容；（2）电容器两极加上12V电压 时，极板上的电荷为多少，此时自由电荷和极化电荷的面密

23、度各为多少？ （3）求电容器内的电场强度。解（1）二氧化钛相对电容率为£ r=173将平行板电容器充满此介质后，其电2容C= £ 0 £ rSd=1.53? 10-9F（2）若在电容器两极加上12V电压，极板上的电荷 Q=CU=1.84? 10-8C此时极板上 自由电荷面密度（T 0=晶片表面极化电荷面密度为CT 0'=（3）电容器内的电场强度E=8-12如图所示，球形电极浮在相对电容率为 £ r=3.0勺油槽中，球的一半浸没在油 中，另一半在空气中，已知电极所带净电荷 Q0=2.0? 10-6C，问球的上下两部分 各有多少电荷？解由于球形导体一

24、半浸在油中，一半在空气中,球面电荷不再是均匀分布，上下两部 分电荷也不相同，但由于静电平衡，导体为一个等势体，我们可以将导体球等效为 两个孤立半球电容器的并联，这两个半球电容器分别处于空气和油中.处于空气中的上半球的电容为C1=2n& OR处于油中的下半球的电容为 Q=1.84? 10-4C? m-2 S? 1- &?-4-2? c 0=1.83 10C? m? &?U=1.2? 105V?m-1 dC2=2 n£ 0 & rR设这上、下两个半球所带电荷分别为 Q1、Q2,则Q1+Q2=Q0又两个半球电势相等，即 Q11=Q2C2由以上两式可得上下两半

25、球所带的电荷分别为Q仁C11Q0=Q0=0.50? 10-6C C1+C2& r+1C2£ Q0=rQ0=1.5 10-6C C1+C2& r+1Q2=8-13如图，有一空气平板电容器极板面积为S,间距为d,现将该电容器接在端电压为U的电源上充电。当（1）充足电后；（2）然后平行插入一块面积相同， 厚度为S （ S <d）f对电容率为&的电介质板；（3）将上述电介质换为相同大小 的导体板时，分别求极板上的电荷 Q,极板间的电场强度E和电容器的电容C. 解（1）空气平板电容器电容 C0=£ 0Sd U将电容器接在电源上充电，两极板间电势差等于为电

26、源端电压充电后，极板上的电荷为Q0=C0U=极板间电场强度为E0=Ud & 0SdU（2）插入电介质板后，两极板间电势差保持不变，设极板上电荷为Q1,则有U=Q1Q（d- S ）+1 S & 0S£ 0 £ rS此时电容器电容为 3= Q1毛0 £ rS S +-S极板上电荷为 Q1=c 0 £ rSU S +-SrQ1& rU=& 0SS +£§极板间空气中电场强度为 E仁 介质中电场强度为E1'=Q1£ 0 £ rS=U 5-+£ rd(3)若将介质换为导体板，

27、达到静电平衡后，导体为等势体，此时的电容器相 当于极 板间距减少为(d- S )其电容和极板上的电荷分别为 C2=£ OS d S£ S Q2=0U<SU d- S空气中电场强度为E2=导体中电场强度为E2'=08-14如图所示，在平板电容器中填入两种介质，每一种介质各占一半体积。试证 其电容为C=£ r1+ £ r2 £ OS2d证明此电容器可视为极板面积均为S2,分别充满相对电容率为£ r1 £ r的两个平板电容器的并 联。这两个平板电容器的电容分别为C1=C2=所以原平板电容器的电容为 £ 0

28、£ r1S2d £ 0 £ r2S2dC=C1+C2=£ r1+ £ r2 £ 0S2d8-15为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度(待测材料可视为相对电容率为£r的电介质)，通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A、B为平板电容器的导体极板，d0为两极板间的间距。试说明检测原理，并推出直接测量量 电容C与间接测量量厚度d之间的函数关系。如果要检测铜板等金属材料的厚 度，结果又将如何？解将待测材料(厚度为d)平行放置于平板电容器两极板间。由 8-13题第(2) 问可知，此时电容器的电容与材料厚度之间的关系式为C=&#

29、163; 0£ rS d0+ Grd0)£rS1C当我们直接测得电容 C,由上式即可得到待测材料 的厚度d= £r£ -1d0-以此判断待测材料是否符合要求。如果要检测金属材料的厚度，同样将材料平行放于电容器两极板间。由8-13题第(3) 问可知，此时电容器的电容与材料厚度之间的关系为C=£ 0SdO-d d=dO-& OSC8-16有一平行平板电容器，两极板间被厚度为 0.01mm的聚四氟乙烯薄膜所隔 开。求该电容器的额定电压。解聚四氟乙烯的击穿电场强度为 Eb=1.9? 107V? m-1,所以此电容器两极板间的电 场强度应满足E< Eb,同时极板间所能承受的最大电压、即额定电压的大小为U=Ebd=190V8-17 一空气平板电容器，空气层厚1.5cm,两极间电压为40kV，这电容器会被击 穿吗？现将一厚度为0.30cm的玻璃板插入此电容器，并与两板平行，若该玻璃 的相对电容率& r=7.0击穿电